Champ d'application et prérequis
Cadre ACT, révision de février 2026. Les cas de classe ici ne constituent pas une forme officielle ACT.
- Interpréter l'amplitude, la période et le décalage vertical dans une loi sinusoïdale
- Utiliser les signes du cercle unité et les identités de base
- Choisir une relation sinusoïdale, cosinusoidale ou d'aire pour un triangle quelconque
Prérequis : Radians ; rapports de triangles rectangles ; coordonnées du cercle unité.
Expliquer et choisir la méthode
Pour un triangle rectangle, sin est opposé/hypoténuse, cos adjacent/hypoténuse et tan opposé/adjacent par rapport à un angle choisi. Les triangles semblables expliquent pourquoi ces rapports dépendent de l'angle plutôt que de la taille. Sur le cercle unité, les coordonnées sont (cos θ,sin θ), étendant les rapports aux autres quadrants avec les signes appropriés.
sin²θ+cos²θ=1 et tan θ=sin θ/cos θ lorsque cos θ≠0. Pour y=A sin(Bx)+D avec x en radians, l'amplitude est |A|, la période 2π/|B| et la médiane D. Un A négatif reflète l'onde ; D la déplace verticalement. Vérifier si l'entrée est en radians ou en degrés avant d'utiliser un intervalle de graphique.
Pour un triangle quelconque, la loi des cosinus c²=a²+b²-2ab cos C utilise l'angle compris 夹角 C entre a et b. La loi des sinus compare chaque côté au sinus de l'angle opposé. L'aire est ab sin C/2 lorsque deux côtés et leur angle compris sont connus. Choisissez la relation correspondant aux informations fournies.
Ne pas déduire un angle droit à partir du schéma. Une équation basée sur le sinus peut admettre plus d’un angle dans un intervalle autorisé ; conserver l’information de quadrant et toute condition de somme des angles du triangle. Distinguer clairement l’amplitude de la distance totale crête-à-trou, qui est égale au double de l’amplitude.
L'amplitude est la moitié de la distance crête-vallée. Dans $y=A\sin(Bx)+D$, c’est $|A|$ ; la période en radians est $2\pi/|B|$. Pour un triangle non rectangle, faire correspondre les côtés connus et l’angle inclus avant d’appliquer la loi des cosinus. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C$.
Worked example. y=3 sin(2x)+1 has amplitude 3, period π and values between -2 and 4. A triangle with sides 5 and 7 around a 60° angle has third side $\sqrt{25+49-70(1/2)}=\sqrt{39}$ and area 35√3/4. At 150°, sine is 1/2 and cosine -√3/2.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Pour une entrée en radians $y=-4\sin(2x)+3$, donner l’amplitude, la période, l’étendue et la valeur en $x=\pi/4$.
Raisonnement. L’amplitude est 4, la période $2\pi/2=\pi$, l’image $-1\le y\le7$. En $x=\pi/4$, $y=-4\sin(\pi/2)+3=-1$. Le coefficient négatif reflète l’onde ; il ne rend pas l’amplitude négative.
Pratique 2
Un triangle a des côtés de 6 cm et 10 cm encadrant un angle de 60°. Trouver son troisième côté et son aire sans supposer qu'il est rectangle.
Raisonnement. $c^2=a^2+b^2-2ab\cos C=(6\,\mathrm{cm})^2+(10\,\mathrm{cm})^2-2(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\cos60^\circ=76\,\mathrm{cm^2}$, donc $c=2\sqrt{19}\,\mathrm{cm}$. $A=ab\sin C/2=(6\,\mathrm{cm})(10\,\mathrm{cm})\sin60^\circ/2=15\sqrt3\,\mathrm{cm^2}$.
Pratique 3
Trouver tous les angles dans $0^\circ\le\theta<360^\circ$ vérifiant $\sin\theta=1/2$. Pour chacun, donner le cosinus et la tangente.
Raisonnement. Les angles sont de 30 et 150 degrés. Les cosinus sont $\sqrt3/2$ et $-\sqrt3/2$ ; les tangentes sont $1/\sqrt3$ et $-1/\sqrt3$. Le sinus est positif dans les quadrants I et II, donc une seule réponse aiguë serait incomplète.
Entraînement 4
Un triangle rectangle a des côtés de l'angle droit de 9 et 12 cm. Trouver l'hypoténuse et le sinus/cosinus de l'angle opposé à 9 cm. Un autre triangle a des angles de 30° et 45° et un côté de 8 cm opposé à 30°. Trouver le côté opposé à 45°, en expliquant pourquoi la loi des sinus s'applique.
Raisonnement. $c=\sqrt{(9\,\mathrm{cm})^2+(12\,\mathrm{cm})^2}=15\,\mathrm{cm}$. Ainsi $\sin\theta=9/15=3/5$ et $\cos\theta=12/15=4/5$ ; la somme de leurs carrés est 1. Dans le second triangle, une paire opposée côté-angle connue permet $b/\sin45^\circ=(8\,\mathrm{cm})/\sin30^\circ$. Par conséquent $b=(8\,\mathrm{cm})(\sqrt2/2)/(1/2)=8\sqrt2\,\mathrm{cm}$. Ce triangle n'est pas supposé rectangle ; son troisième angle est 105°.
Limites et prochaine utilisation
Indiquez les unités d'angle et identifiez l'angle compris. La valeur maximale est la ligne médiane plus l'amplitude, et non l'amplitude seule.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.