Champ d'application et prérequis
Cadre ACT, révision de février 2026. Les cas de classe ici ne constituent pas une forme officielle ACT.
- Distuez différence arithmétique de rapport géométrique
- Trouvez un terme ou une somme finie tout en conservant l'indexation cohérente
- Convertissez les équations logarithmiques en forme exponentielle sur le domaine valide
Prérequis : Notation d'indice ; règles des exposants ; suites finies.
Expliquer et choisir la méthode
Une suite arithmétique a une différence constante d : aₙ=a₁+(n-1)d. Sa somme finie est n(a₁+aₙ)/2. Une suite géométrique a un rapport constant r : aₙ=a₁r^(n-1). Pour r≠1, une somme finie est a₁(1-rⁿ)/(1-r) ; quand r=1, c’est simplement n a₁. Correspondre le terme demandé ou le total.
Un modèle exponentiel A b^t représente une multiplication par b par unité de temps donnée. Une croissance en pourcentage r utilise le facteur 1+r ; les changements répétés multiplient les facteurs plutôt qu’ils n’additionnent les pourcentages. Si le doublement prend plusieurs unités de temps, diviser t par cet intervalle dans l’exposant.
Pour une base b>0 avec b≠1, log_b(a)=c signifie b^c=a et exige a>0. Résoudre une équation logarithmique en la transformant en relation exponentielle, puis vérifier l'argument du logarithme. Les logarithmes de produits s'additionnent sous des arguments positifs valides ; les logarithmes ne se distribuent pas sur une addition.
Utilisez les puissances exactes quand elles sont disponibles. Le test ACT peut évaluer une simple relation logarithmique sans nécessiter de tables logarithmiques numériques. Une approximation calculée doit toujours respecter la représentation et le domaine de la question. Gardez séparés conceptuellement l'indice d'une suite, le temps d'un modèle exponentiel et l'argument d'un logarithme.
Suite arithmétique : $a_n=a_1+(n-1)d$. Sa somme est $S_n=n(a_1+a_n)/2$. Suite géométrique : $a_n=a_1r^{n-1}$ et $S_n=a_1(1-r^n)/(1-r)$ pour $r\ne1$. Un logarithme inverse la puissance : $\log_b a=c$ signifie $b^c=a$, avec $a>0$, $b>0$, $b\ne1$.
Exemple résolu. Suite arithmétique 4,7,10,… a premier terme a₅=16 et somme des cinq premiers termes =5(4+16)/2=50. Suite géométrique 3,6,12,24 a somme de quatre termes 45. log₂(x-1)=4 donne x-1=16, donc x=17, ce qui satisfait x>1. Une population 50·2^(t/3) atteint 200 après six unités de temps.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Le nombre de places dans les rangées successives est 12,16,20,… . Trouver le huitième rang et le total des huit premières rangées. Énoncer l'hypothèse du modèle.
Raisonnement. Différence constante de 4 places par rangée. $a_8=a_1+7d=12+7(4)=40$ places. $S_8=8(a_1+a_8)/2=8(12+40)/2=208$ places. Cela suppose le même incrément de quatre places à travers les huit rangées.
Pratique 2
Une suite géométrique commence 5,15,45,… . Trouver son cinquième terme et la somme des cinq premiers termes. Expliquer ce qui change si le rapport est 1.
Raisonnement. $a_5=a_1r^4=5(3)^4=405$. $S_5=a_1(1-r^5)/(1-r)=5(1-243)/(1-3)=605$. Quand $r=1$, la fraction a un dénominateur nul et la somme correcte est $na_1$, ici 25 pour cinq termes identiques.
Pratique 3
Résoudre $\log_2(x-3)=5$ et expliquer pourquoi $\log_2(x+3)$ ne peut généralement pas être séparé en $\log_2x+\log_23$.
Raisonnement. Le domaine exige $x>3$. La forme exponentielle donne $x-3=32$, donc $x=35$ et l'argument est positif. La somme de logarithmes correspond au produit $3x$, pas $x+3$ ; en $x=1$, l'égalité proposée équilibrerait 2 avec $\log_23$.
Entraînement 4
Un modèle de culture commence avec 120 cellules et croît d'un facteur de 1.5 tous les deux heures. Écrire $N(t)$ pour t heures $t$, trouver $N(4)$, et distinguer le facteur de la croissance en pourcentage.
Raisonnement. $N(t)=120(1.5)^{t/2}$ cellules. $N(4)=120(1.5)^2=270$ cellules. La croissance est de 50% toutes les deux heures, pas 150% ; le facteur de quatre heures est 2.25. Le facteur horaire serait $\sqrt{1.5}$.
Limites et prochaine utilisation
Ne pas utiliser n plutôt que n-1 pour le terme n-ième, confondre une somme finie avec son dernier terme, ou développer log(a+b) en log a + log b.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.