Champ d'application et prérequis
Cadre ACT, révision de février 2026. Les cas de classe ici ne constituent pas une forme officielle ACT.
- Transformer les coordonnées tout en distinguant les mouvements rigides de la dilatation
- Utiliser la distance, le milieu et la pente comme preuves géométriques
- Se fier aux congruences valides et aux relations angulaires plutôt qu’à l’apparence du diagramme
Prérequis : Différences de coordonnées ; congruence des triangles ; angles sur droites parallèles.
Expliquer et choisir la méthode
Une translation ajoute un déplacement à chaque point ; une réflexion par rapport à l'axe des x envoie (x,y) sur (x,-y). Une rotation 90° dans le sens antihoraire autour de l'origine envoie (x,y) sur (-y,x). Ces mouvements rigides préservent les longueurs et les angles. Une homothétie de centre l'origine et de rapport k met les coordonnées et les longueurs à l'échelle k lorsque k est positif, conservant la forme mais modifiant généralement la taille.
La distance entre deux points suit le théorème de Pythagore : élever les différences de coordonnées au carré, les additionner et prendre la racine. Le milieu fait la moyenne de chaque coordonnée. La pente compare la variation verticale à la variation horizontale ; les pentes perpendiculaires non verticales ont un produit de -1. Les droites verticales et horizontales nécessitent un traitement distinct afin d’éviter la division par zéro.
Un raisonnement géométrique part des conditions énoncées ou marquées. Les angles opposés par le sommet sont égaux ; les droites parallèles donnent des relations d'angles correspondants et alternes-internes. La somme des angles d'un triangle vaut 180°. SSS, SAS et ASA/AAS peuvent établir la congruence avec une correspondance appropriée, tandis que deux angles égaux établissent la similitude mais pas l'égalité des tailles.
Le raisonnement par construction utilise un compas pour reporter des longueurs et tracer des arcs de même rayon. L'intersection d'arcs à égale distance permet de localiser une médiatrice ; ce n'est pas un milieu deviné sur un croquis. Des preuves coordonnées peuvent étayer une démonstration, mais une figure choisie au hasard ne prouve pas une affirmation générale pour tous les triangles.
Les mouvements rigides préservent les longueurs et les angles. Une rotation 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre envoie $(x,y)$ vers $(-y,x)$ autour de l'origine. La distance est $d=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$. Des angles égaux établissent la similitude, mais la congruence fixe aussi la taille.
Exemple résolu. Le point (2,-1) traduit par (3,4) devient (5,3) ; tourné 90° dans le sens antihoraire autour de l'origine, il devient (1,2). Entre (1,2) et (7,10), la distance est √(6²+8²)=10 et le milieu est (4,6). Deux triangles ayant des longueurs de côtés correspondantes 3,4,5 sont congruents par SSS ; des triangles ayant des angles égaux peuvent différer par l'échelle.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Faire tourner A = $(2,-3)$ de 90° dans le sens inverse des aiguilles d'une montre autour de l'origine, puis traduire de $(4,1)$. Inverser l'ordre et comparer les points extrêmes.
Raisonnement. Tourner d'abord vers $(3,2)$, puis traduire vers $(7,3)$. Traduire d'abord vers $(6,-2)$, puis tourner vers $(2,6)$. Les extrémités diffèrent, donc l'ordre de transformation est important.
Pratique 2
A = $(-1,2)$ et B = $(5,10)$ sont les extrémités d'un segment. Trouver sa longueur, son milieu et l'équation de sa médiatrice.
Raisonnement. $d=\sqrt{(5+1)^2+(10-2)^2}=10$. Milieu $M=(({-1}+5)/2,(2+10)/2)=(2,6)$. La pente du segment est $8/6=4/3$, donc la pente perpendiculaire est $-3/4$. La médiatrice est $y-6=-(3/4)(x-2)$.
Pratique 3
Deux triangles ont des angles 40°, 60°, 80°. L'un a le plus long côté de 9 cm ; l'autre de 15 cm. Indiquer ce qui est prouvé et le rapport de leurs aires.
Raisonnement. Les triangles sont semblables par égalité des angles, mais non congruents car les côtés homologues les plus longs diffèrent. Le rapport de longueur est $15/9=5/3$ et le rapport des aires (grand sur petit) est $25/9$.
Entraînement 4
Décrire une construction au compas et à la règle de la médiatrice du segment AB. Donner une justification valide pour chaque point construit, et distinguer cela de la mesure d'un seul diagramme. Ensuite, expliquer ce que SSS prouve pour des triangles ayant des longueurs de côtés correspondantes de 3,4,5 cm.
Raisonnement. Utiliser le même rayon de compas, supérieur à la moitié de AB, pour tracer des arcs centrés en A et B se coupant en P et Q de part et d'autre. Tracer PQ. PA=PB et QA=QB par rayons égaux. Ainsi, P et Q appartiennent tous deux au lieu géométrique des points équidistants de A et B ; PQ est la médiatrice. On peut également utiliser des triangles congruents et la corde commune pour établir la perpendicularité et la bissection. Une lecture de règle sur une image ne prouve pas le lieu géométrique général. SSS prouve que les deux triangles énoncés sont congruents, fixant ainsi la taille ainsi que la forme ; Pythagore montre aussi que ces triangles particuliers sont rectangles.
Pratique 5
Deux droites parallèles sont coupées par une sécante. Un angle correspondant mesure 68°. Trouver l'angle correspondant correspondant et l'angle adjacent sur la deuxième droite. Expliquer quelle condition donnée justifie chaque étape.
Raisonnement. La parallelisme donne l'angle correspondant correspondant 68°. La paire adjacente forme un angle plat, donc l'autre est 180°−68°=112°. Des angles correspondants égaux exigent les lignes parallèles énoncées ; la somme de l'angle plat utilise l'adjacence sur une droite. Un croquis ressemblant sans parallélisme ne justifierait pas la première égalité.
Limites et prochaine utilisation
Suivez le centre et l'ordre de transformations spécifiés. N'utilisez pas une paire visuellement parallèle ou perpendiculaire comme condition énoncée.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.