Champ d'application et prérequis
Cadre ACT, révision de février 2026. Les cas de classe ici ne constituent pas une forme officielle ACT.
- Identifier et interpréter les formes standards de cercle, ellipse, parabole et hyperbole
- Utiliser les relations d'angles au cercle, tangente et sécante selon leurs conditions
- Calculer l'aire, l'aire de surface ou le volume avec la bonne dimension et les unités
Prérequis : Complétion du carré ; axes semi-carrés ; géométrie circulaire ; unités de volume.
Expliquer et choisir la méthode
Un cercle a la forme (x-h)²+(y-k)²=r². Une ellipse utilise deux termes positifs au carré divisés par des axes semi-carrés ; une hyperbole a une différence de tels termes. Une parabole a une coordonnée au carré dans sa forme standard alignée. Dans y²=4px, le sommet est l'origine et le foyer est (p,0) ; lire le signe et l'axe avant d'interpréter la direction.
Pour (x-1)²/9+(y+2)²/4=1, le centre est (1,-2), le demi-grand axe horizontal est 3 et le demi-grand axe vertical est 2. Mettre au carré lorsque le centre est caché dans un cercle développé. Les coefficients et signes d'une équation distinguent les types de coniques ; un croquis approximatif ne fournit pas les informations algébriques manquantes.
Une tangente est perpendiculaire au rayon au point de contact. Un angle inscrit est la moitié de l'angle central sous-tendant le même arc. Pour deux sécantes issues du même point extérieur, le segment extérieur multiplié par la longueur totale de la sécante est égal pour les deux ; le carré de la longueur de la tangente est égal à ce produit. La longueur totale inclut la partie extérieure, donc ne pas multiplier seulement le segment extérieur et intérieur.
Séparer les mesures de périmètre des mesures d'espace. Le périmètre d'un cercle est 2πr et l'aire πr² ; le volume d'un cylindre est πr²h ; le volume d'un cône est πr²h/3 ; le volume d'une sphère est 4πr³/3. L'aire de surface additionne les faces exposées. Si toutes les longueurs correspondantes sont mises à l'échelle par k, l'aire est mise à l'échelle par k² et le volume par k³ ; modifier une seule dimension nécessite la formule originale.
Une ellipse $(x-h)^2/a^2+(y-k)^2/b^2=1$ a pour centre $(h,k)$. Les demi-axes sont les racines carrées des dénominateurs positifs. Une parabole $y^2=4px$ a pour foyer $(p,0)$ et pour directrice $x=-p$. Distinguer ces équations d'une hyperbole ayant une différence de carrés.
Exemple résolu. L'ellipse (x-1)²/9+(y+2)²/4=1 a pour extrémités horizontales (-2,-2) et (4,-2). y²=8x a p=2 et foyer (2,0). Les sécantes ayant des longueurs extérieures/totales 3/12 et 4/9 ont toutes deux un produit 36, donc une tangente issue du même point a pour longueur 6. Un cône de rayon 3 et de hauteur 8 a un volume 24π.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Pour $(x+2)^2/25+(y-1)^2/9=1$, indiquer le centre, les axes semi-horizontaux et verticaux, ainsi que les quatre extrémités des axes. Pour $y^2=-12x$, indiquer le sommet et le foyer.
Raisonnement. Le centre est $(-2,1)$, les demi-axes sont 5 et 3, les extrémités sont $(-7,1),(3,1),(-2,-2),(-2,4)$. Dans la parabole, $4p=-12$, donc $p=-3$ ; sommet $(0,0)$, foyer $(-3,0)$.
Pratique 2
Depuis un point extérieur, une tangente a pour longueur 6 cm. Une sécante a pour segment extérieur 4 cm. Trouver sa longueur totale et ses longueurs intérieures.
Raisonnement. Utiliser la relation tangente-sécante $t^2=ew$. Réarranger $w=t^2/e=(6\,\mathrm{cm})^2/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$. La longueur intérieure est $w-e=9\,\mathrm{cm}-4\,\mathrm{cm}=5\,\mathrm{cm}$. Le produit utilise la longueur totale, pas seulement l'intérieur.
Pratique 3
Un récipient cylindrique a un rayon de 3 cm et une hauteur de 8 cm. Trouver son volume et son aire de surface totale fermée. Que devient chacun si chaque longueur double ?
Raisonnement. $V=\pi r^2h=\pi(3\,\mathrm{cm})^2(8\,\mathrm{cm})=72\pi\,\mathrm{cm^3}$. $A=2\pi r^2+2\pi rh=2\pi(3\,\mathrm{cm})^2+2\pi(3\,\mathrm{cm})(8\,\mathrm{cm})=66\pi\,\mathrm{cm^2}$. Doubler toutes les longueurs multiplie le volume par 8 et l'aire par 4.
Entraînement 4
Classer $x^2/16-y^2/9=1$ et $x^2+y^2=16$. Trouver le périmètre et l'aire du cercle. Pour deux sécantes issues du même point extérieur, l'une a des longueurs extérieures/totales de 3/12 cm et l'autre a une longueur extérieure de 4 cm : trouver sa longueur totale et ses longueurs intérieures.
Raisonnement. La différence de termes au carré définit une hyperbole centrée à l'origine. La somme avec coefficients égaux définit un cercle de rayon 4. Sa circonférence est $C=2\pi r=8\pi$ et son aire $A=\pi r^2=16\pi$ en unités de longueur et d'aire coordonnée respectivement. Les produits de sécantes correspondent : $e_1w_1=e_2w_2$. Ainsi $w_2=(3\,\mathrm{cm})(12\,\mathrm{cm})/(4\,\mathrm{cm})=9\,\mathrm{cm}$ ; la longueur intérieure est $9-4=5\,\mathrm{cm}$. Multiplier l'extérieur par l'intérieur appliquerait la mauvaise relation.
Limites et prochaine utilisation
Prenez les racines carrées pour les rayons et demi-axes ; utilisez les longueurs totales des sécantes et les unités cubiques pour le volume.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.