Champ d'application et prérequis
Cadre ACT, révision de février 2026. Les cas de classe ici ne constituent pas une forme officielle ACT.
- Évaluer et convertir entre règles de fonction, tableaux et graphiques
- Suivre l'ordre d'entrée et le domaine via la composition
- Restreignez le domaine de la fonction jusqu’à ce qu’elle soit bijective, puis trouvez son inverse
Prérequis : Notation fonctionnelle ; substitution ; résolution d'équations.
Expliquer et choisir la méthode
Une fonction donne une sortie unique pour chaque entrée autorisée. Un graphique passant par deux sorties différentes à une ligne verticale n'est pas une fonction de x. Le domaine liste les entrées autorisées ; l'image liste les sorties atteintes. Convertir un tableau en règle uniquement lorsque la relation est justifiée, et interpréter le rôle de chaque variable.
Dans f(g(x)), la fonction intérieure g agit en premier et sa sortie doit appartenir au domaine de f. Pour f(u)=1/(u-1) et g(x)=x²+1, la composition donne 1/x² et exclut x=0. La vérification du domaine appartient aux fonctions originales ainsi qu'au résultat simplifié.
Un changement de sortie f(x)+k provoque un déplacement vertical de k ; f(x-h) déplace vers la droite de h. Un multiplicateur extérieur modifie l'échelle de sortie, tandis qu'un multiplicateur intérieur change la vitesse à laquelle l'entrée atteint les anciens points. Identifier un point connu pour vérifier la transformation plutôt que de deviner la direction à partir d'un signe.
Un inverse échange l’entrée et la sortie et exige une relation bijective sur le domaine choisi. Résolvez y=f(x) pour x, puis échangez les noms. Une fonction quadratique doit généralement être restreinte à un seul côté de son sommet. La fonction inverse f⁻¹ n’est pas le reciprocal 1/f. Vérifiez la composition dans les deux sens sur le domaine autorisé.
La composition applique d’abord la règle intérieure. Si $f(u)=1/(u-2)$ et $g(x)=x^2+2$, alors $f(g(x))=1/x^2$, avec $x\ne0$. Une fonction inverse inverse l’entrée et la sortie sur un domaine un-à-un. Restreindre $h(x)=(x-1)^2$ à $x\ge1$ avant de prendre $h^{-1}(x)=1+\sqrt{x}$.
Exemple résolu. f(x)=2x+3 et g(x)=x² donnent f(g(x))=2x²+3, mais g(f(x))=(2x+3)². Pour h(x)=(x-2)² restreinte à x≥2, l’inverse est 2+√x avec domaine x≥0. Un translation verticale de h par 4 a son sommet en (2,4) ; le polynôme du second degré non restreint n’aurait pas d’inverse à valeur unique.
Matériel d'entraînement
Chaque question de pratique ci-dessous énonce toutes les données nécessaires.
Entraînement au raisonnement
Entraînement 1
Posons $f(u)=1/(u-3)$ et $g(x)=x^2+3$. Trouver $f(g(x))$ avec son domaine. Calculer $g(f(4))$ et expliquer pourquoi ces compositions diffèrent.
Raisonnement. $f(g(x))=1/(x^2+3-3)=1/x^2$, en excluant $x=0$. Pour l’autre ordre, on trouve $f(4)=1$ et $g(1)=4$. L’ordre de composition change l’opération et potentiellement le domaine ; $f(g(4))=1/16$ est différent.
Pratique 2
Restreindre $h(x)=(x+2)^2$ à $x\le-2$. Trouver son inverse, incluant le domaine et l’image. Expliquer pourquoi la branche de la racine positive est erronée.
Raisonnement. Résolvez $y=(x+2)^2$ avec $x+2\le0$ pour obtenir $x=-2-\sqrt y$. Donc $h^{-1}(x)=-2-\sqrt x$, domaine $x\ge0$, image $y\le-2$. La branche positive donne des valeurs hors du domaine original choisi.
Pratique 3
Le graphe de $f(x)=x^2$ est transformé en $g(x)=3f(x+4)-2$. Trouver son sommet et son image, en vérifiant un point mappé.
Raisonnement. $g(x)=3(x+4)^2-2$ a pour sommet $(-4,-2)$ et pour image $y\ge-2$. L’ancien point $(1,1)$ mappé vers $(-3,1)$ car $3(1)-2=1$ ; la substitution confirme $g(-3)=1$.
Limites et prochaine utilisation
Préserver l'ordre de composition et la branche d'inverse restreinte. L'exposant -1 dans la notation fonctionnelle ne signifie pas un reciprocal.
Il s'agit de tâches pratiques originales écrites pour ce cours, et non de questions d'examen officielles.