C.9 · Factores integradores y ecuaciones diferenciales no homogéneas

Preparación de GRE para grado universitario. Objetivos locales dentro del alcance revisado de ETS; esto es enseñanza original, no una prueba oficial ni un predictor de puntuación.

Prerrequisitos: Regla del producto de primer orden, exponenciales y ecuaciones características.

• Resolver ecuaciones lineales de primer orden usando un factor integrante
• Construir las partes homogénea y particular de una solución de coeficientes constantes
• Manejar la resonancia y verificar el resultado en la ecuación original

factor integrante: Un multiplicador que convierte una ecuación lineal de primer orden en una derivada de producto.

solución particular: Una solución que suministra la fuerza no homogénea especificada.

Una ecuación lineal de primer orden tiene la forma y′+p(x)y=q(x) en un intervalo donde sus coeficientes son continuos. No necesita ser separable. Establezca μ(x)=exp(∫p(x)dx). Dado que μ′=pμ, la multiplicación da (μy)′=μq, luego y=μ⁻¹(∫μq dx+C). Elija cualquier antiderivada conveniente para p; su constante de integración solo reescala μ y se cancela de la solución. Aplique los datos iniciales después de la integración, y mantenga los puntos de coeficiente singular fuera del intervalo elegido.

Para y′+2xy=x con y(0)=1, μ=e^(x²). Entonces (e^(x²)y)′=x e^(x²), cuya integral es e^(x²)/2+C. Así y=1/2+C e^(−x²), y la condición inicial da C=1/2. La sustitución directa verifica y′+2xy=x. El factor integrante convierte el lado izquierdo en la derivada de un producto; no es un factor adicional que permanezca multiplicando el lado derecho original en la respuesta final.

Para ay″+by′+cy=r(x) con a distinto de cero, resuelva la ecuación característica aλ²+bλ+c=0 para la parte homogénea. Raíces reales distintas dan dos exponenciales; una raíz repetida λ da (C₁+C₂x)e^(λx); raíces α±iβ dan e^(αx)(C₁ cos βx+C₂ sin βx). La solución completa es y_h+y_p. Una fuerza polinomial sugiere una prueba particular polinomial; una fuerza exponencial o seno/coseno sugiere la familia correspondiente, con suficientes coeficientes para tener en cuenta la diferenciación.

Si una prueba particular duplica una solución homogénea, no puede producir la fuerza: multiplique por x una vez para una raíz simple, dos veces para una raíz repetida. Para y″−3y′+2y=e^x, la Ke^x ingenua se anula. Probar Kxe^x da −Ke^x, así que y_p=−xe^x. Las condiciones iniciales determinan las constantes homogéneas solo después de sumar y_p. Sustituya la función final en la ecuación original para verificar signos y fuerza; una verificación de valor inicial sola no puede verificar la ecuación diferencial.

Para y″−3y′+2y=4, las raíces características son 1 y 2. Una solución particular constante y_p=2 da 2y_p=4, así que y=C₁e^x+C₂e^(2x)+2. Para y′+2xy=x y y(0)=1, la solución de primer orden separada es y=(1+e^(−x²))/2. Estos ilustran métodos distintos; ninguna ecuación se vuelve homogénea solo porque su lado izquierdo es lineal.

Mantén la solución particular. Un ensayo resonante necesita un factor x. La derivación del factor integrante aplica en un intervalo de coeficientes válido y no debe dividir por y ni descartar silenciosamente soluciones nulas.

Resuelva $y'+2y=e^x$, $y(0)=1$, usando un factor integrante. Verifique la respuesta directamente.

Solución resuelta

Los coeficientes son continuos en todas partes. El factor integrante es $\mu=e^{2x}$. La multiplicación da $(e^{2x}y)'=e^{3x}$. La integración da $y=e^x/3+Ce^{-2x}$. La condición inicial produce C=2/3, por lo tanto $y=e^x/3+2e^{-2x}/3$. La diferenciación da $y'=e^x/3-4e^{-2x}/3$; al sumar 2y se obtiene $e^x$, y y(0)=1.

Resuelva $y''-2y'+y=e^x$ con $y(0)=0,y'(0)=0$. Explique por qué ni $Ke^x$ ni $Kxe^x$ constituyen una prueba particular suficiente.

Verificar después de intentar

La raíz homogénea es 1 con multiplicidad dos, por lo tanto $y_h=(C_1+C_2x)e^x$. Ambas pruebas sugeridas ya pertenecen a ese espacio homogéneo y se anulan. Coloque $y=e^xv$; entonces $y''-2y'+y=e^xv''$. En consecuencia $v''=1$ y $v=x^2/2+C_2x+C_1$. Las dos condiciones iniciales producen $C_1=C_2=0$, luego $y=x^2e^x/2$. Esta sustitución también verifica la fuerza sin depender únicamente de los valores iniciales.