M · Probability

AQA A-level Mathematics 7357, sección M (Probabilidad), versión 1.3 (primera evaluación 2018). Notas originales de enseñanza.

Prerrequisitos: árboles de probabilidad y diagramas de Venn de GCSE.

Estos son ejemplos originales para docentes, no material oficial de AQA.

La pregunta

• Se sacan dos contadores de una bolsa con 3 rojos y 2 azules, uno tras otro. Las probabilidades del segundo extraído son diferentes de las del primero —¿es un error o ese es el punto?
• Antes de seguir leyendo, diga qué cambia "sin reemplazo" y cómo un árbol lo muestra.

El método

• Multiplique a lo largo de una rama del árbol y sume ramas disjuntas para un resultado. La probabilidad condicional restringe el espacio muestral: P(A dado B) = P(A ∩ B)/P(B) para P(B) > 0. Sin reemplazo, la composición cambia para el siguiente extraído.
• Exclusivos mutuamente significa sin superposición; independiente significa que conocer un evento no cambia la probabilidad del otro. Dos eventos disjuntos con probabilidad positiva nunca son independientes: si ocurre A, P(B) cae a 0.
• probabilidad condicional: La probabilidad de un evento dentro del grupo seleccionado por información dada; exclusivos mutuamente: Eventos que no pueden ocurrir juntos; independiente: Eventos donde conocer uno deja la probabilidad del otro 2019 sin cambios.

Verificar su trabajo

• Rellene un diagrama de Venn desde la SUPERPOSICIÓN hacia afuera: con 18 haciendo ciclismo, 12 nadando y 7 haciendo ambas, las únicas regiones restantes son 11 y 5, por lo que al menos una es 23 y ninguna es 7 de 30. Sumar 18 + 12 duplica la cuenta de la 7.
• Una probabilidad condicional usa el total del grupo condicionado como su denominador: P(nadar dado ciclismo) = 7/18, no 7/30. Invertir la condición usualmente cambia el valor.

Caso resuelto

• Conocido: 3 rojos y 2 azules, dos extracciones sin reposición. P(dos rojos) = 3/5 × 2/4 = 3/10. P(uno de cada uno) = 3/5 × 2/4 + 2/5 × 3/4 = 3/10 + 3/10 = 6/10. Las ramas se multiplican y las rutas disjuntas se suman.

Ejemplo:

Dado P(A ∩ B) = 0.12 y P(B) = 0.3, encuentre P(A dado B) usando la misma secuencia: identificar el grupo condicionado → dividir → interpretar. (Respuesta: P(A dado B) = 0.12/0.3 = 0.4. El denominador es la probabilidad de B, no todo el espacio.)

Límites y trampas

• Independencia y exclusividad responden preguntas diferentes: eventos disjuntos con probabilidad positiva siempre son dependientes. Los conteos esperados (np) son promedios a largo plazo, no garantías para una sola ejecución.

Advertencia:

Los eventos mutuamente excluyentes con probabilidades positivas deben ser independientes. Esta afirmación es falsa: si A y B no pueden ocurrir juntos, entonces P(B dado A) = ⟨0⟩ ≠ P(B); saber que A ocurrió cambia completamente la probabilidad de B, lo contrario de la independencia.

Clave:

Probabilidad: multiplique a lo largo de las ramas, sume rutas disjuntas; la probabilidad condicional divide por el grupo condicionado; sin reemplazo las probabilidades evolucionan; ser disjunto con probabilidad positiva significa que son dependientes, nunca independientes.