Una máquina rellena botellas con una ligera dispersión alrededor de 500 ml, mientras que un conteo de defectos mediante contador siempre es un número entero. Un modelo usa áreas bajo una curva suave; el otro cuenta probabilidades discretas. ¿Cuál se ajusta a cuál?
Antes de continuar leyendo, explique qué hace que un conteo sea binomial y qué necesita un modelo continuo.
El método
Una distribución binomial requiere n fijo, ensayos independientes, dos resultados y una p constante: P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ, con E(X) = np y Var(X) = np(1 − p). El valor esperado es la media ponderada por probabilidad.
Una cantidad continua sigue una curva de densidad: la probabilidad es ÁREA, y P(X = x) = 0 para cualquier valor exacto. La distribución normal se estandariza con z = (x − μ)/σ antes de leer una probabilidad en la cola. Un modelo de Poisson cuenta eventos a una tasa constante, con media igual a varianza.
distribución binomial: El conteo de éxitos en n ensayos independientes de dos resultados con probabilidad constante p; valor esperado: La media ponderada por probabilidad de una variable aleatoria; distribución normal: El modelo simétrico en forma de campana para cantidades continuas, estandarizado por z = (x − μ)/σ.
B(5, 0.2): P(X = 0) = 0.8⁵ ≈ 0.328, media 1; para N(100, 15²), x = 130 se estandariza a z = 2
Verificar su trabajo
Verifique las condiciones binomiales antes de usar la fórmula: muestrear sin reemplazo hace que los ensayos sean dependientes y cambia p, por lo que el modelo falla. No todo conteo es binomial.
Para una variable continua, nunca pregunte P(X = exactamente 130): calcule una cola o un intervalo. Enuncie el evento antes de calcular, y dibuje la región sombreada primero.
Caso resuelto
Conocido: X ~ binomial(5, 0.2). P(X = 0) = 0.8⁵ = 0.32768. E(X) = np = 1 y Var(X) = np(1 − p) = 0.8. Para una cantidad normal con μ = 100, σ = 15, el valor 130 tiene z = (130 − 100)/15 = 2, por lo que se encuentra dos desviaciones estándar por encima de la media.
Ejemplo:
Para X ~ binomial(5, 0.2), encuentre P(X = 1) usando la misma secuencia: seleccione el modelo → fórmula → sustitución. (Respuesta: P(X = 1) = C(5,1) × 0.2 × 0.8⁴ = 5 × 0.2 × 0.4096 = 0.4096.)
Límites y trampas
Los momentos binomiales solo siguen cuando se cumplen las cuatro condiciones. Un modelo normal requiere datos aproximadamente simétricos; una corrección de continuidad importa al aproximar una distribución discreta con una normal.
Advertencia:
Todo conteo de éxitos tiene una distribución binomial independientemente de la dependencia. Esta afirmación es falsa: el modelo requiere ensayos independientes con p constante; muestrear sin reemplazo o una tasa de éxito cambiante lo rompe, por lo que la fórmula reportaría una precisión falsa.
Clave:
Distribuciones estadísticas: binomial para conteos fijos-n e independientes (E = np, Var = np(1 − p)); normal para cantidades continuas vía z = (x − μ)/σ; las probabilidades son áreas para modelos continuos y términos exactos para los discretos.
Lecciones interactivas sobre este tema
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.
