Diferenciación: funciones compuestas, implícitas e inversas

AP Cálculo BC · Tema 3

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3.1

La Regla de la Cadena

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de Aprendizaje FUN-3.C: Calcular derivadas de composiciones de funciones diferenciables.

FUN-3.C.1 La regla de la cadena proporciona un método para derivar funciones compuestas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un camino de montaña: las funciones compuestas anidan tasas de cambio (regla de la cadena)

La regla de la cadena

La Unidad 2 diferencia funciones simples diferenciadas. La Unidad 3 diferencia funciones construidas dentro de otras funciones. La regla de la cadena 链式法则 diferencia una función compuesta 复合函数 $f\big(g(x)\big)$:

$$\frac{d}{dx}\,f\big(g(x)\big) = f'\big(g(x)\big)\cdot g'(x).$$

"Derivada de la función externa (dejando el interior intacto), multiplicada por la derivada del interior." La derivada interna $g'(x)$ es la parte que los estudiantes suelen olvidar, así que siempre pregúntese "¿qué es lo interno y cuál es su derivada?". Ejemplo:

$$\frac{d}{dx}\sin(x^2) = \cos(x^2)\cdot 2x.$$

En notación leibniziana, con $y=f(u)$ y $u=g(x)$, la regla se escribe $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{du}\cdot\dfrac{du}{dx}$ — el término intermedio $du$ parece "cancelarse". Las preguntas de examen a menudo proporcionan una tabla para $f$, $g$, $f'$, $g'$ y solicitan $h'(a)$ donde $h(x)=f\big(g(x)\big)$; evalúe $f'\big(g(a)\big)\cdot g'(a)$ leyendo los valores.

Ejemplo resuelto. Diferencia $h(x)=(2x^2+1)^5$. La función externa es "(algo)$^5$" y la interna es $2x^2+1$:

$$h'(x)=5(2x^2+1)^4\cdot 4x=20x(2x^2+1)^4.$$

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
chain rule/tʃeɪn ruːl/	链式法则	liàn shì fǎ zé
composite function/ˈkɒmpəzɪt ˈfʌŋkʃn/	复合函数	fù hé hán shù
Implicit differentiation/ɪmˈplɪsɪt ˌdɪfəˌrenʃɪˈeɪʃn/	隐函数求导	yǐn hán shù qiú dǎo
inverse function/ɪnˈvɜːs ˈfʌŋkʃn/	反函数	fǎn hán shù
reciprocal/rɪˈsɪprəkl/	倒数	dào shǔ
inverse trigonometric functions/ɪnˈvɜːs ˌtrɪɡənəʊˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/	反三角函数	fǎn sān jiǎo hán shù
second derivative/ˈsekənd dɪˈrɪvətɪv/	二阶导数	èr jiē dǎo shù
concavity/kənˈkævɪti/	凹凸性	āo tū xìng

3.2

Diferenciación Implícita

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.D: Calcular derivadas de funciones definidas implícitamente.

FUN-3.D.1 La regla de la cadena es la base de la diferenciación implícita.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Algunas curvas están definidas implícitamente — mediante una ecuación en $x$ e $y$ que no está despejada para $y$, como $x^2+y^2=25$. La diferenciación implícita 隐函数求导 encuentra $\dfrac{dy}{dx}$ sin despejar $y$ previamente. Es simplemente la regla de la cadena, tratando a $y$ como una función de $x$.

El método: derive ambos lados con respecto a $x$; cada vez que derive un término con $y$, multiplique por $\dfrac{dy}{dx}$ (la regla de la cadena); luego despeje algebraicamente $\dfrac{dy}{dx}$. Para $x^2+y^2=25$:

$$2x + 2y\frac{dy}{dx}=0 \;\Longrightarrow\; \frac{dy}{dx} = -\frac{x}{y}.$$

Ejemplo resuelto. Encuentra la tangente a $x^2+y^2=25$ en $(3,4)$. Aquí $\dfrac{dy}{dx}=-\dfrac{3}{4}$, así que la línea tangente es $y-4=-\tfrac{3}{4}(x-3)$ – perpendicular al radio, como predice la geometría.

La diferenciación implícita proporciona la tangente a un círculo, perpendicular al radio — Diferenciación implícita proporciona la tangente a un círculo, perpendicular al radio

Habilidad de examen – "Demuestre que $\dfrac{dy}{dx}=\ldots$". Este enunciado exacto aparece casi todos los años (por ejemplo, "Demuestre que $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{2y}{y^2-2x}$"). Dado que el objetivo está dado, debe mostrar cada paso algebraico con claridad: derive ambos lados, aplique las reglas del producto/cadena a los términos mixtos $xy$, agrupe todos los términos $\dfrac{dy}{dx}$ en un lado, factorice y divida. Una línea final correcta que omita el álgebra obtiene pocos puntos. Las partes subsiguientes suelen pedir la recta tangente, o dónde la tangente es horizontal ($\tfrac{dy}{dx}=0$, por lo tanto el numerador es $0$) o vertical (el denominador es $0$).

3.3

Diferenciación de Funciones Inversas

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.E: Calcular derivadas de funciones inversas y trigonométricas inversas.

FUN-3.E.1 La regla de la cadena y la definición de una función inversa pueden utilizarse para encontrar la derivada de una función inversa, siempre que dicha derivada exista.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Si $g$ es la función inversa 反函数 de $f$ (es decir, $f(g(x))=x$), la regla de la cadena vincula sus derivadas:

$$g'(x) = \frac{1}{f'\big(g(x)\big)},\qquad\text{provided } f'\big(g(x)\big)\neq 0.$$

En palabras: la derivada de la inversa en un punto es el recíproco 倒数 de la derivada de la función original en el punto correspondiente. Un escenario de examen común proporciona una tabla y un punto $(a,b)$ en $f$ (por lo tanto $(b,a)$ está en $g$), y luego pide $g'(b)=\dfrac{1}{f'(a)}$.

Ejemplo resuelto. Si $f(2)=5$ y $f'(2)=3$, y $g$ es la inversa de $f$, entonces $(5,2)$ yace en $g$ y $g'(5)=\dfrac{1}{f'(2)}=\dfrac{1}{3}$.

La función inversa es la imagen especular de la función en la recta y = x

Explorar

Una exponencial y su inversa el log

y = a·e^(bx) + c

Las funciones inversas se reflejan a través de $y=x$ y sus pendientes son recíprocas. Donde una es pronunciada, su inversa es suave.

3.4

Diferenciación de Funciones Trigonométricas Inversas

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.E: Calcular derivadas de funciones inversas y funciones trigonométricas inversas.

FUN-3.E.2 La regla de la cadena aplicada junto con la definición de una función inversa, o la fórmula para la derivada de una función inversa, pueden utilizarse para encontrar las derivadas de las funciones trigonométricas inversas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La misma idea da las derivadas de las funciones trigonométricas inversas 反三角函数. Las tres que debe conocer:

$$\frac{d}{dx}\arcsin x = \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}, \quad \frac{d}{dx}\arctan x = \frac{1}{1+x^2}, \quad \frac{d}{dx}\text{arcsec}\,x = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}.$$

Combine estas con la regla de la cadena cuando la entrada sea ella misma una función, por ejemplo $\dfrac{d}{dx}\arctan(3x)=\dfrac{3}{1+9x^2}$.

3.5

Selección de Procedimientos para Calcular Derivadas

Syllabus

Este tema está destinado a centrarse en la habilidad de seleccionar un procedimiento adecuado para el cálculo de derivadas. Se debe brindar a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con el cálculo de derivadas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un tema de habilidad: las derivadas reales mezclan varias reglas, así que lea primero la estructura de la expresión, de afuera hacia adentro.

¿Es una suma? Derive término a término.
¿Un producto o cociente? Aplique esa regla, y espere usar la regla de la cadena internamente.
¿Una compuesta (algo dentro de algo)? Regla de la cadena.
¿Dada implícitamente? Diferenciación implícita.

Nombre la operación más externa, aplique su regla y recorra hacia adentro. El orden evita errores de signo y de contabilidad que cuestan puntos.

3.6

Cálculo de Derivadas de Orden Superior

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar reglas de derivación puede simplificar el proceso de diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.F: Determinar derivadas de orden superior de una función.

FUN-3.F.1 Derivar $f'$ produce la segunda derivada $f''$, siempre que exista la derivada de $f'$; repetir este proceso genera derivadas de orden superior de $f$.
FUN-3.F.2 Las derivadas de orden superior se representan mediante diversas notaciones. Para $y = f(x)$, las notaciones para la segunda derivada incluyen $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$, $f''(x)$ e $y''$. Las derivadas de orden superior pueden denotarse como $\dfrac{d^n y}{dx^n}$ o $f^{(n)}(x)$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Derivar $f'$ produce la segunda derivada 二阶导数 $f''$; repetir esto genera derivadas de orden superior. Las notaciones:

$$f''(x)=\frac{d^2y}{dx^2}=y'', \qquad\text{and in general}\qquad f^{(n)}(x)=\frac{d^n y}{dx^n}.$$

La segunda derivada mide cómo cambia la pendiente; impulsa la concavidad 凹凸性和 aceleración en unidades posteriores. Para encontrar $f''$ implícitamente, derive nuevamente la expresión para $\dfrac{dy}{dx}$ (con las reglas del cociente y la cadena), y luego sustituya $\dfrac{dy}{dx}$ de vuelta.

Explorar

La segunda derivada es la pendiente de la pendiente

y = ax³ + bx² + cx + d

Diferenciar nuevamente da $f''$, la tasa a la que cambia la pendiente. Donde la pendiente está aumentando, la curva se curva hacia arriba.

3.6

Consejos para el examen

Use la regla de la cadena para funciones compuestas — derive la parte exterior, luego multiplique por la derivada de la parte interna (el factor más olvidado).
Para la diferenciación implícita, derive ambos lados con respecto a $x$ y adjunte $\tfrac{dy}{dx}$ cada vez que se derive $y$, luego despeje.
Obtenga la segunda derivada derivando dos veces (velocidad → aceleración).
Combine las reglas cuidadosamente en expresiones anidadas (cadena dentro de producto, etc.).
La gráfica de la función inversa es el reflejo en $y=x$; su pendiente es el recíproco de la original en el punto correspondiente.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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