Ecuaciones diferenciales

AP Cálculo BC · Tema 7

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7.1

Modelización de situaciones con ecuaciones diferenciales

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.A: Interpretar enunciados verbales de problemas como ecuaciones diferenciales que involucran una expresión derivada.

FUN-7.A.1 Las ecuaciones diferenciales relacionan una función de una variable independiente y las derivadas de dicha función.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una ecuación diferencial 微分方程 relaciona una función con sus derivadas. Muchas situaciones reales se describen mediante una tasa: "la población crece a una tasa proporcional a su tamaño" se convierte en $\dfrac{dP}{dt}=kP$. Establecer la ecuación a partir de una descripción verbal –identificar qué cambia y a qué es proporcional– es la primera habilidad.

7.2

Verificación de soluciones para ecuaciones diferenciales

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de Aprendizaje FUN-7.B: Verificar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.B.1 Las derivadas pueden utilizarse para verificar que una función es solución de una ecuación diferencial dada.
FUN-7.B.2 Pueden existir infinitas soluciones generales para una ecuación diferencial.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una solución es una función que satisface la ecuación. Para verificar una solución propuesta, diferenciarla y sustituir en la ecuación, verificando que ambos lados coincidan. Una solución general contiene una constante $C$; una solución particular fija $C$ a partir de una condición.

7.3

Esbozo de campos de pendientes

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.C: Estimar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.C.1 Un campo de pendientes es una representación gráfica de una ecuación diferencial en un conjunto finito de puntos del plano.
FUN-7.C.2 Los campos de pendientes proporcionan información sobre el comportamiento de las soluciones a ecuaciones diferenciales de primer orden.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Campos de pendientes y curvas solución

Un campo de pendientes 斜率场 dibuja un segmento de línea corto en muchos puntos, cada uno con la pendiente $\dfrac{dy}{dx}$ que da la ecuación en ese punto. Representa la familia de curvas solución sin resolverla. Para esbozarlo, evalúe el lado derecho en cada punto de la cuadrícula y dibuje un segmento con esa pendiente.

Un campo de pendientes muestra la pendiente en todas partes; las curvas solución la siguen — Un campo de pendientes muestra el gradiente en todos los puntos; las curvas solución lo siguen

Explorar

Leer una ecuación diferencial como un campo de pendientes

Un campo de pendientes dibuja la pendiente $dy/dx$ en cada punto. Una curva solución se abre paso, siempre tangente a los pequeños segmentos — puedes dibujarla siguiendo el flujo.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	微分方程	wēi fēn fāng chéng
slope field/sləʊp fiːld/	斜率场	xié lǜ chǎng

7.4

Razonamiento utilizando campos de pendientes

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-7): La resolución de ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.C: Estimar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.C.3 Las soluciones a las ecuaciones diferenciales son funciones o familias de funciones.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una curva solución sigue los segmentos como un bote siguiendo una corriente. A partir de un campo de pendientes puede esbozar la solución particular que pasa por un punto dado, describir el comportamiento a largo plazo y localizar dónde las soluciones se nivelan (pendientes cercanas a cero) –razonamiento sobre soluciones puramente a partir de la imagen.

7.5

Aproximación de soluciones usando el método de Euler

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de Aprendizaje FUN-7.C: Estimar soluciones a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.C.4 El método de Euler proporciona un procedimiento para aproximar una solución a una ecuación diferencial o un punto en una curva de solución. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Método de Euler

El método de Euler 欧拉方法 aproxima numéricamente una solución avanzando paso a paso a lo largo del campo de pendientes. Partiendo de un punto conocido, dé un paso pequeño $\Delta x$ y actualice:

$$y_{\text{new}}=y_{\text{old}}+\frac{dy}{dx}\cdot\Delta x.$$

Repita para cada paso. Pasos más pequeños dan una mejor aproximación. (Esta es una técnica solo para BC.)

Habilidad de examen: ser capaz de realizar dos o tres pasos de Euler a mano a partir de una tabla, y saber que el método de Euler subestima o sobrestima dependiendo de la concavidad de la solución.

Ejemplo resuelto. Aproximar $y(1)$ para $\dfrac{dy}{dx}=x+y$, $y(0)=1$, con paso $\Delta x=0.5$. Paso 1: la pendiente en $(0,1)$ es $0+1=1$, por lo tanto $y(0.5)\approx 1+1(0.5)=1.5$. Paso 2: la pendiente en $(0.5,1.5)$ es $0.5+1.5=2$, por lo tanto $y(1)\approx 1.5+2(0.5)=2.5$.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Euler's method/ˈɔɪləz ˈmeθəd/	欧拉方法	ōu lā fāng fǎ

7.6

Encontrar soluciones generales usando separación de variables

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-7): La resolución de ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.D: Determinar soluciones generales a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.D.1 Algunas ecuaciones diferenciales pueden resolverse mediante separación de variables.
FUN-7.D.2 La antiderivación puede utilizarse para encontrar soluciones generales a ecuaciones diferenciales.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Escherichia coli bajo un microscopio: las ecuaciones diferenciales modelan el crecimiento exponencial — E. coli bajo un microscopio: las ecuaciones diferenciales modelan el crecimiento exponencial

Una ecuación diferencial separable 可分离 puede escribirse con todas las $y$'s en un lado y todas las $x$'s en el otro, luego integrarse:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\ \Rightarrow\ \int\frac{dy}{h(y)}=\int g(x)\,dx.$$

Esto produce la solución general (con una $+C$), el principal método analítico para resolver ecuaciones diferenciales en este curso.

Ejemplo resuelto. Resolver $\dfrac{dy}{dx}=xy$ con $y(0)=2$. Separando, $\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx$ da $\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C$, por lo tanto $y=Ae^{x^2/2}$. La condición $y(0)=2$ da $A=2$, por lo tanto $y=2e^{x^2/2}$.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
separable/ˈsepərəbl/	可分离	kě fēn lí
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	初始条件	chū shǐ tiáo jiàn
exponential growth or decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ɔː dɪˈkeɪ/	指数增长	zhǐ shù zēng zhǎng
logistic model/ləˈdʒɪstɪk ˈmɒdl/	逻辑斯蒂模型	luó jí sī dì mó xíng
carrying capacity/ˈkæriɪŋ kəˈpæsɪti/	环境容纳量	huán jìng róng nà liàng

7.7

Búsqueda de soluciones particulares usando condiciones iniciales

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de Aprendizaje FUN-7.E: Determinar soluciones particulares a ecuaciones diferenciales.

FUN-7.E.1 Una solución general puede describir infinitas soluciones a una ecuación diferencial. Solo existe una solución particular que pasa por un punto dado.
FUN-7.E.2 La función $F$ definida por $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ es una solución particular a la ecuación diferencial $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfaciendo $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Las soluciones a las ecuaciones diferenciales pueden estar sujetas a restricciones de dominio.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una condición inicial 初始条件 (un punto conocido, p. ej. $y(0)=5$) fija la constante $C$. Resuelva para la solución general, sustituya la condición para encontrar $C$, y luego escriba la solución particular. Tenga cuidado con el dominio –una solución particular es válida solo en el intervalo que contiene el punto inicial.

La constante da lugar a una familia de curvas; una condición inicial selecciona una de ellas — La constante da una familia de curvas; una condición inicial selecciona una

7.8

Modelos exponenciales con ecuaciones diferenciales

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.F: Interpretar el significado de una ecuación diferencial y sus variables en un contexto dado.

FUN-7.F.1 Aplicaciones específicas del hallazgo de soluciones generales y particulares a ecuaciones diferenciales incluyen el movimiento a lo largo de una línea y el crecimiento y decaimiento exponencial.
FUN-7.F.2 El modelo para el crecimiento y decaimiento exponencial que surge de la afirmación "La tasa de cambio de una cantidad es proporcional al tamaño de la cantidad" es $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.G: Determinar soluciones generales y particulares para problemas que involucran ecuaciones diferenciales en un contexto dado.

FUN-7.G.1 El modelo de crecimiento y decaimiento exponencial, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, con condición inicial $y = y_0$ cuando $t = 0$, tiene soluciones de la forma $y = y_0 e^{kt}$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Crecimiento exponencial vs. logístico

La ecuación $\dfrac{dy}{dt}=ky$ indica que la tasa de cambio es proporcional a la cantidad, lo que produce un crecimiento o decrecimiento exponencial. Al separar variables se obtiene

$$y=y_0 e^{kt},$$

donde $k>0$ corresponde al crecimiento y $k<0$ al decrecimiento. Esto modela el crecimiento ilimitado de poblaciones, la desintegración radiactiva y los intereses compuestos continuamente.

Una taza de café enfriándose: la ley de enfriamiento de Newton es un modelo clásico de ecuaciones diferenciales

Explorar

Un modelo de crecimiento/decayimiento exponencial

y = a·e^(bx) + c

La ecuación $dy/dt=ky$ tiene soluciones exponenciales: la cantidad cambia a una tasa proporcional a sí misma, dando crecimiento ilimitado ($k>0$) o decayimiento hacia cero ($k<0$).

7.9

Modelos logísticos con ecuaciones diferenciales

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-7): Resolver ecuaciones diferenciales nos permite determinar funciones y desarrollar modelos.

Objetivo de aprendizaje FUN-7.H: Interpretar el significado del modelo de crecimiento logístico en un contexto dado. SOLO BC

FUN-7.H.1 El modelo para el crecimiento logístico que surge del enunciado "La tasa de cambio de una cantidad es directamente proporcional conjuntamente al tamaño de la cantidad y a la diferencia entre la cantidad y la capacidad de carga" es $\dfrac{dy}{dt} = ky(a - y)$. SOLO BC
FUN-7.H.2 La ecuación diferencial logística y las condiciones iniciales pueden interpretarse sin resolver la ecuación diferencial. SOLO BC
FUN-7.H.3 El valor límite (capacidad de carga) de una ecuación diferencial logística cuando la variable independiente tiende a infinito puede determinarse utilizando el modelo de crecimiento logístico y las condiciones iniciales. SOLO BC
FUN-7.H.4 El valor de la variable dependiente en una ecuación diferencial logística en el punto en que cambia más rápidamente puede determinarse utilizando el modelo de crecimiento logístico y las condiciones iniciales. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El crecimiento real está limitado por los recursos, por lo que el modelo logístico 逻辑斯蒂模型 añade una capacidad de carga 环境容纳量 $L$:

$$\frac{dP}{dt}=kP\!\left(1-\frac{P}{L}\right).$$

El crecimiento es casi exponencial cuando $P$ es pequeño, se ralentiza a medida que $P$ se aproxima a $L$, y se detiene en $P=L$. Hechos clave de la curva logística: la población se estabiliza en $L$ ($\lim_{t\to\infty}P=L$), y crece más rápido cuando $P=\tfrac{L}{2}$ (el punto de inflexión de la curva en forma de S). Se espera que leas $L$ y el valor de crecimiento más rápido directamente desde la ecuación.

Ejemplo resuelto. Para $\dfrac{dP}{dt}=0.05\,P\!\left(1-\dfrac{P}{2000}\right)$, la capacidad de carga es $L=2000$ (la población se estabiliza allí), y el crecimiento es más rápido cuando $P=\dfrac{L}{2}=1000$ – ambos valores se leen directamente de la ecuación, sin necesidad de resolver.

El modelo logístico crece más rápido en P=L/2 y se estabiliza en la capacidad de carga L

7.9

Consejos para el examen

Resuelve una ecuación separable agrupando todas las $y$ en un lado y todas las $x$ en el otro, luego integra ambos lados (añade $+C$ una sola vez).
Usa la condición inicial para encontrar $C$ (una solución particular).
Esboza o lee un campo de pendientes: los pequeños segmentos muestran $\tfrac{dy}{dx}$ en cada punto, y una curva de solución los sigue.
Reconoce modelos exponenciales $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (crecimiento/decaimiento).
Una ecuación diferencial da la pendiente; debes integrar para recuperar la función.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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