Integración y acumulación de cambios

AP Cálculo BC · Tema 6

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6.1

Explorando acumulaciones de cambio

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambio a lo largo de un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-4.A: Interpretar el significado de las áreas asociadas con la gráfica de una tasa de cambio en su contexto.

CHA-4.A.1 El área de la región entre la gráfica de una función de tasa de cambio y el eje $x$ representa la acumulación de cambio.
CHA-4.A.2 En algunos casos, la acumulación de cambio puede evaluarse utilizando geometría.
CHA-4.A.3 Si una tasa de cambio es positiva (negativa) sobre un intervalo, entonces el cambio acumulado es positivo (negativo).
CHA-4.A.4 La unidad para el área de una región definida por una tasa de cambio es la unidad de la tasa de cambio multiplicada por la unidad de la variable independiente.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un tanque de agua: la integración acumula el cambio: volumen total a partir de una tasa de flujo

Donde una derivada mide una tasa, una integral 积分 mide una acumulación 累积 – un total construido a partir de una tasa. Si una tasa de cambio actúa durante un intervalo, el área entre su gráfica y el eje da el cambio acumulado neto. Esta idea de "área = cambio total" es la base del cálculo integral.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
integral/ˈɪntɪɡrəl/	积分	jī fēn

6.2

Aproximación de áreas con sumas de Riemann

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-5): Las integrales definidas pueden aproximarse mediante métodos geométricos y numéricos.

Objetivo de aprendizaje LIM-5.A: Aproximar una integral definida utilizando métodos geométricos y numéricos.

LIM-5.A.1 Las integrales definidas pueden aproximarse para funciones que se representan gráficamente, numéricamente, analítica y verbalmente.
LIM-5.A.2 Las integrales definidas pueden aproximarse mediante una suma de Riemann izquierda, una suma de Riemann derecha, una suma de Riemann del punto medio o una suma trapezoidal; las aproximaciones pueden calcularse utilizando particiones uniformes o no uniformes.
LIM-5.A.3 Las integrales definidas pueden aproximarse mediante métodos numéricos, con o sin tecnología.
LIM-5.A.4 Dependiendo del comportamiento de una función, puede ser posible determinar si una aproximación para una integral definida es una subestimación o una sobreestimación del valor de la integral definida.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La integral como área (sumas de Riemann)

Las sumas trapezoidales aproximan el área

Una suma de Riemann 黎曼和 estima el área bajo una curva sumando las áreas de rectángulos finos. Divide $[a,b]$ en subintervalos y usa la altura de la función en el extremo izquierdo, extremo derecho, o punto medio de cada uno. Una suma trapezoidal 梯形法 usa trapecios en su lugar, promediando las dos alturas de los extremos – usualmente más precisa. Con más rectángulos más finos, la estimación mejora.

Una suma de Riemann aproxima el área bajo una curva con rectángulos

Tiras de ancho h aproximan el área bajo una curva

Habilidad de examen: debes ser capaz de calcular estimaciones izquierda, derecha, de punto medio y trapezoidal a partir de una tabla o gráfica, e indicar si cada una sobreestimó o subestimó basándose en si la función es creciente/decreciente o cóncava hacia arriba/abajo.

Explorar

Aproximar el área con rectángulos

y = ax³ + bx² + cx + d

Una suma de Riemann aproxima el área bajo una curva con rectángulos. Añade más rectángulos, más delgados, y la estimación converge hacia el integral definido exacto.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Riemann sum/ˈriːmən sʌm/	黎曼和	lí màn hé
trapezoidal sum/ˈtræpɪzɔɪdl sʌm/	梯形法	tī xíng fǎ
definite integral/ˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	定积分	dìng jī fēn

6.3

Sumas de Riemann, Notación de Sumatoria y Notación de Integral Definida

Syllabus

Comprensión Duradera (LIM-5): Las integrales definidas pueden aproximarse mediante métodos geométricos y numéricos.

Objetivo de Aprendizaje LIM-5.B: Interpretar el caso límite de la suma de Riemann como una integral definida.

LIM-5.B.1 El límite de una suma de Riemann aproximante puede interpretarse como una integral definida.
LIM-5.B.2 Una suma de Riemann, que requiere una partición de un intervalo $I$, es la suma de productos, cada uno de los cuales es el valor de la función en un punto de un subintervalo multiplicado por la longitud de dicho subintervalo de la partición.

Objetivo de Aprendizaje LIM-5.C: Representar el caso límite de la suma de Riemann como una integral definida.

LIM-5.C.1 La integral definida de una función continua $f$ sobre el intervalo $[a, b]$, denotada por $\int_{a}^{b} f(x)\,dx$, es el límite de las sumas de Riemann cuando los anchos de los subintervalos se acercan a 0. Es decir, $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = \lim_{\max \Delta x_i \to 0} \sum_{i=1}^{n} f(x_i^*)\Delta x_i$, donde $n$ es el número de subintervalos, $\Delta x_i$ es el ancho del $i$-ésimo subintervalo y $x_i^*$ es un valor en el $i$-ésimo subintervalo.
LIM-5.C.2 Una integral definida puede traducirse al límite de una suma de Riemann relacionada, y el límite de una suma de Riemann puede escribirse como una integral definida.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Escribir una suma de Riemann con notación de sumatoria $\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x$ y dejar que el número de rectángulos crezca sin límite da el área exacta – la integral definida 定积分:

$$\int_a^b f(x)\,dx=\lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n} f(x_k)\,\Delta x.$$

La integral es el límite de sumas de Riemann; $a$ y $b$ son los límites de integración.

6.4

El Teorema Fundamental del Cálculo y Funciones de Acumulación

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-5): El Teorema Fundamental del Cálculo conecta la diferenciación con la integración.

Objetivo de Aprendizaje FUN-5.A: Representar funciones de acumulación mediante integrales definidas.

FUN-5.A.1 La integral definida puede utilizarse para definir nuevas funciones.
- Ejemplos ilustrativos para FUN-5.A.1: $f(x) = \int_{0}^{x} e^{-t^2}\,dt$.
FUN-5.A.2 Si $f$ es una función continua en un intervalo que contiene a $a$, entonces $\dfrac{d}{dx}\left( \int_{a}^{x} f(t)\,dt \right) = f(x)$, donde $x$ pertenece al intervalo.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El Teorema Fundamental del Cálculo

Una función de acumulación 累积函数 $g(x)=\int_a^x f(t)\,dt$ da el área acumulada desde $a$ hasta $x$. El Teorema Fundamental del Cálculo (FTC) 微积分基本定理 dice que su derivada es el integrando:

$$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x).$$

La diferenciación y la integración son operaciones inversas. Con un límite superior variable y la regla de la cadena, $\dfrac{d}{dx}\int_a^{u(x)} f(t)\,dt=f(u(x))\,u'(x)$.

La función de acumulación añade área firmada; el FTC dice que su derivada es f

Explorar

Acumular el área como una integral

y = ax³ + bx² + cx + d

Una función de acumulación $\int_a^x f(t)\,dt$ construye área firmada a medida que $x$ se mueve. El Teorema Fundamental dice que su derivada es simplemente $f(x)$.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
accumulation/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn/	累积	lěi jī
accumulation function/əˌkjuːmjʊˈleɪʃn ˈfʌŋkʃn/	累积函数	lěi jī hán shù
Fundamental Theorem of Calculus (FTC)/ˌfʌndəˈmentl ˈθɪərəm ɒv ˈkælkjʊləs/	微积分基本定理	wēi jī fēn jī běn dìng lǐ
antiderivative/ˌæntɪdɪˈrɪvətɪv/	原函数	yuán hán shù
indefinite integral/ɪnˈdefɪnət ˈɪntɪɡrəl/	不定积分	bù dìng jī fēn
u-substitution/juː ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/	换元积分	huàn yuán jī fēn
Integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/	分部积分	fēn bù jī fēn
Partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/	部分分式	bù fèn fēn shì

6.5

Interpretación del Comportamiento de las Funciones de Acumulación

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-5): El Teorema Fundamental del Cálculo conecta la diferenciación y la integración.

Objetivo de aprendizaje FUN-5.A: Representar funciones de acumulación mediante integrales definidas.

FUN-5.A.3 Las representaciones gráficas, numéricas, analíticas y verbales de una función $f$ proporcionan información sobre la función $g$ definida como $g(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Porque $g'(x)=f(x)$, la gráfica de $f$ te dice todo sobre $g$: $g$ aumenta donde $f>0$, disminuye donde $f<0$, tiene extremos donde $f$ cruza cero, y es cóncava hacia arriba donde $f$ es creciente. Leer estas conexiones fuera de una gráfica de $f$ es una tarea clásica de respuesta libre.

6.6

Aplicación de Propiedades de Integrales Definidas

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de Aprendizaje FUN-6.A: Calcular una integral definida utilizando áreas y propiedades de las integrales definidas.

FUN-6.A.1 En algunos casos, una integral definida puede evaluarse utilizando geometría y la relación entre la integral definida y el área.
FUN-6.A.2 Las propiedades de las integrales definidas incluyen la integral de una constante por una función, la integral de la suma de dos funciones, la inversión de los límites de integración y la integral de una función sobre intervalos adyacentes.
FUN-6.A.3 La definición de la integral definida puede extenderse a funciones con discontinuidades evitables o de salto.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Las integrales definidas obedecen reglas útiles: invertir los límites niega el valor ($\int_b^a=-\int_a^b$), una integral sobre un intervalo de ancho cero es $0$, se suman sobre intervalos adyacentes ($\int_a^c=\int_a^b+\int_b^c$), y las constantes se factorizan. Usa esto para combinar o dividir valores integrales dados.

6.7

El Teorema Fundamental del Cálculo y las Integrales Definidas

Syllabus

Comprensión Duradera (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de Aprendizaje FUN-6.B: Evaluar integrales definidas analíticamente usando el Teorema Fundamental del Cálculo.

FUN-6.B.1 Una antiderivada de una función $f$ es una función $g$ cuya derivada es $f$.
FUN-6.B.2 Si una función $f$ es continua en un intervalo que contiene a $a$, la función definida por $F(x) = \int_{a}^{x} f(t)\,dt$ es una antiderivada de $f$ para $x$ en el intervalo.
FUN-6.B.3 Si $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y $F$ es una antiderivada de $f$, entonces $\int_{a}^{b} f(x)\,dx = F(b) - F(a)$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La forma de evaluación del FTC calcula una integral definida a partir de una antiderivada 原函数 $F$ (donde $F'=f$):

$$\int_a^b f(x)\,dx=F(b)-F(a).$$

Así que integrar una tasa de cambio sobre $[a,b]$ da el cambio neto en la cantidad – el resultado más usado en el curso.

Ejemplo resuelto. $\displaystyle\int_1^3 (2x+1)\,dx$: una antiderivada es $F(x)=x^2+x$, así que el valor es $F(3)-F(1)=12-2=10$.

Una integral definida es el área firmada entre la curva y el eje x

6.8

Encontrar Antiderivadas e Integrales Indefinidas

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de aprendizaje FUN-6.C: Determinar antiderivadas de funciones e integrales indefinidas, utilizando el conocimiento de las derivadas.

FUN-6.C.1 $\int f(x)\,dx$ es una integral indefinida de la función $f$ y se puede expresar como $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, donde $F'(x) = f(x)$ y $C$ es cualquier constante.
FUN-6.C.2 Las reglas de diferenciación proporcionan la base para encontrar antiderivadas.
FUN-6.C.3 Muchas funciones no poseen antiderivadas en forma cerrada.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una integral indefinida 不定积分 $\int f(x)\,dx=F(x)+C$ es la familia de todas las antiderivadas (de ahí la constante de integración $C$). Invierte cada regla de derivación: la regla de potencia se convierte en $\int x^n\,dx=\dfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ (para $n\neq-1$), con $\int \frac1x\,dx=\ln|x|+C$, y las antiderivadas de $e^x$, $\sin x$, $\cos x$, y $\sec^2 x$ vienen directamente de sus derivadas.

6.9

Integración por Sustitución

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de aprendizaje FUN-6.D: Para los integrandos que requieren sustitución o reordenamientos en formas equivalentes: (a) Determinar integrales indefinidas. (b) Evaluar integrales definidas.

FUN-6.D.1 La sustitución de variables es una técnica para encontrar primitivas.
FUN-6.D.2 Para una integral definida, la sustitución de variables requiere cambios correspondientes en los límites de integración.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

sustitución u 换元积分 invierte la regla de la cadena: elige $u=g(x)$ de modo que también aparezca $g'(x)$, transformando $\int f(g(x))g'(x)\,dx$ en $\int f(u)\,du$. Recuerda convertir $dx$ a $du$ y, para una integral definida, cambia los límites a valores $u$ o vuelve a $x$ al final.

6.10

Integración mediante división larga y completado del cuadrado

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de aprendizaje FUN-6.D: Para integrandos que requieren sustitución o reordenamientos en formas equivalentes: (a) Determinar integrales indefinidas. (b) Evaluar integrales definidas.

FUN-6.D.3 Las técnicas para encontrar primitivas incluyen reordenamientos en formas equivalentes, tales como la división larga y completar el cuadrado.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Cuando un integrando racional es "demasiado pesado" (grado del numerador $\ge$ grado del denominador), la división larga lo reescribe como un polinomio más una fracción propia que puedes integrar. El completado del cuadrado en un denominador lo convierte en una forma como $u^2+a^2$, lo que lleva a una antiderivada arcotangente $\frac1a\arctan\frac{u}{a}+C$.

6.11

Integración por partes

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de aprendizaje FUN-6.E: Para los integrandos que requieren integración por partes: (a) Determinar integrales indefinidas. SOLO BC (b) Evaluar integrales definidas. SOLO BC

FUN-6.E.1 La integración por partes es una técnica para encontrar antiderivadas. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La integración por partes 分部积分 invierte la regla del producto:

$$\int u\,dv = uv-\int v\,du.$$

Elige $u$ para simplificar cuando se diferencie y $dv$ para que sea fácil de integrar (la guía LIATE: logaritmos, trigonométricas inversas, algebraicas, trigonométricas, exponenciales). Maneja productos como $\int x e^x\,dx$ y $\int x\ln x\,dx$, a veces aplicándola dos veces.

Ejemplo resuelto. Para $\int x e^x\,dx$, elige $u=x$ ($du=dx$) y $dv=e^x\,dx$ ($v=e^x$):

$$\int x e^x\,dx = x e^x-\int e^x\,dx = x e^x - e^x + C = e^x(x-1)+C.$$

6.12

Integración mediante fracciones parciales lineales

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-6): Reconocer oportunidades para aplicar conocimientos de geometría y reglas matemáticas puede simplificar la integración.

Objetivo de aprendizaje FUN-6.F: Para los integrandos que requieren integración por fracciones parciales lineales: (a) Determinar integrales indefinidas. SOLO BC (b) Evaluar integrales definidas. SOLO BC

FUN-6.F.1 Algunas funciones racionales se pueden descomponer en sumas de cocientes de factores lineales no repetidos a los cuales se pueden aplicar técnicas básicas de integración. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Las fracciones parciales 部分分式 dividen una función racional con un denominador factorizable en una suma de fracciones más simples:

$$\frac{1}{(x-a)(x-b)}=\frac{A}{x-a}+\frac{B}{x-b},$$

cada una de las cuales se integra como un logaritmo. Esta técnica es esencial para la ecuación diferencial logística en la siguiente unidad.

6.13

Evaluación de integrales impropias

Syllabus

Comprensión duradera (LIM-6): El uso de límites nos permite demostrar que las áreas de regiones no acotadas pueden ser finitas.

Objetivo de aprendizaje LIM-6.A: Evaluar una integral impropia o determinar que la integral diverge. SOLO BC

LIM-6.A.1 Una integral impropia es una integral que tiene uno o ambos límites infinitos, o bien un integrando que no está acotado en el intervalo de integración. SOLO BC
LIM-6.A.2 Las integrales impropias se pueden determinar mediante límites de integrales definidas. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Integrales impropias: convergen o divergen

Una integral impropia 反常积分 tiene un límite infinito de integración o una discontinuidad infinita en el integrando. Evalúala como un límite: $\int_a^\infty f\,dx=\lim_{b\to\infty}\int_a^b f\,dx$. Si el límite es un número finito, la integral converge 收敛; de lo contrario, diverge 发散.

Ejemplo resuelto. $\displaystyle\int_1^\infty \frac{1}{x^2}\,dx=\lim_{b\to\infty}\left[-\frac1x\right]_1^b=\lim_{b\to\infty}\left(1-\frac1b\right)=1$, por lo tanto converge a $1$. Por el contrario, $\int_1^\infty \frac1x\,dx$ da $\lim_{b\to\infty}\ln b=\infty$ y diverge – la misma forma del integrando puede ir en cualquier dirección.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
improper integral/ɪmˈprɒpə ˈɪntɪɡrəl/	反常积分	fǎn cháng jī fēn
converges/kənˈvɜːdʒɪz/	收敛	shōu liǎn
diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/	发散	fā sàn

6.14

Selección de Técnicas para la Antidiferenciación

Syllabus

Este tema está destinado a centrarse en la habilidad de seleccionar un procedimiento adecuado para la antiderivación. Se debe brindar a los estudiantes oportunidades para practicar cuándo y cómo aplicar todos los objetivos de aprendizaje relacionados con la antiderivación.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El examen BC espera que reconozcas qué método corresponde: reglas básicas, sustitución (un patrón de la regla de la cadena), por partes (un producto), fracciones parciales (una racional factorizable) o división larga/completado del cuadrado. Ser capaz de mirar una integral y elegir la herramienta correcta rápidamente es en sí mismo una habilidad evaluada.

6.14

Consejos para el examen

La integración es antidiferenciación; usa la regla de potencia $\int x^n\,dx=\tfrac{x^{n+1}}{n+1}+C$ y no olvides el $+C$.
El Teorema Fundamental conecta los dos: $\int_a^b f'(x)\,dx=f(b)-f(a)$, y $\tfrac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt=f(x)$.
Aproxima una integral definida con sumas de Riemann o la regla trapezoidal a partir de una tabla de valores.
Una integral definida es un área firmada (por debajo del eje cuenta como negativa); divide en cambios de signo para el área total.
Usa sustitución u y recuerda cambiar los límites (o back-substitute) en consecuencia.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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