Ecuaciones paramétricas, coordenadas polares y funciones vectoriales

AP Cálculo BC · Tema 9

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9.1

Definición y diferenciación de ecuaciones paramétricas

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que implican tasas de cambio.

Objetivo de aprendizaje CHA-3.G: Calcular derivadas de funciones paramétricas. SOLO BC

CHA-3.G.1 Los métodos para calcular derivadas de funciones de valor real pueden extenderse a funciones paramétricas. SOLO BC
CHA-3.G.2 Para una curva definida paramétricamente, el valor de $\dfrac{dy}{dx}$ en un punto de la curva es la pendiente de la recta tangente a la curva en ese punto. $\dfrac{dy}{dx}$, la pendiente de la recta tangente a una curva definida mediante ecuaciones paramétricas, se puede determinar dividiendo $\dfrac{dy}{dt}$ entre $\dfrac{dx}{dt}$, siempre que $\dfrac{dx}{dt}$ no sea igual a cero. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La Estación Espacial Internacional en órbita: las ecuaciones paramétricas describen la posición como función del tiempo

Las ecuaciones paramétricas 参数方程 expresan $x$ e $y$ cada una como funciones de un parámetro $t$ (frecuentemente el tiempo): $x=x(t)$, $y=y(t)$. Trazan una curva que no necesariamente es una función de $x$. La pendiente de la curva se encuentra mediante la regla de la cadena:

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/dt}{dx/dt}\qquad(dx/dt\neq0).$$

Ejemplo resuelto. Para $x=t^2$, $y=t^3-t$, encuentre la pendiente en $t=2$. Aquí $\dfrac{dx}{dt}=2t$ y $\dfrac{dy}{dt}=3t^2-1$, por lo tanto $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{3t^2-1}{2t}$; en $t=2$ esto resulta ser $\dfrac{11}{4}$.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
Parametric equations/ˌpærəˈmetrɪk ɪˈkweɪʒnz/	参数方程	cān shù fāng chéng
vector-valued function/ˈvektə ˈvæljuːd ˈfʌŋkʃn/	向量值函数	xiàng liàng zhí hán shù
Polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/	极坐标	jí zuò biāo

9.2

Segundas derivadas de ecuaciones paramétricas

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que involucran tasas de cambio.

Objetivo de Aprendizaje CHA-3.G: Calcular derivadas de funciones paramétricas. SOLO BC

CHA-3.G.3 $\dfrac{d^2 y}{dx^2}$ se puede calcular dividiendo $\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)$ entre $\dfrac{dx}{dt}$. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La segunda derivada no es $\dfrac{d^2y/dt^2}{d^2x/dt^2}$. En cambio, diferencie la primera derivada con respecto a $t$, y luego divida nuevamente por $dx/dt$:

$$\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{\dfrac{d}{dt}\!\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{dx/dt}.$$

Utilícela para probar la concavidad de una curva paramétrica.

9.3

Cálculo de longitudes de arco de curvas dadas por ecuaciones paramétricas

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-6): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación del cambio en longitud sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-6.B: Determinar la longitud de una curva en el plano definida por funciones paramétricas, utilizando una integral definida. SOLO BC

CHA-6.B.1 La longitud de una curva definida paramétricamente se puede calcular mediante una integral definida. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La longitud de una curva paramétrica para $t$ desde $a$ hasta $b$ es

$$L=\int_a^b\sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2+\left(\frac{dy}{dt}\right)^2}\,dt.$$

Esta es la versión paramétrica de la longitud de arco: sumar pequeños hipotenusas $\sqrt{dx^2+dy^2}$ sobre el parámetro.

9.4

Definición y diferenciación de funciones vectoriales

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-3): Las derivadas nos permiten resolver problemas del mundo real que implican tasas de cambio.

Objetivo de aprendizaje CHA-3.H: Calcular derivadas de funciones vectoriales. SOLO BC

CHA-3.H.1 Los métodos para calcular derivadas de funciones reales se pueden extender a funciones vectoriales. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Una función vectorial 向量值函数 $\vec{r}(t)=\langle x(t),\,y(t)\rangle$ proporciona un vector de posición para cada $t$. Diferénciela componente a componente: la velocidad es $\vec{v}(t)=\langle x'(t),\,y'(t)\rangle$ y la aceleración es $\vec{a}(t)=\langle x''(t),\,y''(t)\rangle$. La rapidez es la magnitud $|\vec{v}|=\sqrt{x'^2+y'^2}$.

Una recta vectorial: inicie en a, luego deslice por t veces la dirección b

Explorar

Añadir componentes vectoriales

Una función vectorial empaqueta un $x(t)$ y un $y(t)$ en un solo vector. Derivar cada componente da el vector velocidad, tangente a la trayectoria.

9.5

Integración de funciones vectoriales

Syllabus

Comprensión perdurable (FUN-8): Resolver un problema de valor inicial permite determinar una expresión para la posición de una partícula que se mueve en el plano.

Objetivo de aprendizaje FUN-8.A: Determinar una solución particular dado un vector de razón y condiciones iniciales. SOLO BC

FUN-8.A.1 Los métodos para calcular integrales de funciones de valor real pueden extenderse a funciones paramétricas o vectoriales. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Integre una función vectorial componente por componente. Dada la aceleración o velocidad más una condición inicial, integre cada componente y use la condición para encontrar las constantes: recuperando la velocidad a partir de la aceleración, o la posición a partir de la velocidad.

9.6

Resolución de problemas de movimiento usando ecuaciones paramétricas y funciones vectoriales

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-8): Resolver un problema de valor inicial nos permite determinar una expresión para la posición de una partícula que se mueve en el plano.

Objetivo de aprendizaje FUN-8.B: Determinar valores para posiciones y tasas de cambio en problemas que involucran movimiento plano. SOLO BC

FUN-8.B.1 Las derivadas pueden utilizarse para determinar la velocidad, la rapidez y la aceleración de una partícula que se mueve a lo largo de una curva en el plano definida mediante funciones paramétricas o vectoriales. SOLO BC
FUN-8.B.2 Para una partícula en movimiento plano sobre un intervalo de tiempo, la integral definida del vector velocidad representa el desplazamiento de la partícula (cambio neto en la posición) durante dicho intervalo, a partir del cual podríamos determinar su posición. La integral definida de la rapidez representa la distancia total recorrida por la partícula durante el intervalo de tiempo. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para una partícula que se mueve en un plano: la posición es $\langle x(t),y(t)\rangle$, la velocidad y la aceleración son sus derivadas, la rapidez es $|\vec v|$, y la distancia recorrida en $[a,b]$ es

$$\int_a^b\sqrt{x'(t)^2+y'(t)^2}\,dt.$$

Habilidad para el examen: estos problemas de movimiento en el plano aparecen en las preguntas de respuesta libre del BC casi todos los años — sea hábil al calcular la rapidez, la posición en un tiempo posterior (punto inicial más la integral de la velocidad) y la distancia total.

Ejemplo resuelto. Una partícula tiene posición $\langle t^2,\ t^3-t\rangle$. Su velocidad es $\langle 2t,\ 3t^2-1\rangle$, por lo tanto en $t=1$ la velocidad es $\langle 2,\ 2\rangle$ y la rapidez es $\sqrt{2^2+2^2}=2\sqrt{2}$. Su posición en $t=2$ es $\langle 4,\ 6\rangle$.

9.7

Definición de coordenadas polares y diferenciación en forma polar

Syllabus

Comprensión duradera (FUN-3): Reconocer oportunidades para aplicar las reglas de derivación puede simplificar la diferenciación.

Objetivo de aprendizaje FUN-3.G: Calcular derivadas de funciones escritas en coordenadas polares. SOLO BC

FUN-3.G.1 Los métodos para calcular derivadas de funciones de valores reales pueden extenderse a funciones en coordenadas polares. SOLO BC
FUN-3.G.2 Para una curva dada por una ecuación polar $r = f(\theta)$, las derivadas de $r$, $x$ e $y$ con respecto a $\theta$, así como la primera y segunda derivadas de $y$ con respecto a $x$, pueden proporcionar información sobre la curva. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Trazado de una curva polar

Las coordenadas polares 极坐标 localizan un punto por su distancia $r$ al origen y su ángulo $\theta$: convierta usando $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$. Una curva polar $r=f(\theta)$ es una curva paramétrica en $\theta$, por lo que su pendiente es

$$\frac{dy}{dx}=\frac{dy/d\theta}{dx/d\theta},\quad\text{with } x=r\cos\theta,\ y=r\sin\theta.$$

Las coordenadas polars dan un punto por su distancia r y ángulo theta — Las coordenadas polares dan un punto por su distancia r y ángulo theta

Explorar

Graficar una curva polar

En coordenadas polares, un punto está a una distancia $r$ en un ángulo $\theta$. Hacer que $r$ dependa de $\theta$ traza curvas como este cardiode.

9.8

Cálculo del área de una región polar

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación del cambio en el área o el volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.D: Calcular áreas de regiones definidas por curvas polares usando integrales definidas. SOLO BC

CHA-5.D.1 El concepto de cálculo de áreas en coordenadas rectangulares puede extenderse a las coordenadas polares. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El área barrida por una curva polar $r=f(\theta)$ desde $\alpha$ hasta $\beta$ es

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta \big(f(\theta)\big)^2\,d\theta.$$

La región es un "abanicón" de finos sectores triangulares; elegir los límites correctos de $\theta$ (donde la curva comienza y termina de trazar la región) es el principal desafío.

Ejemplo resuelto. Encuentre el área de un pétalo de la rosa $r=2\sin(2\theta)$ (trazada para $\theta$ desde $0$ hasta $\tfrac{\pi}{2}$). Usando $\sin^2 u=\tfrac12(1-\cos 2u)$,

$$A=\frac12\int_0^{\pi/2}(2\sin 2\theta)^2\,d\theta=\int_0^{\pi/2}(1-\cos 4\theta)\,d\theta=\left[\theta-\tfrac{\sin 4\theta}{4}\right]_0^{\pi/2}=\frac{\pi}{2}.$$

El área de una región polar se barre como la mitad de la integral de r cuadrado d theta — La región sombreada es un abanico de finos sectores barridos desde $\alpha$ hasta $\beta$; cada uno tiene área $\tfrac12 r^2\,d\theta$, por lo que el total es $\tfrac12\int_\alpha^\beta r^2\,d\theta$.

9.9

Cálculo del área de la región acotada por dos curvas polares

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambio en el área o el volumen a lo largo de un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.D: Calcular áreas de regiones definidas por curvas polares mediante integrales definidas. SOLO BC

CHA-5.D.2 Las áreas de regiones delimitadas por curvas polares se pueden calcular con integrales definidas. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para el área entre una curva exterior $r_1$ y una curva interior $r_2$, reste los sectores:

$$A=\frac12\int_\alpha^\beta\big(r_1^2-r_2^2\big)\,d\theta.$$

Encuentre primero los ángulos de intersección (igualando $r_1=r_2$), y tenga cuidado de qué curva es la exterior en cada intervalo: pueden intercambiarse.

9.9

Consejos para el examen

Para curvas paramétricas, $\tfrac{dy}{dx}=\tfrac{dy/dt}{dx/dt}$; la rapidez es $\sqrt{(dx/dt)^2+(dy/dt)^2}$.
Una función vectorial contiene la misma información — difériéntela/intégrala componente a componente.
En polares, convierta con $x=r\cos\theta$, $y=r\sin\theta$; el área barrida es $\tfrac12\int r^2\,d\theta$.
Preste atención a la dirección del trazado (el signo de $dx/dt$) y establezca los límites correctos de $\theta$ para el área polar.
Elimine el parámetro para recuperar la forma ordinaria de $y$ vs $x$ cuando ello sea útil.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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