AP Cálculo BC · Tema 10
8:20
Series Infinitas
¿Puedes sumar infinitamente muchos números y obtener una respuesta finita? Sorprendentemente, sí. Suma para siempre, y a veces el total se escapa hacia el infinito — pero a veces…
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Comprensión Duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.
Objetivo de Aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una serie infinita añade infinitos términos, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Su valor se define como el límite de las sumas parciales $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Si $S_N$ se acerca a un número finito $L$, la serie converge a $L$; de lo contrario, diverge. Cada pregunta sobre convergencia es realmente una pregunta sobre el límite de las sumas parciales.
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| infinite series/ˈɪnfɪnət ˈsɪəriːz/ | 无穷级数 | wú qióng jí shù |
| partial sums/ˈpɑːʃl sʌmz/ | 部分和 | bù fèn hé |
| converges/kənˈvɜːdʒɪz/ | 收敛 | shōu liǎn |
| diverges/daɪˈvɜːdʒɪz/ | 发散 | fā sàn |
| geometric series/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk ˈsɪəriːz/ | 几何级数 | jǐ hé jí shù |
| integral test/ˈɪntɪɡrəl test/ | 积分判别法 | jī fēn pàn bié fǎ |
| harmonic series/hɑːˈmɒnɪk ˈsɪəriːz/ | 调和级数 | tiáo hé jí shù |
| Direct comparison/daɪˈrekt kəmˈpærɪsn/ | 直接比较 | zhí jiē bǐ jiào |
| Limit comparison/ˈlɪmɪt kəmˈpærɪsn/ | 极限比较 | jí xiàn bǐ jiào |
| alternating series/ˈɔːltəneɪtɪŋ ˈsɪəriːz/ | 交错级数 | jiāo cuò jí shù |
| ratio test/ˈreɪʃɪəʊ test/ | 比值判别法 | bǐ zhí pàn bié fǎ |
| converges absolutely/kənˈvɜːdʒɪz ˌæbsəˈluːtli/ | 绝对收敛 | jué duì shōu liǎn |
| converges conditionally/kənˈvɜːdʒɪz kənˈdɪʃənəli/ | 条件收敛 | tiáo jiàn shōu liǎn |
Comprensión perdurable (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.
Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una serie geométrica $\sum ar^{n}$ tiene una razón constante $r$ entre los términos. Converge exactamente cuando $|r|<1$, y entonces
Ejemplo resuelto. Suma $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$. Aquí $a=3$ y $r=\tfrac12$ (con $|r|<1$), por lo que la suma es $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$.
Una serie geométrica $\sum ar^n$ converge solo cuando $|r|<1$, sumando hasta $\frac{a}{1-r}$. Cambie la razón y observe cómo las sumas parciales se estabilizan o divergen.
Comprensión duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.
Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Si los términos no se reducen a cero, la suma no puede asentarse: si $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$, la serie diverge. Esta es solo una prueba de divergencia; si los términos sí van a cero, la prueba es inconclusa (la serie aún podría divergir, como la serie armónica). Verifique siempre esta prueba rápida primero.
Comprensión duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.
Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Si $a_n=f(n)$ para una función positiva, decreciente y continua $f$, entonces $\sum a_n$ y $\int_1^\infty f(x)\,dx$ ambas convergen o ambas divergen. La prueba de la integral convierte una pregunta sobre series en una pregunta sobre integrales impropias, y es lo que demuestra la regla de las series p mencionada a continuación.
Comprensión duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.
Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una serie p $\sum \dfrac{1}{n^p}$ converge si $p>1$ y diverge si $p\le1$. El caso especial $p=1$, $\sum\dfrac1n$, es la serie armónica – diverge incluso aunque sus términos tiendan a cero (un hecho famoso que debe conocerse). La familia de series p es la medida estándar para las pruebas de comparación.
Comprensión duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.
Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Compare una serie desconocida con una conocida (una serie p o una serie geométrica):
Comprensión duradera (LIM-7): Aplicar límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.
Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una serie alternante tiene términos que cambian de signo, $\sum(-1)^n b_n$. Converge si los $b_n$ son positivos, decrecientes y $\lim b_n=0$. Esto permite que series como $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ converjan incluso aunque los mismos términos sin los signos (la serie armónica) diverjan.
Comprensión perdurable (LIM-7): Aplicar límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.
Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
La prueba de la razón examina $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:
Es la prueba predeterminada para series con factoriales o potencias $n$th, y es exactamente cómo encuentra el radio de convergencia de una serie de potencias.
Ejemplo resuelto. Pruebe $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$. La razón es $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$, por lo que la serie converge.
Comprensión duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.
Objetivo de aprendizaje LIM-7.A: Determinar si una serie converge o diverge. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una serie converge absolutamente si $\sum|a_n|$ converge. Converge condicionalmente si $\sum a_n$ converge pero $\sum|a_n|$ diverge (el ejemplo clásico es $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$). La convergencia absoluta es la propiedad más fuerte; la convergencia condicional depende de la cancelación de signos.
Comprensión duradera (LIM-7): La aplicación de límites puede permitirnos determinar la suma finita de infinitos términos.
Objetivo de aprendizaje LIM-7.B: Aproximar la suma de una serie. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Para una serie alternante convergente, el error al detenerse en la suma parcial $N$th es no mayor que el primer término omitido:
Comprensión duradera (LIM-8): Las series de potencias nos permiten representar funciones asociadas en un intervalo apropiado.
Objetivo de aprendizaje LIM-8.A: Representar una función en un punto como un polinomio de Taylor. SOLO BC
Objetivo de aprendizaje LIM-8.B: Aproximar valores de función utilizando un polinomio de Taylor. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Un polinomio de Taylor aproxima una función cerca de un centro $x=a$ usando sus derivadas allí:
Habilidad de examen: sea capaz de construir un polinomio de Taylor a partir de una tabla de valores de derivadas y usarlo para estimar el valor de una función.
| Inglés | Chino | Pinyin |
|---|---|---|
| Taylor polynomial/ˈteɪlə ˌpɒlɪˈnəʊmɪəl/ | 泰勒多项式 | tài lēi duō xiàng shì |
| Lagrange error bound/ˈlæɡreɪndʒ ˈerə baʊnd/ | 拉格朗日误差界 | lā gé lǎng rì wù chā jiè |
| power series/ˈpaʊə ˈsɪəriːz/ | 幂级数 | mì jí shù |
| radius of convergence/ˈreɪdɪəs ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | 收敛半径 | shōu liǎn bàn jìng |
| interval of convergence/ˈɪntəvl ɒv kənˈvɜːdʒəns/ | 收敛区间 | shōu liǎn qū jiān |
Comprensión perdurable (LIM-8): Las series de potencias nos permiten representar funciones asociadas en un intervalo adecuado.
Objetivo de aprendizaje LIM-8.C: Determinar el límite de error asociado a una aproximación mediante un polinomio de Taylor. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
El límite del error de Lagrange acota qué tan lejos puede estar un polinomio de Taylor del valor verdadero:
Comprensión duradera (LIM-8): Las series de potencias nos permiten representar funciones asociadas en un intervalo apropiado.
Objetivo de aprendizaje LIM-8.D: Determinar el radio de convergencia y el intervalo de convergencia para una serie de potencias. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Una serie de potencias $\sum c_n(x-a)^n$ converge para $x$ dentro de un radio de convergencia $R$ del centro $a$. Encuentre $R$ con la prueba de la razón. Luego pruebe los dos extremos por separado (la prueba de la razón es inconclusa allí) para declarar el intervalo de convergencia completo, incluyendo o excluyendo cada extremo.
Ejemplo resuelto. Encuentre el radio de convergencia de $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$. La prueba de la razón da $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$, que es $<1$ cuando $|x|<1$, por lo tanto $R=1$. Al probar los extremos, $x=-1$ da la serie armónica alternante convergente y $x=1$ la serie armónica divergente, por lo que el intervalo es $[-1,1)$.
Comprensión duradera (LIM-8): Las series de potencias nos permiten representar funciones asociadas en un intervalo apropiado.
Objetivo de aprendizaje LIM-8.E: Representar una función como una serie de Taylor o una serie de Maclaurin. SOLO BC
Objetivo de aprendizaje LIM-8.F: Interpretar series de Taylor y series de Maclaurin. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Extender un polinomio de Taylor a infinitos términos da una serie de Taylor (o Maclaurin). Memorice las series de Maclaurin clave:
Ejemplo resuelto. Encuentre la serie de Maclaurin para $e^{x^2}$. Sustituya $x^2$ por $x$ en $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:
y = asen(bx + c) + d
Una serie de Taylor construye una función a partir de sus derivadas en un punto; más términos se ajustan mejor a la curva (aquí $\sin x$) en un rango más amplio.
Comprensión perdurable (LIM-8): Las series de potencias nos permiten representar funciones asociadas en un intervalo apropiado.
Objetivo de aprendizaje LIM-8.G: Representar una función dada como una serie de potencias. SOLO BC
Fuente: College Board AP Course and Exam Description
Porque una serie de potencias puede diferenciarse e integrarse término por término (dentro de su radio), puede construir nuevas series a partir de conocidas; por ejemplo, integre la serie geométrica para $\dfrac{1}{1-x}$ para obtener la serie para $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, o sustituya $-x^2$ para obtener la serie para $\dfrac{1}{1+x^2}$. Representar una función como una serie de potencias le permite aproximar valores e integrales que no tienen antiderivada elemental.
Habilidad de examen: la respuesta libre de series del BC generalmente le pide derivar una nueva serie de Maclaurin a partir de una conocida, encontrar su intervalo de convergencia y usar el límite de la serie alternante o de Lagrange para estimar el error: las habilidades finales del curso.
Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.
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