Sucesiones e series infinitas

Una serie infinita suma infinitamente muchos términos, $\sum_{n=1}^\infty a_n$. Su valor se define como el límite de las sumas parciales $S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$. Si $S_N$ se acerca a un número finito $L$, la serie converge a $L$; de lo contrario, diverge. Cada pregunta sobre convergencia es realmente una pregunta sobre el límite de las sumas parciales.

Una serie geométrica suma términos obtenidos al multiplicar por una razón fija $r$:

Aquí $a$ es el primer término real. Para términos no nulos, dividir un término por el anterior da $r$. Sus primeros $N$ términos tienen suma

Para derivarlo, resta $rS_N$ de $S_N$; los términos medios se cancelan. Cuando $r=1$, $S_N=Na$ en cambio. Un término individual no es una suma parcial.

Para $a\ne0$, la serie infinita converge exactamente cuando $|r|<1$. Entonces $r^N\to0$ y

La razón puede ser negativa o irracional; lo que importa es su magnitud. Si $a=0$, cada término es cero para cualquier $r$ finito fijo, por lo que la suma es $0$. Los términos cero no determinan una razón única mediante división. En el caso $r=1$, maneja la serie cero directamente en lugar de evaluar $0/0$.

Ejemplo resuelto: finito versus infinito. Para $3+3/2+3/4+\cdots$, $a=3$ y $r=1/2$. La suma infinita es $3/(1-1/2)=6$. La suma de los primeros cuatro términos es $3(1-(1/2)^4)/(1-1/2)=5.625$, dejando $0.375$ por agregar aún.

Ejemplo resuelto: una razón negativa. La serie $4-2+1-1/2+\cdots$ tiene primer término $r=-1/2$ y suma $4/(1+1/2)=8/3$. Sus sumas parciales $4,2,3,2.5,\ldots$ alternan alrededor de ese límite. Las oscilaciones decrecientes pueden converger. En contraste, con un primer término no nulo y $r=-1$, las sumas parciales alternan entre $a$ y $0$ y no tienen un límite. En $r=1$, valen $Na$; para $|r|>1$, los términos no tienden a cero.

Ejemplo resuelto: lee el índice inicial. Para $\sum_{n=1}^{\infty}3\cdot2^{-n}$, el primer término es $3/2$, no $3$. La razón es $1/2$, por lo que la suma es $3$. Para $\sum_{n=2}^{\infty}12(-1/3)^n$, el primer término es $4/3$ y la razón es $-1/3$, dando suma $1$.

Existe una suma finita incluso cuando la serie infinita diverge. Para $3+6+12+\cdots$, los primeros tres términos suman $21$, pero la serie infinita no tiene suma finita. La expresión formal $3/(1-2)=-3$ no es una suma infinita ordinaria de estos términos positivos.

Prueba. Para $\sum_{k=3}^{\infty}16(1/2)^k$, encuentra el primer término real, la suma infinita, la suma de los primeros cuatro términos y la cantidad restante.

Respuesta. El primer término es $2$ y la razón es $1/2$. La suma infinita es $4$. Los primeros cuatro términos son $2,1,1/2,1/4$, con suma $15/4=3.75$. La cantidad restante es $1/4$.

Errores comunes. Usar $\dfrac{a}{1-r}$ cuando $|r|\ge 1$ (la serie diverge), y tomar $a$ de la fórmula en lugar de la serie: $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\left(\tfrac12\right)^n$ comienza con $\tfrac12$, por lo que su suma es $\dfrac{1/2}{1-1/2}=1$, no $2$.

Una serie converge cuando sus sumas parciales $S_n=a_1+\cdots+a_n$ tienden a un límite finito $S$. Dado que $a_n=S_n-S_{n-1}$, la convergencia implica $a_n\to S-S=0$. Por lo tanto, si los términos no tienden a cero, la serie diverge. Esto incluye un límite de término finito no nulo, términos acotados sin límite o un límite de término que no existe.

Ejemplo resuelto: un límite no nulo. Para $a_n=n/(2n+1)$, divide por $n$ para obtener $a_n=1/(2+1/n)\to1/2$. Así, $\sum n/(2n+1)$ diverge por la Prueba del Término N-ésimo. El número $1/2$ es el límite del término, no la suma de la serie.

Ejemplo resuelto: sin límite de término. Para $a_n=(-1)^{n-1}$, los términos impares son iguales a $1$ y los términos pares son iguales a $-1$. Los términos no tienen un único límite, por lo que la serie diverge. Sus sumas parciales alternan entre $1$ y $0$: las sumas parciales acotadas no necesariamente convergen.

Un límite de término cero hace que esta prueba sea inconclusiva. Tanto $\sum1/n$ como $\sum1/2^{n-1}$ tienen términos que tienden a cero, pero el primero diverge y el segundo converge a $2$. Para la serie armónica, el bloque desde $n=2^{k-1}+1$ hasta $2^k$ contiene $2^{k-1}$ términos cada uno al menos igual a $1/2^k$, por lo que cada bloque suma al menos $1/2$. El teorema de la serie geométrica da la suma de la segunda serie. Estos son argumentos separados; la Prueba del Enésimo Término sola decide ninguno.

Los signos alternos solos no hacen que falte el límite del término: $(-1)^{n-1}/n\to0$ porque su valor absoluto tiende a cero. La Prueba del Enésimo Término es inconclusiva para esta serie también. Cambiar finitamente muchos términos finitos no cambia la convergencia.

Intentelo. Aplique solo la Prueba del término n-ésimo a $\sum 3n^2/(n^2+4)$, $\sum[2+(-1)^n]$ y $\sum 2/(n+1)$, con $n\ge1$.

Respuesta. La primera tiene límite de término $3\ne0$, por lo que diverge. La segunda tiene términos impares $1$ y términos pares $3$, por lo que su límite de término no existe y la serie diverge. La tercera tiene límite de término $0$, por lo que esta prueba es inconclusiva; se necesita otro argumento para su clasificación.

El criterio de la integral compara una cola de una serie con una integral impropia correspondiente. Elige $f$ con $a_n=f(n)$ y un entero $N$ tal que $f$ sea positiva, continua y no creciente (decreciente en sentido no estricto) en $[N,\infty)$. Se permiten tramos constantes. Entonces

convergen o divergen conjuntamente. Sus valores no son la misma cantidad. Finitamente muchos términos finitos antes de la cola válida no afectan la convergencia. No uses automáticamente el límite inferior $1$: la función puede estar indefinida allí.

Comparación rectangular. Sobre $[N,N+m]$, los rectángulos izquierdos de ancho unitario tienen total $U=\sum_{k=N}^{N+m-1}f(k)$ y se sitúan sobre el área. Los rectángulos derechos tienen total $L=\sum_{k=N+1}^{N+m}f(k)$ y se sitúan debajo. Así $L\le I\le U$, donde $I=\int_N^{N+m}f(x)\,dx$. Esta comparación acota las sumas parciales positivas cuando la integral impropia es finita; si la integral crece sin límite, lo hace también la serie.

Ejemplo resuelto: una integral finita. Para $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^2$, $f(x)=1/x^2$ es positivo y continuo en $[1,\infty)$, con $f'(x)=-2/x^3<0$. Calcula la integral impropia como un límite:

La serie converge. Su suma no es $1$, ya que sus dos primeros términos ya suman $1.25$. Como comparación, $\int_1^b dx/x=\ln b\to\infty$, por lo que la serie armónica diverge a pesar de que sus términos tiendan a cero.

Ejemplo resuelto: una función desplazada. Para $\sum_{n=1}^{\infty}1/(n+2)^2$, usa $f(x)=1/(x+2)^2$. Cumple las condiciones para $x\ge1$, y su integral impropia es $[-1/(x+2)]_1^{\infty}=1/3$. La serie converge; $1/3$ es el valor de la integral, no la suma exacta de la serie.

Ejemplo resuelto: elegir el límite inferior. Para $\sum_{n=2}^{\infty}1/(n\ln n)$, la función correspondiente es positiva y continua para $x\ge2$. Su derivada es $-(\ln x+1)/[x^2(\ln x)^2]<0$. Dado que

la serie diverge. El límite inferior $1$ sería inválido porque el denominador es cero allí. Si una función de correspondencia elegida falla alguna condición de prueba, ese fallo solo no demuestra divergencia.

Intenta aplicarlo. Usa la Prueba Integral para $\sum_{n=2}^{\infty}1/[n(\ln n)^2]$. Explica las condiciones y la integral.

Respuesta. La función correspondiente es positiva y continua en $[2,\infty)$, con derivada $-(\ln x+2)/[x^2(\ln x)^3]<0$. Su primitiva es $-1/\ln x$, por lo que la integral impropia desde $2$ es $1/\ln2$, finita. La serie converge. Cambiar cualquier prefijo finito de términos finitos no cambia esta conclusión.

Una serie p p $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^p$, con real fijo $p$, converge exactamente cuando $p>1$ y diverge para $p\le1$. La serie armónica es el límite $p=1$ y diverge a pesar de que sus términos tiendan a cero.

Por qué funciona la regla. Para $p>0$, $f(x)=x^{-p}$ es positivo, continuo y decreciente en $[1,\infty)$. Si $p\ne1$,

Para $p>1$, la integral impropia es $1/(p-1)$, finita, por lo que la serie converge. Para $0<p<1$, la integral crece sin límite, por lo que la serie diverge. En $p=1$, usa $\int_1^b dx/x=\ln b\to\infty$ por separado. El valor de una integral no es la suma exacta de la serie.

Para $p=0$, los términos son iguales a $1$; para $p<0$, crecen sin límite. Estos términos no tienden a cero, por lo que la Prueba del Término n° demuestra divergencia. Para $p$ negativos, la función correspondiente es creciente, por lo que la Prueba Integral de funciones decrecientes no está justificada.

Reconozca la potencia. Dado que $n\sqrt n=n^{3/2}$, $\sum1/(n\sqrt n)$ converge. Dado que $\sqrt[3]{n^2}=n^{2/3}$, $\sum1/\sqrt[3]{n^2}$ diverge. Un factor fijo distinto de cero y un cambio finito en el índice inicial preservan la convergencia. Por ejemplo,

converge. Un factor cero produce directamente la serie de todos ceros. La expresión $1/(n^2+1)$ no es exactamente un término de p-serie; utilice comparación en lugar de eliminar el $+1$.

La serie $\sum1/2^n$ es geométrica, con el índice cambiante en el exponente.

Serie armónica alternante. La serie con signo $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}/n$ converge por la Prueba de Series Alternantes porque sus magnitudes positivas disminuyen hacia cero. Su serie de magnitudes $\sum1/n$ diverge. La regla de las p-series positivas por sí sola no clasifica series con signo; la prueba alternante se explica a continuación.

Intentelo. Clasifique $\sum_{n=4}^{\infty}5/(n\sqrt n)$, y encuentre todos los reales $q$ para los cuales $\sum_{n=1}^{\infty}1/n^{2q-1}$ converge.

Respuesta. La primera tiene exponente $3/2>1$ y converge; el factor $5$ y el prefijo finito omitido no cambian esto. La segunda requiere $2q-1>1$, por lo tanto $q>1$. En $q=1$ es armónica y diverge.

La comparación relaciona una serie desconocida con una p-serie o serie geométrica conocida. Verifique los términos y la dirección de la desigualdad en una cola válida.

• Comparación directa: si $0\le a_n\le b_n$ eventualmente y $\sum b_n$ converge, la más pequeña $\sum a_n$ converge. Si $a_n\ge b_n\ge0$ eventualmente y $\sum b_n$ diverge, la más grande $\sum a_n$ diverge.
• Comparación por límite: para términos positivos eventualmente, si $\lim a_n/b_n=L$ con $0<L<\infty$, ambas series tienen el mismo comportamiento de convergencia. Clasifique primero la serie conocida; el límite por sí solo no indica que ambas converjan.

Cota superior convergente. Dado que $0<1/(n^2+1)<1/n^2$ para $n\ge1$ y la p-serie con potencia $2$ converge, $\sum1/(n^2+1)$ converge.

Cota inferior divergente. Para $n\ge1$, $n+1\le2n$, por lo tanto $1/(n+1)\ge1/(2n)>0$. La mitad de la serie armónica diverge, y por tanto también $\sum1/(n+1)$.

Ejemplo resuelto. ¿Converge $\displaystyle\sum_{n=2}^{\infty}\frac{1}{n^2-1}$? Para grandes $n$, los términos se comportan como $\dfrac{1}{n^2}$. La comparación directa apunta en la dirección incorrecta aquí ($\tfrac{1}{n^2-1}>\tfrac{1}{n^2}$, y ser mayor que una serie convergente no prueba nada). Use la prueba de comparación por límite con $b_n=\dfrac{1}{n^2}$:

un número positivo finito. Dado que $\sum\dfrac{1}{n^2}$ converge ($p=2>1$), $\displaystyle\sum\frac{1}{n^2-1}$ converge también.

Evite la dirección incorrecta. Ser menor que una serie divergente no establece divergencia: $1/n^2\le1/n$, pero la serie más pequeña converge. Ser mayor que una serie convergente no establece convergencia. Una imagen finita no prueba una cota para todo índice posterior.

Evalúe la razón completa. Para $a_n=(3n^2+1)/(n^4+5)$ y $b_n=1/n^2$,

Los términos son positivos y la serie p de comparación converge, por lo que la serie dada converge. Para $a_n=(2n+1)/(n^2+4)$ y $b_n=1/n$, la razón es $(2+1/n)/(1+4/n^2)\to2$. La positividad y la divergencia armónica dan la divergencia de esta última serie.

Verifique la cola. Para $n\ge3$, $n^2-4\ge n^2/2$, por lo tanto $0<1/(n^2-4)\le2/n^2$. Así, la serie que comienza en $n=3$ converge. Un término en $n=2$ sería indefinido: la invarianza del prefijo finito requiere términos finitos y definidos. Los términos con signo necesitan un argumento separado o el estudio de sus valores absolutos.

Si el límite de la razón es $0$ o infinito, el teorema de Comparación por Límite de positivo finito no justifica un comportamiento de convergencia igual. Por ejemplo, $(1/n^2)/(1/n)\to0$ aunque la serie numerador converge y la serie denominador diverge. Elija otra comparación o una cota directa válida; estos límites no son veredictos automáticos de divergencia. La comparación tampoco iguala sumas exactas.

Intentelo. Clasifique $\sum_{n=2}^{\infty}1/(n^2-1)$, $\sum\sqrt n/(n^2+1)$ y $\sum(4n^2+3)/(n^3+2)$.

Respuesta. El primero está acotado superiormente por $2/n^2$ para $n\ge2$, por lo que converge. Para el segundo, la comparación con $1/n^{3/2}$ da una razón de $n^2/(n^2+1)\to1$ y convergencia. Para el tercero, la comparación con $1/n$ da una razón de $(4+3/n^2)/(1+2/n^3)\to4$ y divergencia. Todas las colas seleccionadas son positivas.

Una serie alternada tiene signos que cambian. Escribe $a_n=(-1)^{n-1}b_n$ para un primer signo positivo, o $a_n=(-1)^n b_n$ para un primer signo negativo. Las magnitudes $b_n$ son positivas.

La Prueba de Series Alternadas proporciona condiciones suficientes: si, a partir de algún índice, $b_{n+1}\le b_n$ y $b_n\to0$, la serie converge. Se permiten magnitudes consecutivas iguales. Un prefijo finito de términos finitos no afecta la convergencia.

Por qué funciona. En el caso de primer signo positivo con magnitudes no crecientes desde el inicio, las sumas parciales pares aumentan y las impares disminuyen; cada grupo acota al otro. La diferencia $S_{2k-1}-S_{2k}=b_{2k}$ tiende a cero, por lo que ambos grupos se acercan al mismo límite finito. Aplica este razonamiento a una cola válida para condiciones eventuales.

Ejemplo armónico alternado. Para $b_n=1/n$, la positividad, la disminución y el límite cero se cumplen para $n\ge1$, por lo que $\sum(-1)^{n-1}/n$ converge.

La serie armónica positiva diverge. Empezar con $(-1)^n$ multiplica la serie signada por $-1$ y preserva la convergencia. Un límite de término cero no es la suma exacta de la serie.

Ejemplo de decrecimiento eventual. Para $b_n=n/(n^2+9)$, $f(x)=x/(x^2+9)$ tiene derivada $(9-x^2)/(x^2+9)^2\le0$ para $x\ge3$. Además $b_n=(1/n)/(1+9/n^2)\to0$. La serie alternante converge aunque los primeros valores absolutos aumenten.

Separa dos fallos. Si $b_n=1+1/n$, las magnitudes disminuyen pero tienden a $1$; los términos signados no se acercan a cero, y la Prueba del n-ésimo Término demuestra la divergencia. Si solo falla la no-incremento eventual, la Prueba de Series Alternadas no está justificada; ese fallo solo no prueba la divergencia.

Por ejemplo, sean $b_{2k-1}=1/k$ y $b_{2k}=1/k+1/k^2$. Hay un aumento de magnitud en cada par. Sin embargo, los pares adyacentes signados de primer signo positivo suman $-1/k^2$. Sus sumas parciales pares convergen, y la diferencia hacia la siguiente suma impar tiende a cero, por lo que la serie original converge mediante este argumento separado. La agrupación adyacente mantiene el orden original.

La prueba no clasifica por sí misma la convergencia de $\sum b_n$ ni calcula una suma exacta. La convergencia absoluta/condicional y los límites de error numérico son temas separados a continuación.

Pruébalo. Testea la serie alternada con magnitudes positivas $2/\sqrt{n+3}$, $n/(n^2+16)$ y $(3n+1)/(n+2)$, para $n\ge1$.

Respuesta. El primero disminuye hacia cero y da convergencia. El segundo tiende a cero y tiene derivada $(16-x^2)/(x^2+16)^2\le0$ desde $x=4$, por lo que su serie alternada converge. El tercero tiene límite de magnitud $3$, por lo que sus términos signados fallan en tender a cero y la Prueba del n-ésimo Término da divergencia.

La prueba de la razón usa la razón absoluto siguiente/anterior $q_n=|a_{n+1}/a_n|$. Los términos deben ser no nulos eventualmente para que el cociente esté definido en una cola. Cuando $L=\lim q_n$ existe:

• $L<1$: la serie converge absolutamente, porque las magnitudes de la cola están acotadas eventualmente por una serie geométrica convergente.
• $L>1$, incluyendo $+\infty$: la serie diverge.
• $L=1$: la prueba es inconclusiva; se necesita otra prueba.

Un número finito de términos iniciales finitos, incluidos ceros, no afectan la convergencia. Una cola totalmente cero converge directamente; no evalúes $0/0$. Denominadores cero recurrentes o un límite de razón inexistente requieren otro argumento, en lugar de un veredicto automático de divergencia.

Es la prueba predeterminada para series con factoriales o potencias $n$th, y es exactamente cómo encuentra el radio de convergencia de una serie de potencias.

Cancelación factorial. Para $a_n=2^n/n!$, escribe primero $a_{n+1}=2^{n+1}/(n+1)!$. Luego

La serie converge absolutamente. Usa $(n+1)!=(n+1)n!$, no $n!+1$. Las razones iniciales no necesitan estar todas por debajo de $1$: para $4^n/n!$, la primera razón es $2$, pero $4/(n+1)\to0$ aún demuestra convergencia absoluta.

Signos y dirección del cociente. Para $(-2)^n/n!$, la razón con signo es $-2/(n+1)$; su valor absoluto tiende a cero. Para $(-3)^n$, la razón absoluta es $3>1$, por lo que la serie diverge a pesar de tener una razón con signo negativa. Para $n!/2^n$, use el cociente correcto $(n+1)/2\to+\infty$, demostrando la divergencia. Su recíproco no es el cociente de la Prueba de la Razón.

Un exponente variable. Para $a_n=n!/n^n$,

Por lo tanto, la serie converge absolutamente. Tanto la base como el exponente cambian en el siguiente denominador.

El límite es inconclusivo. Los términos armónicos tienen $q_n=n/(n+1)\to1$ y su serie diverge. Los términos $1/n^2$ tienen $q_n=(n/(n+1))^2\to1$ y su serie converge. El teorema de las p-series proporciona estas clasificaciones. En particular, una razón finita menor que $1$ en cada índice no es suficiente; la serie armónica es un contraejemplo. El límite de la razón no es la suma de la serie.

Para un real fijo $c\ne0$, $\sum_{n=1}^{\infty}c^n/n!$ tiene un límite de razón absoluta $0$ y converge absolutamente. Para $c=0$, es una serie de todos ceros y converge directamente, sin necesidad de cálculo de razón.

Inténtelo. Aplique la Prueba de la Razón a $\sum3^n/(n+2)!$, $\sum n^3/5^n$ y $\sum(n+1)!/3^n$, comenzando en $n=1$.

Respuesta. Sus razones absolutas son $3/(n+3)\to0$, $((n+1)/n)^3/5\to1/5$ y $(n+2)/3\to+\infty$. Las dos primeras series convergen absolutamente; la tercera diverge. Cada término siguiente cambia cada ocurrencia del índice.

Error común. Leer un límite de prueba de razón exactamente igual a $1$ como convergencia. Tanto $\sum\frac1n$ (diverge) como $\sum\frac1{n^2}$ (converge) dan un límite de $1$: la prueba es inconclusiva allí, así que use otra prueba.

Una serie converge absolutamente si $\sum|a_n|$ converge. Converge condicionalmente si $\sum a_n$ converge pero $\sum|a_n|$ diverge. Una serie con signo divergente no pertenece a ninguna de estas categorías convergentes.

Dos preguntas separadas. Un procedimiento útil es probar primero la serie de magnitudes. Si converge, la convergencia absoluta garantiza la convergencia de la serie original. Si diverge, pruebe la serie con signo por separado: la convergencia con signo indica convergencia condicional; la divergencia con signo indica divergencia. La divergencia de $\sum|a_n|$ sola no distingue entre estos dos últimos resultados.

Para términos reales, $a_n^+=\max(a_n,0)$ y $a_n^-=\max(-a_n,0)$ satisfacen $0\le a_n^\pm\le|a_n|$. Si la serie de magnitudes converge, ambas series de partes convergen por comparación. Dado que $a_n=a_n^+-a_n^-$, sus límites finitos garantizan la convergencia de la serie con signo.

Ejemplo condicional. Para $\sum(-1)^n/n$, la serie de magnitudes es una serie armónica divergente. La serie con signo pasa la Prueba de Series Alternas porque sus magnitudes positivas disminuyen hacia cero. Estos dos hechos juntos establecen la convergencia condicional.

Ejemplo absoluto. Para $\sum(-1)^n/n^2$, la p-series de magnitudes converge. Por lo tanto, la serie con signo es absolutamente convergente; sus signos alternados no la hacen condicional, y no se necesita una prueba adicional de convergencia.

Ejemplo divergente. Para $(-1)^n n/(n+1)$, las magnitudes tienden a $1$, por lo que los términos con signo no tienden a cero. La Prueba del n-ésimo Término da divergencia, no convergencia condicional. Este ejemplo y el de la serie armónica condicional tienen ambas series de magnitudes divergentes.

Un ejemplo desplazado es $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}2/\sqrt{n+3}$. Su serie de magnitudes es el doble de una cola de p-series divergente con potencia $1/2$; su serie con signo pasa la Prueba de Series Alternas. Así, es condicionalmente convergente. Un resultado de la Prueba de la Razón de $L=1$ no establece convergencia condicional: tanto el ejemplo armónico como el de denominador al cuadrado alternado tienen ese límite de razón.

Reordenamiento y cambios finitos. Cualquier reagrupación o reordenamiento de una serie absolutamente convergente tiene la misma suma. Una serie condicionalmente convergente no tiene tal garantía de reordenamiento; un nuevo orden puede cambiar la suma o fallar en converger. Use el orden especificado para clasificar. Cambiar finitamente muchos términos finitos, o multiplicar por una constante fija distinta de cero, preserva la clasificación. Un multiplicador cero produce directamente una serie de todos ceros absolutamente convergente.

Inténtelo. Clasifique $\sum(-1)^{n-1}/n^{3/2}$, $\sum(-1)^n/\sqrt{n+1}$ y $\sum(-1)^n(2n+1)/(n+4)$, para $n\ge1$.

Respuestas resueltas

La primera es absolutamente convergente porque su p-series de magnitudes tiene potencia $3/2>1$. La segunda es condicional: la cola de p-series de magnitudes tiene potencia $1/2$ y diverge, mientras que la serie con signo pasa la Prueba de Series Alternas. La tercera diverge por la Prueba del n-ésimo Término ya que sus magnitudes tienden a $2$. Proporcione argumentos tanto con signo como de magnitud al afirmar convergencia condicional.

Para una serie que comienza en $n=1$, sea $S_N$ contener sus primeros $N$ términos. Si la cola omitida alterna con magnitudes positivas y no crecientes tendiendo a cero, entonces

La cota utiliza el primer término omitido (su magnitud), no el último incluido. La suma exacta está entre $S_N$ y $S_{N+1}$. Un próximo término positivo convierte $S_N$ en una estimación inferior; un próximo término negativo la convierte en una estimación superior. La convergencia sola, sin las condiciones de cola omitida, no justifica este teorema.

Ejemplo armónico exacto. Para $1-1/2+1/3-\cdots$, $S_3=5/6$ y el próximo término es $-1/4$. Así, la cota es $1/4$ y $7/12\le S\le5/6$. La cota no es el error real, y no se necesita la suma infinita exacta para certificar este acotamiento.

Coincide con la desigualdad objetivo. Una condición suficiente del próximo término para un error de hasta $\varepsilon$ es $b_{N+1}\le\varepsilon$. Para un certificado estricto usando solo la cota no estricta, usa $b_{N+1}<\varepsilon$. Con magnitudes armónicas y objetivo $0.01$, estas condiciones dan N≥99 y N≥100 respectivamente. Detente antes del término omitido, cuyo índice es 100 o 101. Estos son conteos de certificación, no afirmaciones sobre el conteo más pequeño posible de error real.

Conserva el coeficiente. Para las magnitudes $3/n^2$, exigir $3/(N+1)^2\le0.001$ da $(N+1)^2\ge3000$. El entero más pequeño que cumple esta condición es N=54: el término omitido tiene índice 55.

Cuenta desde el inicio real. Si la serie comienza en el índice $m$, N términos incluidos terminan en $K=m+N-1$, y el índice omitido es $m+N$. Para $\sum_{n=3}^{\infty}(-1)^{n-3}/n^2$, cuatro términos terminan en el índice 6. Su suma es $73/1200$, la magnitud omitida es 1/49 en el índice 7, y el próximo término es positivo. Por lo tanto, $73/1200\le S\le73/1200+1/49$.

Incluye el error de redondeo. Para un valor redondeado reportado $r$,

Por ejemplo, redondear $5/6$ a 0.833 añade 1/3000 a su cota de truncamiento 1/4. Redondea un acotamiento hacia afuera: $[0.583333,0.833334]$ contiene el intervalo exacto $[7/12,5/6]$; el redondeo hacia adentro no es generalmente seguro.

Una cola eventual puede bastar. Para magnitudes $b_n=n/(n^2+9)$, la derivada $(9-x^2)/(x^2+9)^2$ es no positiva para x≥3 y $b_n\to0$. Después de dos términos incluidos, la cola omitida comienza en el índice 3 y cumple las condiciones, dando la cota $b_3=1/6$. Los aumentos anteriores no invalidan este argumento de cola particular.

Pruébalo. Para magnitudes $2/(n+1)^2$ comenzando en n=1, encuentra los menores conteos que satisfacen las condiciones del próximo término para un error de hasta 0.005 y estrictamente por debajo de 0.005. Luego da el índice omitido y el acotamiento para $\sum_{n=4}^{\infty}(-1)^{n-4}/n$ después de cinco términos.

Respuestas trabajadas de cota de error

La magnitud próxima desplazada es $2/(N+2)^2$. Su condición no estricta da N≥18; su condición estricta da N≥19. En la segunda serie, el último índice incluido es 8 y el índice omitido es 9. La suma de cinco términos es $167/840$, la cota es 1/9 y el próximo signo es negativo, así que $221/2520\le S\le167/840$. Combinando la cota de truncamiento $0.004$ con redondeo a tres decimales da $0.004+0.0005=0.0045$.

Ejemplo trabajado. Estima $S=\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}}{n^2}$ con cuatro términos, y acota el error.

Los términos $\tfrac{1}{n^2}$ son positivos, decrecientes y tienden a $0$, por lo tanto $|S-S_4|\le b_5=\dfrac{1}{25}=0.04$. (La suma verdadera es $\tfrac{\pi^2}{12}\approx 0.8225$; el error real, aproximadamente $0.024$, está dentro de la cota.) Usa el primer término omitido, $b_5$, no el último término usado.

Un polinomio de Taylor usa derivadas evaluadas en un centro $a$ para construir una aproximación finita. Hasta el orden $n$, es

Coincide con $f(a)$ y las derivadas hasta el orden $n$ en $a$. El coeficiente de $(x-a)^k$ es $f^{(k)}(a)/k!$. Usa valores de derivada en el centro, no expresiones que aún dependan de $x$. Centralizado en $a=0$, este es un polinomio de Maclaurin. Su grado puede ser inferior a $n$ si un coeficiente es cero.

Ejemplo trabajado: usa una tabla de derivadas. En $a=1$, supón que los valores de las derivadas hasta el orden $3$ son $2,-3,8,12$. Divídelos por $0!,1!,2!,3!$ para obtener coeficientes $2,-3,4,2$. Por lo tanto

El cambio es $x-a=-0.1$, por lo que las potencias impares conservan su signo negativo. Esto da $f(0.9)\approx2.338$. Una tabla finita sola no proporciona una garantía numérica de error.

Ejemplo resuelto: Maclaurin para la exponencial. Cada derivada de $e^x$ en $0$ es igual a $1$. Divida estos valores por sus factoriales para obtener $P_2(x)=1+x+x^2/2$. Por lo tanto $e^{0.1}\approx P_2(0.1)=1.105$. El valor del polinomio es exacto para $P_2$, mientras que su uso para la exponencial es una aproximación.

Ejemplo trabajado: un centro útil no nulo. Para $\ln x$ alrededor de $1$, los valores de las derivadas son $0,1,-1,2$ hasta el orden $3$. Sea $h=x-1$. Entonces

En $x=1.1$, usa $h=0.1$, dando $\ln(1.1)\approx0.0953333\ldots$. Usar $h=1.1$ evaluaría en la entrada desplazada incorrecta.

Orden y grado. Para coseno respecto a $0$, $P_2=P_3=1-x^2/2$ tiene grado $2$ y coincide en las derivadas hasta el orden $3$.

Ejemplo resuelto: un orden superior puede ser peor. Para $e^x$ en $-2$, $P_0=1$ tiene un error de aproximadamente $0.8647$, mientras que $P_1=-1$ tiene un error de aproximadamente $1.1353$. Más términos no garantizan un error menor en cada punto.

Pruébalo. En $a=-1$, supón que los valores de la derivada hasta el orden $3$ son $4,2,-6,24$. Construye $P_3$ y estima $f(-0.8)$.

Respuesta. Divide por factoriales para obtener los coeficientes $4,2,-3,4$. Entonces,

En $x=-0.8$, el cambio es $0.2$, dando como resultado $f(-0.8)\approx4+0.4-0.12+0.032=4.312$.

Ejemplo resuelto. $f(2)=3$, $f'(2)=-1$, $f''(2)=4$ y $f'''(2)=12$. Escribe el polinomio de Taylor de tercer grado respecto a $x=2$ y estima $f(2.1)$.

Divide cada derivada por su factorial: $\dfrac{4}{2!}=2$ y $\dfrac{12}{3!}=2$. Por lo tanto,

Olvidar los factoriales (escribir $4(x-2)^2$ en lugar de $\tfrac{4}{2!}(x-2)^2$) es el error más común.

El límite del error de Lagrange proporciona un límite superior para el error absoluto de una aproximación de Taylor. Sea $P_n$ que incluye los términos hasta el orden $n$ respecto a $a$ y escribe $R_n(x)=f(x)-P_n(x)$. Si las derivadas hasta el orden $n+1$ son continuas en el intervalo cerrado que une $a$ y $x$, y $|f^{(n+1)}(t)|\le M$ en todo ese intervalo, entonces

La constante $M$ puede ser cualquier cota superior justificada; no necesita ser el máximo exacto. Revise todo el intervalo, no solo el centro o el objetivo. Cuando $x<a$, use el intervalo $[x,a]$ y la distancia positiva $|x-a|$.

Ejemplo resuelto: certificar un valor. Para $e^x$ en $x=0.1$, $P_2=1+x+x^2/2$ da $1.105$. En $[0,0.1]$, la tercera derivada satisface $e^t\le e^{0.1}<1.2$, así que escoge $M=1.2$. Entonces

Esto certifica un error de como máximo $0.001$. No indica que el error real sea igual a $0.0002$. El valor $M=1$ sería demasiado pequeño, ya que $e^t>1$ para $t>0$.

Ejemplo resuelto: un intervalo uniforme. En $[-1,1]$, toda derivada de $e^x$ es como máximo $e<3$. Para el mismo $P_2$, elige la cota fija $M=3$. Exigir un error de como máximo $0.0005$ da

Así, $[-0.1,0.1]$ está certificado por esta cota y se encuentra dentro del intervalo donde $M$ es válido. No necesariamente es el intervalo más grande donde la aproximación real cumple la tolerancia.

Compara dos cotas. Para $\cos(0.2)$, $P_2=1-x^2/2=0.98$. La tercera derivada tiene magnitud como máximo $1$, lo que da $B_2=0.2^3/3!=0.001333\ldots$. Esto no certifica la tolerancia $0.001$, pero tampoco demuestra un fallo. La serie de cosenos en este punto alterna con tamaños de término decrecientes tendiendo a $0$. Su primer término omitido no nulo da la cota más precisa

Aquí $P_2=P_3$ porque el coeficiente cúbico es cero. El límite de Lagrange de cuarta derivada con $n=3$ y $M=1$ da la misma estimación más precisa. El orden de Taylor puede ser mayor que el grado real del polinomio.

Pruébalo. Supón $|f^{(4)}(t)|\le9$ en $[1.8,2]$, con derivadas continuas hasta el orden $4$. Acota el error de su aproximación de Taylor de tercer orden respecto a $2$ en $x=1.8$. ¿Cumple con la tolerancia $0.001$?

Respuesta. Use la distancia $0.2$ y el denominador $4!$. La cota es $9(0.2)^4/24=0.0006\le0.001$, por lo que la tolerancia está certificada.

El orden no garantiza una cota menor. Vuelve a revisar tanto la cota de la derivada como la distancia al aumentar el orden. Para seno en $x=4$, centrado en $0$, $M=1$ funciona para todas las derivadas. La cota de orden-$0$ es $4$, pero la cota de orden-$1$ es $4^2/2!=8$. Un factorial mayor por sí solo no resuelve la comparación.

Ejemplo resuelto. Continúe el ejemplo anterior: suponga $|f^{(4)}(x)|\le 30$ para $2\le x\le 2.1$. Entonces, con $n=3$,

Así $P_3(2.1)=2.922$ está dentro de $0.000125$ de $f(2.1)$. Use la derivada siguiente al grado del polinomio: un polinomio de grado-$3$ usa $f^{(4)}$ y $4!$.

Una serie de potencias es una suma de términos $c_n(x-a)^n$, donde los números $c_n$ no dependen de $x$. Su radio de convergencia $R$ mide una distancia desde el centro $a$. Para $0<R<\infty$, converge absolutamente para $|x-a|<R$ y diverge para $|x-a|>R$. Pruebe los dos extremos por separado para completar el intervalo de convergencia. El propio centro siempre se incluye; los términos de potencia positiva se anulan allí.

Use la prueba de cociente en los términos completos cuando su límite esté disponible. Mantenga el factor que involucra $x$, resuelva para una distancia y verifique el centro directamente si la expresión del cociente no está definida allí. Un límite de $1$ es inconclusivo, no prueba de divergencia.

Ejemplo resuelto: un centro desplazado. Para $\displaystyle\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(x-2)^n}{3^n n}$, el valor absoluto del cociente, lejos del centro, es

Por lo tanto $|x-2|<3$, o $-1<x<5$. El centro es $2$ y $R=3$, no el límite derecho $5$ ni el ancho $6$. En $x=2$, cada término es $0$. En $x=-1$, la serie original se convierte en $\sum(-1)^n/n$, que converge por la prueba de series alternas: $1/n$ disminuye hacia $0$. En $x=5$, se convierte en la serie armónica divergente $\sum1/n$. El intervalo completo es $[-1,5)$.

El mismo radio puede dar diferentes corchetes. Con $t=(x-2)/3$ y $n\ge1$, estas familias todas tienen centro $2$, radio $3$ y límite de cociente absoluto $|t|$.

Ejemplo resuelto: invertir el extremo incluido. Para $\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n(x+1)^n/(2^n n)$, el límite del cociente absoluto es $|x+1|/2$. Por lo tanto $a=-1$, $R=2$ y los límites candidatos son $-3$ y $1$. En $-3$, los dos factores $(-1)^n$ se cancelan y dan la serie armónica divergente. En $1$, la serie armónica alterna converge. El intervalo es $(-3,1]$.

Radios especiales. Para $\sum_{n=1}^{\infty}n!(x-2)^n$, el cociente absoluto $(n+1)|x-2|$ crece sin límite para cada $x\ne2$. Solo $x=2$ converge, así que $R=0$ y el conjunto es $\{2\}$. Para $\sum_{n=1}^{\infty}(x-2)^n/n!$, el cociente $|x-2|/(n+1)$ tiende a $0$ para cada $x$ real fijo, por lo que $R=\infty$ y el intervalo es $(-\infty,\infty)$. Estos casos no tienen dos valores de frontera finitos distintos para probar.

Ejemplo resuelto: el radio permanece igual. En el intervalo abierto, una serie de potencias de radio positivo es la serie de Taylor de su función suma. Diferenciar o integrar preserva su radio pero puede cambiar los resultados en la frontera. La serie $\sum_{n=1}^{\infty}x^n/n$ tiene intervalo $[-1,1)$. Diferenciar da $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n-1}$, con intervalo $(-1,1)$: los términos no tienden a $0$ en ninguno de los extremos. Integrar desde $0$ hasta $x$ da $\sum_{n=1}^{\infty}x^{n+1}/[n(n+1)]$, con intervalo $[-1,1]$: los términos absolutos de frontera son como máximo $1/n^2$, así que aplica la comparación. Los tres radios son $1$.

Pruébelo. Encuentre el centro, el radio y el intervalo para $\sum_{n=1}^{\infty}(x+2)^n/(4^n n^2)$, con una justificación para cada resultado de frontera.

Respuesta. El límite del cociente es $|x+2|/4$, así que el centro es $-2$, el radio es $4$ y los límites candidatos son $-6$ y $2$. Ambas series de frontera convergen absolutamente por la prueba de serie $p$ con $p=2$. El intervalo es $[-6,2]$.

Extender la fórmula del polinomio de Taylor a infinitos términos da una serie de Taylor (o Maclaurin). En un centro $a$, su fórmula es

Un polinomio de Taylor finito es una suma parcial. Para representar $f(x)$ exactamente, la diferencia $f(x)-P_N(x)$ debe tender a $0$ a medida que $N$ crece. La convergencia de la serie sola no establece igualdad con la función original. Para las cuatro identidades estándar a continuación, los intervalos donde se cumple la igualdad son conocidos.

Derivar el patrón del coseno. Las derivadas de $\cos x$ se repiten cada cuatro pasos. Sus valores en $0$ son $1,0,-1,0,1,\ldots$. Dividir cada uno por el factorial de su orden da los coeficientes $1,0,-1/2!,0,1/4!,\ldots$. Las potencias impares tienen coeficientes cero; las potencias pares alternan signos.

Estas identidades del seno, coseno y exponencial son válidas para todo real $x$.

Use radianes para el seno y el coseno. La identidad geométrica requiere $-1<x<1$: en cualquier extremo sus términos no tienden a $0$. Sus coeficientes son $1$, sin denominadores factoriales.

Ejemplo resuelto: cambiar el centro. Para $e^x$ centrado en $1$, cada valor de la derivada es $e$. Por lo tanto

Esta identidad es válida para todo real $x$. En $x=1$, todas las potencias positivas se anulan y dejan el valor correcto $e$. Usar $x^n$ en su lugar colocaría la expansión en el centro equivocado.

Términos y grado. Los tres primeros términos no nulos del coseno dan $1-x^2/2+x^4/24$. Esto es grado $4$, no grado $3$. Los tres primeros términos no nulos del seno tienen la potencia más alta $5$. Una tabla finita de valores de derivadas determina un polinomio de Taylor finito; sin un patrón, no determina todos los términos superiores.

Pruébalo. Use $h=x-\pi/2$ y $\sin(\pi/2+h)=\cos(h)$ para encontrar la serie de Taylor de $\sin x$ centrada en $\pi/2$.

Respuesta. Reemplace $h$ en la identidad del coseno:

Es válido para todo real $x$. Los tres primeros términos no nulos son $1-(x-\pi/2)^2/2!+(x-\pi/2)^4/4!$. Las potencias son potencias pares de la entrada desplazada, aunque la serie de Maclaurin del seno usa potencias impares de $x$.

Las nuevas series provienen de manipular estas: sustituyendo, diferenciando, integrando o multiplicando.

Ejemplo resuelto. Encuentre la serie de Maclaurin para $e^{x^2}$. Sustituya $x^2$ por $x$ en $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$:

que converge para todo $x$. Este truco de sustitución es mucho más rápido que diferenciar $e^{x^2}$ seis veces.

Porque una serie de potencias puede diferenciarse e integrarse término por término (dentro de su radio), puede construir nuevas series a partir de conocidas; por ejemplo, integre la serie geométrica para $\dfrac{1}{1-x}$ para obtener la serie para $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$, o sustituya $-x^2$ para obtener la serie para $\dfrac{1}{1+x^2}$. Representar una función como una serie de potencias le permite aproximar valores e integrales que no tienen antiderivada elemental.

Habilidad de examen: la respuesta libre de series del BC generalmente le pide derivar una nueva serie de Maclaurin a partir de una conocida, encontrar su intervalo de convergencia y usar el límite de la serie alternante o de Lagrange para estimar el error: las habilidades finales del curso.

• Prueba una serie para la convergencia con la herramienta adecuada: geométrica ($|r|<1$, suma $\tfrac{a}{1-r}$), $n$prueba del término n-ésimo, razón, integral, comparación o serie alternada.
• Una serie geométrica con primer término distinto de cero converge exactamente cuando $|r|<1$. Maneje directamente la serie de ceros totales.
• Construya una serie Taylor/Maclaurin para aproximar una función; más términos dan un mejor ajuste cerca del centro.
• Conozca las series de Maclaurin estándar para $e^x$, $\sin x$, $\cos x$ y $\tfrac{1}{1-x}$.
• Encuentre el radio/intervalo de convergencia con la prueba de la razón, luego verifique los extremos por separado.