Aplicaciones analíticas de la diferenciación

Comprensión Duradera (FUN-1): Los teoremas de existencia nos permiten extraer conclusiones sobre el comportamiento de una función en un intervalo sin precisar su ubicación exacta.

Objetivo de Aprendizaje FUN-1.B: Justificar conclusiones sobre funciones aplicando el Teorema del Valor Medio en un intervalo.

• FUN-1.B.1 Si una función $f$ es continua en el intervalo $[a, b]$ y diferenciable en el intervalo $(a, b)$, entonces el Teorema del Valor Medio garantiza la existencia de un punto dentro de ese intervalo abierto donde la tasa de cambio instantánea es igual a la tasa de cambio promedio en el intervalo.

Comprensión Duradera (FUN-1): Los teoremas de existencia nos permiten sacar conclusiones sobre el comportamiento de una función en un intervalo sin localizar con precisión dicho comportamiento.

Objetivo de Aprendizaje FUN-1.C: Justificar conclusiones sobre funciones aplicando el Teorema del Valor Extremo.

• FUN-1.C.1 Si una función $f$ es continua en el intervalo $(a, b)$, entonces el Teorema del Valor Extremo garantiza que $f$ tiene al menos un valor mínimo y al menos un valor máximo en $[a, b]$.
• FUN-1.C.2 Un punto de una función donde la primera derivada es igual a cero o no existe es un punto crítico de la función.
• FUN-1.C.3 Todos los extremos locales (relativos) ocurren en puntos críticos de una función, aunque no todos los puntos críticos son extremos locales.

Comprensión duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender algunos comportamientos de la función.

Objetivo de aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.

• FUN-4.A.1 La primera derivada de una función puede proporcionar información sobre la función y su gráfica, incluyendo los intervalos en los que la función es creciente o decreciente.

Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de dicha función.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función en base al comportamiento de sus derivadas.

• FUN-4.A.2 La primera derivada de una función puede determinar la ubicación de los extremos relativos (locales) de la función.

Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.

• FUN-4.A.3 Los extremos absolutos (globales) de una función en un intervalo cerrado solo pueden ocurrir en puntos críticos o en los extremos del intervalo.

Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.

• FUN-4.A.4 La gráfica de una función es cóncava hacia arriba (hacia abajo) en un intervalo abierto si la derivada de la función es creciente (decreciente) en dicho intervalo.
• FUN-4.A.5 La segunda derivada de una función proporciona información sobre la función y su gráfica, incluidos los intervalos de concavidad hacia arriba o hacia abajo.
• FUN-4.A.6 La segunda derivada de una función puede utilizarse para localizar puntos de inflexión en la gráfica de la función original.

Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender algunos comportamientos de la función.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.

• FUN-4.A.7 La segunda derivada de una función puede determinar si un punto crítico es la ubicación de un máximo o mínimo relativo (local).
• FUN-4.A.8 Cuando una función continua tiene solo un punto crítico en un intervalo de su dominio y dicho punto crítico corresponde a un extremo relativo (local) de la función en ese intervalo, entonces ese punto crítico también corresponde al extremo absoluto (global) de la función en el intervalo.

Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de dicha función.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.

• FUN-4.A.9 Las características clave de las funciones y sus derivadas pueden identificarse y relacionarse con sus representaciones gráfica, numérica y analítica.
• FUN-4.A.10 La información gráfica, numérica y analítica obtenida de $f'$ y $f''$ puede emplearse para predecir y explicar el comportamiento de $f$.

Comprensión duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la función.

Objetivo de aprendizaje FUN-4.A: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función basándose en el comportamiento de sus derivadas.

• FUN-4.A.11 Las características clave de las gráficas de $f$, $f'$ y $f''$ están relacionadas entre sí.

Comprensión perdurable (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de dicha función.

Objetivo de aprendizaje FUN-4.B: Calcular valores mínimos y máximos en contextos aplicados o en el análisis de funciones.

• FUN-4.B.1 La derivada puede emplearse para resolver problemas de optimización; es decir, para encontrar un valor mínimo o máximo de una función en un intervalo dado.

Comprensión duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la misma.

Objetivo de aprendizaje FUN-4.C: Interpretar los valores mínimos y máximos calculados en contextos aplicados.

• FUN-4.C.1 Los valores mínimo y máximo de una función adquieren significados específicos en contextos aplicados.

Comprensión Duradera (FUN-4): La derivada de una función puede utilizarse para comprender ciertos comportamientos de la misma.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.D: Determinar puntos críticos de relaciones implícitas.

• FUN-4.D.1 Un punto en una relación implícita donde la primera derivada es igual a cero o no existe, constituye un punto crítico de la función.

Objetivo de Aprendizaje FUN-4.E: Justificar conclusiones sobre el comportamiento de una función definida implícitamente basándose en evidencia de sus derivadas.

• FUN-4.E.1 Las aplicaciones de las derivadas pueden extenderse a funciones definidas implícitamente.
• FUN-4.E.2 Las segundas derivadas que involucran diferenciación implícita pueden ser relaciones de $x$, $y$ y $\dfrac{dy}{dx}$.