Aplicaciones de la integración

AP Cálculo BC · Tema 8

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8.1

Encontrar el Valor Promedio de una Función en un Intervalo

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios a lo largo de un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-4.B: Determinar el valor promedio de una función utilizando integrales definidas.

CHA-4.B.1 El valor promedio de una función continua $f$ sobre un intervalo $[a, b]$ es $\dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

El valor promedio 平均值 de $f$ sobre $[a,b]$ es la integral dividida por el ancho:

$$f_{\text{avg}}=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx.$$

Es la altura constante que tendría un rectángulo para tener el mismo área que la región bajo $f$. No confunda esto con la tasa de cambio promedio (que usa la derivada).

Ejemplo resuelto. El valor promedio de $f(x)=x^2$ en $[0,3]$ es $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$.

Explorar

El valor promedio de una función

y = ax³ + bx² + cx + d

El valor promedio de $f$ en $[a,b]$ es su integral dividida por el ancho — la altura constante cuyo rectángulo tiene la misma área que la bajo la curva.

8.2

Conectar Posición, Velocidad y Aceleración Usando Integrales

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios a lo largo de un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-4.C: Determinar valores para posiciones y tasas de cambio utilizando integrales definidas en problemas de movimiento rectilíneo.

CHA-4.C.1 Para una partícula en movimiento rectilíneo sobre un intervalo de tiempo, la integral definida de la velocidad representa el desplazamiento de la partícula durante dicho intervalo de tiempo, y la integral definida de la rapidez representa la distancia total recorrida por la partícula durante el intervalo de tiempo.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Para el movimiento en línea recta, la integración invierte la diferenciación:

$$v(t)=\int a(t)\,dt,\qquad s(t)=\int v(t)\,dt.$$

Dos distinciones clave: el desplazamiento 位移 es $\int_a^b v\,dt$ (cambio neto en la posición), mientras que la distancia total 总路程 es $\int_a^b |v|\,dt$ (dividiendo donde $v$ cambia de signo). La velocidad es $|v|$.

8.3

Usando Funciones de Acumulación e Integrales Definidas en Contextos Aplicados

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-4): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de un cambio a lo largo de un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-4.D: Interpretar el significado de una integral definida en problemas de acumulación.

CHA-4.D.1 Una función definida como una integral representa la acumulación de una tasa de cambio.
CHA-4.D.2 La integral definida de la tasa de cambio de una cantidad sobre un intervalo proporciona el cambio neto de dicha cantidad a lo largo de ese intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-4.E: Determinar el cambio neto mediante integrales definidas en contextos aplicados.

CHA-4.E.1 La integral definida puede utilizarse para expresar información sobre acumulación y cambio neto en diversos contextos aplicados.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Cuando se da una tasa (tasa de flujo, ventas por día), la integral definida da el total acumulado, y $\int_a^b R(t)\,dt$ lleva las unidades de $R$ por tiempo. Una configuración común: cantidad inicial $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ da la cantidad en un tiempo posterior. Siempre interprete la respuesta en contexto, con unidades.

8.4

Encontrar el Área Entre Curvas Expresadas como Funciones de x

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en el área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano usando la integral definida.

CHA-5.A.1 Las áreas de regiones en el plano se pueden calcular con integrales definidas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Un alfarero dando forma a un recipiente: los volúmenes de revolución giran una región plana alrededor de un eje — Un alfarero modelando un recipiente: volúmenes de revolución rotan una región plana alrededor de un eje

El área entre $y=f(x)$ (arriba) y $y=g(x)$ (abajo) desde $a$ hasta $b$ es

$$\int_a^b\big(f(x)-g(x)\big)\,dx.$$

Encuentre los puntos de intersección para los límites, y siempre reste arriba menos abajo.

El área entre dos curvas es la integral de la superior menos la inferior — El área entre dos curvas es la integral de arriba menos abajo

Ejemplo resuelto. Entre $y=x$ y $y=x^2$ (cruzándose en $x=0,1$, con $y=x$ arriba), el área es $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$.

8.5

Encontrar el Área Entre Curvas Expresadas como Funciones de y

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano utilizando la integral definida.

CHA-5.A.2 Las áreas de regiones en el plano pueden calcularse utilizando funciones tanto de $x$ como de $y$.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Cuando las curvas son más fáciles de describir como $x=f(y)$, integre respecto a $y$ en su lugar, usando derecha menos izquierda:

$$\int_c^d\big(f_{\text{right}}(y)-g_{\text{left}}(y)\big)\,dy.$$

Elegir integrar en $y$ puede evitar dividir la región en varias piezas.

8.6

Encontrar el Área Entre Curvas que Se Intersecan Más de Dos Veces

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas relacionados con la acumulación de cambios en el área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.A: Calcular áreas en el plano utilizando la integral definida.

CHA-5.A.3 El área de ciertas regiones en el plano puede calcularse mediante una suma de dos o más integrales definidas, o evaluando la integral definida del valor absoluto de la diferencia de dos funciones.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Si dos curvas se cruzan varias veces, arriba y abajo intercambian. Divida la región en cada punto de intersección e integre cada pieza con el correcto arriba menos abajo (o use $\int|f-g|$), luego sume las piezas.

8.7

Volúmenes Secciones Transversales: Cuadrados y Rectángulos

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas relacionados con la acumulación de cambios en el área o el volumen a lo largo de un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.B: Calcular volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas mediante integrales definidas.

CHA-5.B.1 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales cuadradas y rectangulares pueden determinarse utilizando integrales definidas y las fórmulas del área para estas figuras.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Si las secciones transversales 横截面 perpendiculares al eje $x$ de un sólido son cuadrados o rectángulos, integre su área. Con longitud de lado igual a la distancia entre dos curvas, una sección transversal cuadrada da

$$V=\int_a^b \big(f(x)-g(x)\big)^2\,dx.$$

El método siempre es "integrar el área de la sección transversal."

8.8

Volúmenes con Secciones Transversales: Triángulos y Semicírculos

Syllabus

Comprensión duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en el área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.B: Calcular volúmenes de sólidos con secciones transversales conocidas utilizando integrales definidas.

CHA-5.B.2 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales triangulares pueden encontrarse usando integrales definidas y las fórmulas de área para estas figuras.
CHA-5.B.3 Los volúmenes de sólidos con secciones transversales semicirculares u otras definidas geométricamente pueden encontrarse usando integrales definidas y las fórmulas de área para estas figuras.
- Ejemplos ilustrativos para CHA-5.B.3:
  - El volumen de un embudo cuyas secciones transversales son círculos puede calcularse usando la fórmula del área de un círculo y las integrales definidas (consulte la Pregunta de Respuesta Abierta #5(b) del Examen AB de 2016).
  - El volumen de un sólido cuya área de sección transversal está definida mediante una función puede calcularse usando la función de área conocida y una integral definida (consulte la Pregunta de Respuesta Abierta #4(c) del Examen AB de 2009).

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Misma idea, fórmula de área diferente: para secciones transversales de triángulo equilátero use $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$, y para semicirculares use $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$ (con $s$ la distancia entre las curvas). Sustituya la fórmula del área e integre.

8.9

Volumen con Método de Discos: Rotando Alrededor del Eje x o y

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.1 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor del eje $x$ o $y$ pueden determinarse mediante el uso de integrales definitas con el método de discos.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Sólidos de revolución: el método del disco

Rotar una región alrededor de un eje produce un sólido cuyas secciones transversales son discos. El método de discos 圆盘法 integra $\pi(\text{radius})^2$:

$$V=\pi\int_a^b \big(R(x)\big)^2\,dx,$$

donde el radio $R$ es la distancia de la curva al eje. Use $dy$ cuando rote alrededor del eje $y$.

El método de los discos: girar y=f(x) alrededor del eje genera discos de radio f(x) — El método de los discos: al rotar y=f(x) alrededor del eje genera discos de radio f(x)

Ejemplo resuelto. Al hacer girar la región bajo $y=\sqrt{x}$ desde $0$ hasta $4$ alrededor del eje $x$, se obtienen discos de radio $\sqrt{x}$: $V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$.

Girar una región alrededor de un eje genera un sólido de revolución — Al girar una región alrededor de un eje se genera un sólido de revolución

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
average value/ˈævrɪdʒ ˈvæljuː/	平均值	píng jūn zhí
displacement/dɪˈspleɪsmənt/	位移	wèi yí
total distance/ˈtəʊtl ˈdɪstəns/	总路程	zǒng lù chéng
cross sections/krɒs ˈsekʃnz/	横截面	héng jié miàn
disc method/dɪsk ˈmeθəd/	圆盘法	yuán pán fǎ

8.10

Volumen con el Método del Disco: Rotación alrededor de otros ejes

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.2 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor de cualquier línea horizontal o vertical en el plano pueden determinarse mediante el uso de integrales definidas con el método del disco.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Cuando el eje de rotación es una línea horizontal o vertical como $y=k$ (que no es un eje principal), el radio se ajusta: $R=|f(x)-k|$. Establece el radio como la distancia desde la curva hasta esa línea, luego integra $\pi R^2$ como antes.

8.11

Volumen con el Método de las Arandelas: Rotación alrededor del eje x o y

Syllabus

Comprensión perdurable (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.3 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor del eje $x$ o $y$-axis cuyas secciones transversales tienen forma de anillo pueden encontrarse mediante integrales definidas usando el método de arandelas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Volumen mediante el método de las arandelas

Si la región no toca el eje, al rotarla queda un agujero, por lo que las secciones transversales son arandelas (anillos). El método de las arandelas 垫圈法 resta el disco interior:

$$V=\pi\int_a^b\Big(R_{\text{outer}}^2-R_{\text{inner}}^2\Big)\,dx.$$

Identifica los radios exterior e interior como distancias desde cada curva hasta el eje.

Vocabulario Entrenar

Inglés	Chino	Pinyin
washer method/ˈwɒʃə ˈmeθəd/	垫圈法	diàn juàn fǎ
arc length/ɑːk leŋθ/	弧长	hú zhǎng

8.12

Volumen con el Método de las Arandelas: Rotación alrededor de otros ejes

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-5): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación de cambios en área o volumen sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-5.C: Calcular volúmenes de sólidos de revolución utilizando integrales definidas.

CHA-5.C.4 Los volúmenes de sólidos de revolución alrededor de cualquier línea horizontal o vertical cuyas secciones transversales son anulares pueden hallarse mediante integrales definidas usando el método de arandelas.

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

Al igual que con los discos, girar alrededor de una línea $y=k$ o $x=k$ desplaza ambos radios: cada uno se convierte en la distancia desde su curva hasta esa línea. Dibuja la región y el eje, etiqueta $R_{\text{outer}}$ y $R_{\text{inner}}$, luego integra la diferencia de cuadrados.

8.13

La longitud de arco de una curva suave y la distancia recorrida

Syllabus

Comprensión Duradera (CHA-6): Las integrales definidas nos permiten resolver problemas que involucran la acumulación del cambio en longitud sobre un intervalo.

Objetivo de Aprendizaje CHA-6.A: Determinar la longitud de una curva en el plano definida por una función, utilizando una integral definida. SOLO BC

CHA-6.A.1 La longitud de una curva plana definida por una función puede calcularse mediante una integral definida. SOLO BC

Fuente: College Board AP Course and Exam Description

La longitud de arco 弧长 de $y=f(x)$ desde $a$ hasta $b$ es

$$L=\int_a^b\sqrt{1+\big(f'(x)\big)^2}\,dx.$$

Esta fórmula exclusiva de BC proviene de sumar pequeñas hipotenusas $\sqrt{dx^2+dy^2}$. La misma idea proporciona la distancia que recorre una partícula a lo largo de una trayectoria curva.

Ejemplo resuelto. Hallar la longitud de arco de $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ desde $x=0$ hasta $x=3$. Aquí $f'(x)=x^{1/2}$, por lo tanto $1+(f')^2=1+x$ y

$$L=\int_0^3\sqrt{1+x}\,dx=\left[\tfrac{2}{3}(1+x)^{3/2}\right]_0^3=\tfrac{2}{3}(8-1)=\tfrac{14}{3}.$$

The Golden Gate Bridge and its sweeping main cables — El cable principal del puente cuelga como una curva suave; una integral proporciona su longitud exacta.

8.13

Consejos para el examen

El área entre curvas es $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ — encuentre los puntos de intersección para los límites y mantenga la resta de la función superior menos la inferior.
Para un volumen de revolución, sume las secciones transversales de disco/anillo de área $\pi r^2$ (o $\pi(R^2-r^2)$).
El valor promedio de $f$ sobre $[a,b]$ es $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$.
El cambio acumulado es $\int$ de una tasa: total = valor inicial $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$.
La integración significa "sumar infinitas piezas pequeñas": configure el integrando como una fina rebanada.

Lecciones interactivas sobre este tema

Trátalo paso a paso, con ejercicios de verificación instantánea.

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