SN.2 · Bragg diffraction and electron-gas heat capacity

GRE Subject Test · GRE Physics · الموضوع 45

45.1

حيود براغ وسعة الحرارة لغاز الإلكترونات

يدور البلورة في شعاع سيني لتعيين مستوياتها الذرية، لأن الانعكاس البناء يحدث فقط عند زوايا منفصلة.

المتطلبات السابقة: 8، 36.

طبق شرط براغ لإيجاد مسافات المستويات أو زوايا الحيود
قدّر طاقة فرمي للإلكترونات الحرة ودرجة حرارة فرمي
ميّز بين مساهمات السعة الحرارية الإلكترونية والشبكية

English	العربية
Bragg condition/bræɡ kənˈdɪʃn/	شرط براغ
Fermi energy/ˈfɜːmi ˈenədʒi/	طاقة فيرمي
Bragg diffraction/bræɡ dɪˈfrækʃn/	تشتت براغ

45.2

تطبيق شرط براغ

ينعكس براغ من مستويات متوازية مسافتها d ويحدث انعكاء بناء عندما 2d sinθ=nλ، حيث يُقاس θ من سطح المستوى (زاوية التلاصق)، وليس من العمود. الرتبة الأولى n=1 تعطي أصغر زاوية. بالنسبة لـ λ=0.154 nm وقمة عند θ=20°، تكون d=0.154/(2 sin20°)≈0.225 nm. إذا كان 2d<λ فلا توجد رتبة؛ يجب أن يبقى الجيب عند أو أقل من 1.

45.3

قراءة ثابت الشبكة

في بلورة مكعبة، مسافة المستوى (hkl) هي d=a/sqrt(h²+k²+l²) مع ثابت شبكة a؛ تعطي المستويات (110) قيمة a/√2. لذلك يقيس زاوية براغ المقاسة ثابت الشبكة. الاستبعاد المنهجي الناتج عن الأساس (على سبيل المثال، الشبكات المركزية الجسم التي تفقد h+k+l فردي) تحمل معلومات بنية تتجاوز صيغة المسافة.

45.4

ملء بحر الإلكترونات

نموذج الإلكترون الحر يعبئ N إلكترونات توصيل في حالات تصل إلى متجه موجة فيرمي k_F=(3π²n)^(1/3) لكثافة عددية n، مما يعطي E_F=$\hbar$²k_F²/(2m). لـ n=8.5×10²⁸ /m³، k_F≈1.36×10¹⁰ /m، E_F≈7.05 eV و T_F=E_F/k_B≈8.2×10⁴ K. بما أن T_F يفوق درجة حرارة الغرفة بكثير، فإن جزءاً فقط من الإلكترونات مثار حرارياً بحجم T/T_F.

45.5

فصل السعات الحرارية

لذلك تمتلك المعادن حدتين لسعة الحرارة منخفضة الحرارة: حد إلكتروني γT خطي في T وحد شبكي (ديباي) βT³. رسم C/T مقابل T² يعطي المقطع γ والميل β. قرب درجة حرارة الغرفة يقترب الجزء الشبكي من قيمة دولونغ-بتيت ويهيمن؛ عند درجات الحرارة المنخفضة يتغلب الحد الإلكتروني γT على الحد الشبكي βT³ المتآمر.

45.6

طريقة محلولة

يستخدم حيود براغ الزاوية ثيتا من مستوى البلورة، وليس من عمودها.

$$2d\sin\theta=n\lambda,\qquad d=\lambda/(2\sin\theta)=(0.154\,\mathrm{nm})/[2\sin(20^\circ)]=0.225\,\mathrm{nm}.$$

السعة الحرارية للمعدن عند درجات الحرارة المنخفضة لها حدود إلكترونية وشبكية منفصلة:

$$C=\gamma T+\beta T^3,\qquad C/T=\gamma+\beta T^2.$$

رسم بياني لـ C/T مقابل T² له تقاطع γ وميل β. يحدد خط مستقيم وضع هذا النموذج.

يسار: قمم براغ لـ λ = 0.154 nm و d = 0.225 nm عند 2θ = 40.0° (n = 1) و 86.4° (n = 2). يمين: C/T مقابل T² لمعدن — Bragg's law 2d sin θ = nλ; C/T = γ + βT² separates electrons from lattice

45.7

تحقق من الشروط والمصطلحات

قياس θ من العمود على المستوى بدلاً من المستوى نفسه، أو تخصيص كل سعة الحرارة منخفضة درجة الحرارة للإلكترونات. شرط الجيب والتحلل الثنائي هما المكان الذي تفشل فيه هذه الحسابات.

شرط براغ: انعكاس بناء من مستويات الشبكة عندما 2d sinθ=nλ، حيث يُقاس θ من المستوى.

طاقة فيرمي: أعلى طاقة للإلكترونات المشغولة عند درجة حرارة صفرية في نموذج الإلكترونات الحرة.