QM.2 · Weak perturbations and degenerate subspaces

يمكن أن يتزامن انزياح الطاقة من الرتبة الأولى بصفر مع تغير الحالة وازاحة من رتبة أعلى غير صفرية.

المتطلبات المسبقة: 5، 24.

• احسب ازاحات الطاقة من الرتبة الأولى للحالات غير المتحالفة كقيم متوقعة مقيّدة
• استخدم التماثل وعناصر المصفوفة لتقييم حدود الاقتران الضعيف
• قطّر الاضطراب داخل فرضية متحالفة تمامًا

ليكن H=H₀+λW، حيث λ معامل بدون أبعاد صغير وحالات eigen لـ H₀ معروفة ومقيّدة. بالنسبة لمستوى غير متحالف n، التصحيح الأول للطاقة هو λ⟨n|W|n⟩. في فضاء الموقع، هذا هو λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx لجهد ضربي، مع التكامل على المجال المسموح. قيمة الجهد عند نقطة واحدة ليست قيمة متوقعة؛ كثافة احتمال الحالة تزن المجال بأكمله. بالنسبة لحفرة لا نهائية 0<x<L، ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). الانعكاس حول مركزها يجعل ⟨x⟩=L/2، لذا فإن الجهد الإضافي الضعيف γx له إزاحة γL/2 لكل مستوى من مستويات الحفرة غير المتحالفة من الرتبة الأولى. وحدة γ هي طاقة لكل طول.

For a perturbation odd about the centre, such as γ(x−L/2), the probability density of an unperturbed well eigenstate is even, so its diagonal expectation vanishes. A centred quadratic perturbation η(x−L/2)² instead gives shift ηL²[1/12−1/(2π²n²)], which is positive for η>0 and depends on n. Parity makes the first-order integral zero only for the specified state and operator symmetry. Off-diagonal matrix elements can still change the wavefunction. Do not turn a symmetry cancellation into a claim that every energy correction vanishes or that the original state remains exact.

بالنسبة لحالة غير متحالفة، يكون المزيج الرائد من حالة أخرى غير مضطربة m متناسبًا مع λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). لذلك، تقارن شرط الصغر المفيد عناصر مصفوفة الاقتران مع انفصال المستويات المعني، وليس فقط مع صفر طاقة مطلقة عشوائي. من الرتبة الثانية، يحتوي التصحيح الطاقي على Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). بالنسبة للحالة غير المتحالفة الأدنى، تكون هذه المقامات سلبية، لذا فإن التصحيح من الرتبة الثانية غير موجب في هذا النموذج. بالقرب من التحالف، يلغي مقام صغير توسيع الحالة غير المتحالفة؛ استخدم فرضية مقترنة بدلاً من القسمة على الصفر.

إذا كان مستوى H₀ متحالفاً تمامًا، فاختر أساساً متعامداً ومتجانس الطول داخل تلك الفرضية وشكّل مصفوفة هيرميتية للاضطراب هناك. قيمه الذاتية هي ازاحات الطاقة من الرتبة الأولى، وموجهاته الذاتية تحدد التركيبات التي قطّر الانقسام الرائد. بالنسبة لفرضية بحالتين مع اضطراب ε[[2,1],[1,2]]، فإن التركيبات المتناظرة وغير المتناظرة المقيّدة لها ازاحات 3ε و ε. قراءة مدخلات قطرية مزدوجة فقط ستنبئ بشكل خاطئ بازحتين مقدارهما 2ε. مضاعف قياسي مشترك لمصفوفة الوحدة يزيح كلتا الحالتين بالتساوي ولا يفصل تحالفهما؛ يمكن أن تكون الاقترانات خارج الفرضية مهمة من الرتبة الأعلى.

تتطلب الفرضية المتحالفة قطّر المصفوفة قبل ازاحات الرتبة الأولى. افترض أن الاضطراب المقيد بحالتين هو $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$.

الإزاحات هي epsilon و3 epsilon. الحالات المصنّفة هي $(1,-1)/\sqrt2$ و$(1,1)/\sqrt2$. قراءة المدخلات القطرية فقط ستفوت الانقسام. الاقترانات بالمستويات الأخرى يجب أن تظل ضعيفة مقارنة بفجوات الطاقة الخاصة بها.

*أُقطر كتلة التدهور كاملة: القيم الذاتية تعطي الانزياحات من الرتبة الأولى

استخدم أوزان الحالات المعدلة، احتفظ بوحدات الاضطراب، وقطّر كتلة مصمتة. التلاشي من الرتبة الأولى والثبات الدقيق ادعاءان مختلفان.

إزاحة الطاقة من الرتبة الأولى: التصحيح الأولي للاضطراب الضعيف المعطى بواسطة القيمة المتوقعة للحالة غير المضطربة.

نظرية الاضطراب المتجانس: طريقة تقوم أولاً بمعاكسة مصفوفة الاضطراب داخل فرع متجانس غير مضطرب.