اضطرابات ضعيفة وفضاءات متدهورة
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| first-order energy shift/fɜːst ˈɔːdə ˈenədʒi ʃɪft/ | إزاحة الطاقة من الرتبة الأولى |
| degenerate perturbation theory/dɪˈdʒenəreɪt pətəˈbeɪʃn ˈθɪəri/ | نظرية الاضطراب المتجانس |
قرار قبل الإجابة
- يمكن أن يتواجد إزاحة طاقة من الرتبة الأولى صفرية جنبًا إلى جنب مع حالة متغيرة وإزاحة من رتبة أعلى غير صفرية.
- هدفك: احسب إزاحات الطاقة من الرتبة الأولى غير المصمتة كقيم توقع عادية (مُعدَّلة).
وزن الاضطراب باحتمالية
- ليكن H=H₀+λW، حيث λ معامل صغير لا بعدي والحالات الذاتية لـ H₀ معروفة وعادية. لمستوى غير مصمت n، التصحيح الأول للطاقة هو λ⟨n|W|n⟩. في فضاء الموضع، هذا يساوي λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx لجهد ضربي، مع التكامل على المجال المسموح.
- قيمة جهد عند نقطة واحدة ليست قيمة توقع؛ كثافة احتمال الحالة تزن المجال بأكمله. لحفرة لا نهائية 0<x<L، ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L). الانعكاس حول المركز يجعل ⟨x⟩=L/2، لذا فإن الجهد الإضافي الضعيف γx يعطي إزاحة γL/2 لكل مستوى حفر غير مصمت من الرتبة الأولى. للـγ وحدات طاقة لكل طول.
In 0<x<L, a weak perturbation γ(x−L/2) acts on an unperturbed infinite-well eigenstate. Its first-order energy shift is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The density is symmetric about L/2 while the perturbation is odd, so the integral cancels.
استخدم التماثل بعناية
- للاضطراب الفردي حول المركز، مثل γ(x−L/2)، تكون كثافة احتمال الحالة الذاتية للحفرة غير المضطربة زوجية، لذا يختفي توقعها القطري. بدلاً من ذلك، يعطي اضطرب تربيعي مركزي η(x−L/2)² إزاحة ηL²[1/12−1/(2π²n²)]، وهي موجبة عندما يكون η>0 وتعتمد على n.
- يجعل التماثل تكامل الرتبة الأولى صفراً فقط للحالة المحددة وتناظر المؤثر. عناصر المصفوفة غير القطرية لا تزال قادرة على تغيير دالة الموجة. لا تحول إلغاء التماثل إلى ادعاء بأن كل تصحيح للطاقة يتلاشى أو أن الحالة الأصلية تظل دقيقة.
A two-state degenerate block has perturbation ε[[0,1],[1,0]], ε>0. First-order shifts are:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The matrix eigenvalues are ±ε. Its vanishing diagonal does not mean vanishing splitting.
قارن الاقتران بفجوات المستويات
- للحالة غير المصمتة، مزيج الرائدة لحالة أخرى غير مضطربة m يتناسب طردياً مع λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰). لذلك تقارن شرط الصغر المفيد عناصر مصفوفة الاقتران مع انفصال مستويات ذات الصلة، وليس فقط مع صفر طاقة مطلقة تعسفي.
- من الرتبة الثانية، يحتوي التصحيح على Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰). بالنسبة لأدنى حالة غير مصمتة، جميع المقامات سالبة هنا، لذا فإن التصحيح من الرتبة الثانية غير موجب في هذا النموذج. بالقرب من تصامت، مقام صغير يهزم توسعة غير المصمت؛ استخدم فضاءً فرعيًا مرتبطًا بدلاً من القسمة على الصفر.
في حفر 2 nm لا نهائية، يعطي اضطرب γx ضعيف مع γ=0.05 eV/nm ΔE_n^(1)=γL/2=0.05 eV. بشكل منفصل، η=0.03 eV/nm² مضروباً في (x−L/2)² يعطي إزاحة الأرضية 0.03·4[1/12−1/(2π²)]=0.00392073 eV. هذه نتائج من الرتبة الأولى مشروطة باقتران ضعيف مقارنة بالفجوات. زوج مصمت مع ε[[2,1],[1,2]] و ε=0.004 eV ينقسم إلى إزاحات 0.004 و0.012 eV؛ الحالة المتماثلة تحصل على الإزاحة الأكبر.
For a 4 nm well and weak γx with γ=0.02 eV/nm, first-order shift is ____ eV.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
γ⟨x⟩=0.02·4/2=0.04 eV.
حل فضاء فرعي متدهر
- إذا كان مستوى H₀ مصمتاً تماماً، اختر أساساً متعامداً ومعدلاً ضمن هذا الفضاء وشكل مصفوفة هيرميتية للاضطراب هناك. قيمه الذاتية هي إزاحات الطاقة من الرتبة الأولى، ومتجهاته الذاتية تحدد المزيج الذي قطري الفجوة الرائدة.
- لفراza فرعي بحالتين مع اضطرب ε[[2,1],[1,2]]، المزيج المتماثل والغير متماثل المعدل له إزاحات 3ε و ε. قراءة المدخلات القطرية الثنائية فقط ستتنبأ بشكل خاطئ بإزاحتين مقدارهما 2ε. عامل قياسي شائع لمصفوفة الوحدة يزيح الحالتين بالتساوي ولا يفكك تصامتهما؛ الاقترانات خارج الفضاء الفرعي قد تكون مهمة من رتبة أعلى.
استخدم أوزان الحالات المعدلة، احتفظ بوحدات الاضطراب، وقطّر كتلة مصمتة. التلاشي من الرتبة الأولى والثبات الدقيق ادعاءان مختلفان.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
حساب إزاحات الطاقة من الرتبة الأولى غير المتجانسة كمعلمات توقع معيارية
A zero diagonal first-order expectation guarantees all higher-order energy shifts are zero.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Off-diagonal couplings can contribute at second order even when the diagonal expectation cancels.
احتفظ بالتميّزات
- إزاحة الطاقة من الرتبة الأولى — تصحيح الاضطراب الضعيف الرائد المعطى بتوقع الحالة غير المضطربة.
- نظرية الاضطراب المتدهورة — طريقة تُشخّص أولاً الاضطراب داخل فضاء متدهور غير مضطرب.
- احسب إزاحات الطاقة من الرتبة الأولى غير المتدهورة كقيم متوقعة مُعَمَّلة.
- استخدم التماثل وعناصر المصفوفة لتقييم حدود الارتباط الضعيف.
- شُخّص الاضطراب داخل فضاء متدهور تماماً.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.