تناظر التبادل، أزواج الغزل واستبعاد باولي
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| spin singlet/spɪn ˈsɪŋɡlɪt/ | حالة مفردة الدوران |
| Slater determinant/ˈsleɪtə dɪˈtɜːmɪnənt/ | محدد سلاتر |
قرار قبل الإجابة
- يمكن لإلكترونين مشاركة مدار مكاني واحد إذا كان حالتهما المكانية-الدوارة الكاملة تمتلك التناظر المضاد المطلوب.
- هدفك: بناء حالات مكانية ثنائية المدارات متماثلة وغير متماثلة مُعَمَّلة.
تبادل علامات الجسيمات الكاملة
- بالنسبة للجسيمات المتطابقة، يؤدي تبديل كل إحداثي وعلامة دوارة إلى تغيير دالة الموجة الكلية للفيرميون بإشارة سالبة وترك البوزون دون تغيير. slots رياضية 1 و2 تُمثّل الحجاج، وليس جسيمات قابلة للتمييز بشكل دائم. بالنسبة لمدردين مكانيين متعاملين ومتعامدين a وb، تكون المجموعات المكانية Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2.
- يجعل التعامد هذه المجموعات مُعَمَّلة ويعطي قيم eigenvalue للتبادل ±1. إذا كان المداران متطابقين، فإن المجموعة غير المتماثلة تساوي صفراً هوياتياً ولا تكون الصيغة المتماثلة المعروضة مُعَمَّلة بشكل صحيح؛ حالة الشغل المزدوج المكانية هي ببساطة a(1)a(2). أعد التحقق من المعايرة كلما تغيرت المدارات أو تداخلاتها.
Two electrons share the same spatial orbital. Which spin state is allowed for their antisymmetric total state?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
The same-orbital spatial product is symmetric; the spin factor must be antisymmetric.
اجمع التماثل المكاني والدواري
- جسيما دوران 1/2 لهما حالة أحادية واحدة (↑↓−↓↑)/√2 ذات دوران كلي S=0؛ وهي غير متماثلة تحت التبادل. الثلاثيات الثلاثة ↑↑، (↑↓+↓↑)/√2 و↓↓ لها S=1 وهي متماثلة. تتطلب الإلكترونات حالة كلية غير متماثلة، لذا يقترن الحالة المكانية المتماثلة مع الأحادية، بينما تقترن الحالة المكانية غير المتماثلة مع الثلاثية.
- إلكترونان في نفس المدار المكاني يمكن أن يكوّنا حالة أحادية، لكنهما لا يمكن أن يكوّتا ثلاثية هناك في هذه الحالة الثنائية البسيطة للإلكترونات. يمنع مبدأ باولي شغل نفس الحالة المفردة الكاملة للجسيم، بما في ذلك الدوارة. الإلكترونات عاكسة الدوران في مدار واحد تمثل حالتين كاملتين مختلفتين؛ وصف الاستبعاد بأنه إلكترون واحد لكل مدار يتجاهل هذا التمييز.
Two spinless identical bosons can use two spatial orbitals without an energy restriction. Occupation patterns number:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Allowed patterns are (2,0), (1,1) and (0,2); particle labels do not create separate versions of (1,1).
عد الحالات الكاملة
- بالنسبة لمدردين مكانيين a,b وحالتين دوريتين لكل منهما، توجد أربع حالات مفردة كاملة للجسيم. elektronان متطابقان لهما choose(4,2)=6 أنماط شغل: أحاديتان شغل مزدوج، أحادية مدار مختلف، وثلاث ثلاثيات مدار مختلف. بالنسبة لثلاثة مدارات مكانية، توجد ست حالات كاملة وchoose(6,2)=15 أنماط.
- يعد العلامات المرتبة مبالغاً فيها للجسيمات المتطابقة. البوزونات الخالية من الدوارة في مدارين بدلاً من ذلك لديها ثلاث مشغولات: كلاهما في a، واحد في كل منها، كلاهما في b. تفترض هذه العدادات عدم وجود قيود طاقة إضافية والحالات المفردة المتاحة المذكورة؛ تقييد الطاقة الكلية أو إسقاط الدوران يغير Subset المسموح بها.
مع مدارين متعاملين ومتعامدين a,b، فإن حالة الإلكترونين Ψ_+χ_singlet غير متماثلة كلياً لأن (+1)(−1)=−1. Ψ_−χ_triplet مسموح به أيضاً. إذا استخدم كلا الإلكترونين a، فإن حاصل الضرب المكاني a(1)a(2) متماثل، لذا فقط عاملSpin الأحادي مسموح به. في بئر عند مواقع L/4 و3L/4، Ψ_−=−2/L يعطي كثافة 4/L² بينما Ψ_+=0؛ كل منهما مُعَمَّم فوق مجال الإحداثيين الكامل الثاني، بدلاً من تفسيره كاحتمال عند زوج واحد محدد.
Two electrons access three spatial orbitals, each with two spin states. Complete-state occupation patterns number ____.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Six complete states give choose(6,2)=15.
فسّر الكثافة المشتركة
- حالة مكانية غير متماثلة تحقق Ψ_−(x,x)=0، لذا فإن كثافة الموضع المشترك تنعدم على خط التطابق. الحالة المكانية المتماثلة قد لا تنعدم هناك. ينبع الفرق من التداخل بين السعات المبدلة، حتى لجسيمات غير متفاعلة؛ إنه ليس قوة تنافر كلاسيكية مفروزة بشكل منفصل.
- لبئر بطول L، اختر a(x)=√(2/L)sin(πx/L)، b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). عند x₁=L/4 وx₂=3L/4، فإن سعة Spatial غير المتماثلة هي −2/L وكثافتها 4/L²؛ السعة المتماثلة صفر. هذه كثافات احتمالية مشتركة لكل طولين، وليست احتمالات لا بعدية عند نقاط محددة. لا يزال التوافق الفعلي للدوارة يحدد أي حالة إلكترونية كلية تستخدم كل مجموعة مكانية.
استبدل جميع الحجاج المكانية واللفظية. لا تخلط بين الحالة المكانية غير المتناظرة والحالة الكلية غير المتناظرة، أو استخدم عامل √2 للمدارات المميزة عند وجود مدارين متطابقين.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
بناء حالات مكانية ثنائية المدار المعيارية المتناظرة والمتكافئة
An antisymmetric two-orbital spatial state must have zero amplitude when the two spatial arguments coincide.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
At x₁=x₂ the two products are equal and their difference vanishes.
احتفظ بالتميّزات
- ثنائي اللفظ (spin singlet) — حالة ثنائية اللفظ غير متناظرة بـ 1/2 مع لف كلي S=0.
- محدد سلاتر — بناء فيرميوني غير متناظر من حالات جسيم مفرد كاملة؛ تتلاشى الحالات المكررة.
- بنِ حالات مكانية ثنائية المدار متناظرة وغير متناظرة مقيّدة المعيار.
- ادمج التناظر المكاني واللفظي لإنتاج حالات إلكترونية مسموحة.
- عوّد مشغولات الحالة الكاملة وفسّر الارتباطات المستحثة بالتبادل.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.