TS.5 · Quantum occupations and limits of equipartition

يمكن لمستوى طاقة فرميوني أن يحتوي على عدة جسيمات عندما يحتوي على حالات مختلفة؛ ينطبق مبدأ الاستبعاد على كل حالة كاملة على حدة.

المتطلبات المسبقة: 20، 35، 38.

• حساب الشغلة المتوسطة لكل حالة كمية كاملة للفرميونات والبوزونات
• عد شغلات الجسيمات المتماثلة المسموحة وحدد الحد الكلاسيكي الرقيق
• قارن السعة الحرارية لنمط كلاسيكي تربيعي مع استجابة مذبذب كمي

لجسيمات غير متفاعلة في توازن تبادل حراري وجسيمي، استخدم الجهد الكيميائي μ و x=(ε−μ)/(kBT). الشغلة المتوسطة لحالة كاملة واحدة هي n_F=1/(e^x+1) للفرميونات و n_B=1/(e^x−1) للبوزونات. شغلة الفرميون في تلك الحالة صفر أو واحد؛ ومتوسطها يقع بينهما. يمكن لشغلة البوزون أن تتجاوز الواحد. المستوى ذو الانحلال g له شغلة إجمالية متوسطة تساوي g مضروبة في شغلة الحالة الواحدة عندما تشارك حالاته نفس الطاقة. احسب الدوران كجزء من الحالة الكاملة. يتطلب مقام بوزون ε>μ للتعبير النهائي المحدود العادي، مع معالجة حد الحالة الأرضية بشكل منفصل. بالنسبة للفوتونات في التوازن μ=0 لأن عدد الفوتونات لا يُحفظ؛ لا تضع μ=0 لكل غاز من الجسيمات المادية.

عد أنماط الشغلة بدلاً من تسمية الجسيمات المتماثلة. اثنان من الفرميونات المتماثلة الموزعين بين أربع حالات كاملة مختلفة لديهما choose(4,2)=6 نمط مسموح به. اثنان من البوزونات المتماثلة بين تلك الحالات لديهما choose(4+2−1,2)=10 نمط لأن كليهما قد يشارك حالة واحدة. اثنان من الجسيمات القابلة للتمييز والمُصنَّفة سيكون لديهم 4²=16 تعيينات. هذه نماذج عد مختلفة، وليست ثلاثة إجابات قابلة للتبديل لنفس المواصفة. إذا زادت السؤال انحلال الدوران، فحدد أولاً ما إذا كان العدد المذكور يحسب الحالات الكاملة أو فقط المستويات المدارية. لا يمنع حظر باولي لحالتين كاملتين متماثلتين وجود فرميونات ذات أدوار متعاكسة في نفس مدار مكاني.

عندما تكون x كبيرة وموجبة، تكون الشغلة صغيرة ويكون كل من المقامين مسيطراً عليه بواسطة e^x: n_F≈n_B≈e^(−x)، وهو حد الرقيقة ماكسويل-بولتزمان. عند x=ln4 تكون المتوسطات 1/5 للفرميونات، 1/3 للبوزون و 1/4 في التقريب الكلاسيكي؛ والفارق لا يزال كبيراً. عدد الجسيمات الإجمالي الكبير وحده لا يبرر الإحصاء الكلاسيكي: الكثافة والحرارة والحالات المتاحة تحكم الشغلة. بالنسبة للفرميونات عند درجة حرارة منخفضة، تصبح الحالات أقل من μ مشغولة تقريباً وتلك الأعلى منها فارغة تقريباً. عند ε=μ يكون لفرميون وسط one half؛ وإدراج هذه القيمة في صيغة بوزون العادية ستنتج مقاماً متفجر وتتطلب معالجة حدود مختلفة.

يخصص التقسيم المتساوي الكلاسيكي kBT/2 من الطاقة المتوسطة لكل حد تربيعي مستقل في هاميلتونيان متوازن. الغاز المثالي أحادي الذرة لديه ثلاث حدود انتقالية، مما يعطي U=3NkBT/2 و C_V=3NkB/2. يوجد مذبذب تناغمي كلاسيكي أحادي الأبعاد يحتوي على حدود حركية وكهربائية، مما يعطي متوسط kBT و C=kB. بالنسبة لمذبذب كمي بمسافة ثابتة ε=$\hbar$ω، فإن الطاقة الحرارية فوق نقطة الصفر المستقلة عن درجة الحرارة هي ε/(e^x−1)، حيث الآن x=ε/(kBT)، و C/kB=x²e^x/(e^x−1)². عند درجات الحرارة العالية يقترب من القيمة الكلاسيكية؛ وعند الدرجات المنخفضة تتجمد الإثارة ويصبح C→0. طاقة نقطة الصفر ε/2 تحرك U ولكن ليس C. مساهمات الدوران/الاهتزاز الجزيئية تتطلب أيضاً التحقق من مقاييس طاقتها قبل تعيين الحدود التربيعية الكلاسيكية.

يشير رقم الشغلة إلى حالة فردية كاملة واحدة. لـ $x=(\epsilon-\mu)/(k_BT)=\ln4$،

يعطي التقريب الرقيق الكلاسيكي $e^{-x}=1/4$؛ وهو ليس دقيقاً هنا. المستوى ذو الانحلال g له شغلة إجمالية متوسطة $g\bar n$، لذا يمكن للمستوى الفرميوني أن يحتوي على المزيد أكثر من جسيم واحد بينما لا يزال كل حالة كاملة تخضع لاستبعاد باولي.

استبعد فيرميونين من حالة كاملة واحدة، وليس من مستوى طاقة متناظر بأكمله. حدد أي x يتم استخدامه؛ إن شغلات الجهد الكيميائي وصيغ إثارة المذبذب الثابتة نماذج مختلفة.

متوسط الاحتلال: المتوسط الإحصائي لعدد الجسيمات في حالة كمية كاملة واحدة أو مجموعة محددة من الحالات.

التقسيم المتساوي: قاعدة التوازن الكلاسيكية التي تخصص kBT/2 لكل حد هاملتوني تربيعي مستقل.