شغل الكم وحدود التجزئة المتساوية
مُقدَّم| English | المعنى |
|---|---|
| mean occupation/miːn ˌɒkjʊˈpeɪʃn/ | متوسط عدد الشغل |
| equipartition/ɪˌkwɪpɑːˈtɪʃn/ | تساوي توزيع الطاقة |
قرار قبل الإجابة
- يمكن لمستوى طاقة فيرمي أن يحتوي على عدة جسيمات عندما يحتوي على حالات متعددة متميزة؛ تنطبق قاعدة الاستبعاد على كل حالة كاملة.
- هدفك: احسب متوسط الشغل لكل حالة كمية كاملة للفيرميونات والبوزونات.
تعيين الشغل للحالات الكاملة
- بالنسبة للجسيمات غير المتفاعلة في توازن حراري وتبادل الجسيمات، استخدم الجهد الكيميائي μ و x=(ε−μ)/(kBT). يكون متوسط شغل الحالة الكاملة هو n_F=1/(e^x+1) للفيرميونات و n_B=1/(e^x−1) للبوزونات. يكون شغل الفيرميون لهذه الحالة صفراً أو واحداً؛ ويتراوح متوسطه بينهما. يمكن لشغل البوزون أن يتجاوز واحداً.
- مستوى التناظر g له إجمالي متوسط يساوي g مرة واحدة من شغل الحالة الواحدة عندما تشارك حالاته نفس الطاقة. احتسب اللف كجزء من الحالة الكاملة. يتطلب مقام البوزون أن يكون ε>μ للتعبير有限 العادي، مع معالجة حد الحالة الأرضية بشكل منفصل. بالنسبة للفوتونات في التوازن μ=0 لأن عدد الفوتونات لا يُحفظ؛ لا تضع μ=0 لكل غاز جسيمات مادية.
At (ε−μ)/(kBT)=ln3, the mean occupation of one fermionic state is:
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n_F=1/(3+1)=1/4; bosonic mean would be 1/(3−1)=1/2.
عد الترتيبات غير المميزة
- عد أنماط الشغل بدلاً من تسمية الجسيمات المتطابقة. اثنان من الفيرميونات المتطابقة الموزعة بين أربع حالات كاملة متميزة لهما choose(4,2)=6 نمطاً مسموحاً به. اثنان من البوزونات المتطابقة بين تلك الحالات لهما choose(4+2−1,2)=10 نمطاً لأن كليهما قد يشارك حالة واحدة. اثنان من الجسيمات المصنفة والمميزة سيكون لها 4²=16 تعيينات.
- هذه نماذج عد مختلفة، وليست ثلاث إجابات متبادلة لنفس المواصفة. إذا زودت السؤال بتناظر اللف، فقرر أولاً ما إذا كان العدد المذكور يحسب الحالات الكاملة أو مستويات المدار فقط. لا يمنع حظر باولي لحالتين كاملتين متطابقتين فيرميونات ذات لف متعاكس في مدار مكاني واحد.
Two identical fermions can occupy six distinct complete states. How many occupation patterns exist?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Select the two occupied states: choose(6,2)=15. Ordered assignments double-count identical fermions.
تحقق من التقريب المخفف
- عندما تكون x كبيرة وموجبة، يكون الشغل صغيراً ويهيمن e^x على كلا المقامين: n_F≈n_B≈e^(−x)، وهو حد التخلل لماكسويل-بولتزمان. عند x=ln4 تكون المتوسطات 1/5 للفيرميونات، 1/3 للبوزون و 1/4 في التقريب الكلاسيكي؛ ولا يزال الفرق كبيراً.
- عدد الجسيمات الكبير وحده لا يبرر الإحصاء الكلاسيكي: الكثافة والحرارة والحالات المتاحة تتحكم في الشغل. بالنسبة للفيرميونات عند درجة حرارة منخفضة، تصبح الحالات أدنى μ مشغولة تقريباً وتلك الأعلى فارغة تقريباً. عند ε=μ تكون الحالة الفيرمية ذات متوسط نصف؛ وإدراج هذه القيمة في صيغة البوزون العادية ستنتج مقاماً متباعدًا وتتطلب معالجة حدود مختلفة.
عند x=(ε−μ)/(kBT)=ln4، تكون الحالة الواحدة n_F=0.2 أو n_B=1/3. لذلك فإن مستوى تناظر خمس حالات له متوسط 1 فيرميون أو 5/3 بوزون؛ يمكن أن يتجاوز شغل المستوى الفرمي الكلي واحداً عند قيم x أخرى لأنه هناك خمس حالات متميزة. يتأثر المذبذب الكمي عند ε/(kBT)=ln2 بطاقة إثارة متوسطة ε و C/kB=2(ln2)²=0.960906، قريبة لكن مختلفة عن القيمة الكلاسيكية واحد.
At x=ln5, one bosonic state has mean occupation ____ (give an exact decimal).
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
n_B=1/(5−1)=1/4=0.25.
اختبر الأوضاع الكمومية والكلاسيكية
- تعطي التجزئة المتساوية الكلاسيكية kBT/2 من الطاقة المتوسطة لكل حد تربيعي مستقل في هاميلتونيان متوازن. يحتوي الغاز المثالي أحادي الذرة على ثلاثة حدود انتقالية، مما يعطي U=3NkBT/2 و C_V=3NkB/2. يحتوي مذبذب هارمونيك كلاسيكي أحادي الأبعاد على حدود حركية وكهربائية، مما يعطي متوسط kBT و C=kB.
- بالنسبة لمذبذب كمي بمسافة ثابتة ε=ℏω، تكون الطاقة الحرارية فوق الصفر الثابت حرارياً هي ε/(e^x−1)، حيث x=ε/(kBT) الآن، و C/kB=x²e^x/(e^x−1)². عند درجات الحرارة العالية يقترب من القيمة الكلاسيكية؛ عند درجات الحرارة المنخفضة يتجمد الإثارة وتصبح C→0. تحرك الطاقة الصفرية ε/2 U ولكن ليس C. تتطلب المساهمات الدورية/الاهتزازية الجزيئية أيضاً التحقق من مقاييس طاقتها قبل تعيين الحدود التربيعية الكلاسيكية.
استبعد فيرميونين من حالة كاملة واحدة، وليس من مستوى طاقة متناظر بأكمله. حدد أي x يتم استخدامه؛ إن شغلات الجهد الكيميائي وصيغ إثارة المذبذب الثابتة نماذج مختلفة.
أي إجابة تتناسب مع هذه الحالة؟
حساب متوسط شغل كل حالة كوانتية كاملة للفرميونات والبوزونات
A temperature-independent oscillator zero-point energy ε/2 contributes zero to its heat capacity.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Heat capacity differentiates energy with respect to temperature; a fixed additive constant has zero derivative.
احتفظ بالتميّزات
- متوسط الشغل — متوسط مجموعة عدد الجسيمات في حالة كمية كاملة واحدة أو مجموعة محددة من الحالات.
- التجزئة المتساوية — قاعدة التوازن الكلاسيكية التي تعطي kBT/2 لكل حد هاميلتونيان تربيعي مستقل.
- احسب متوسط الشغل لكل حالة كمية كاملة للفيرميونات والبوزونات.
- عدّ مشغولات الجسيمات المتطابقة المسموحة وحدد الحد الكلاسيكي الرقيق.
- قارن السعة الحرارية لنمط تربيعي كلاسيكي مع استجابة مذبذب كمي.
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.