QM.3 · Exchange symmetry, spin pairs and Pauli exclusion

يمكن لإلكترونين مشاركة مدار مكاني واحد إذا كان حالتهما المكانية-الغزلية الكاملة تمتلك عدم التناظر المطلوب.

الشروط المسبقة: 5، 36.

• بناء حالات مكانية ثنائية المدارات متماثلة وغير متماثلة مَصنَّفة
• دمج تماثل المكان والغزل لإنتاج حالات ثنائية الإلكترون المسموحة
• عد مشغولات الحالة الكاملة وأفسر الارتباطات المستحثة بالتبادل

بالنسبة للجسيمات المتطابقة، فإن تبديل كل رمز إحداثي وغزلي يغير دالة الموج الكلية للفيرميون بإشارة سالبة ويترك البوزون دون تغيير. الخانات الرياضية 1 و2 ترسل الحجاج، وليست جسيمات قابلة للتمييز بشكل دائم. بالنسبة لمدارين مكانيين متعامدين ومختلفين a و b، تكون التركيبات المكانية Ψ_±=[a(1)b(2)±b(1)a(2)]/√2. يجعل التعامد هذه التركيبات مصنّفة ويعطي قيم ذاتية للتبادل ±1. إذا كان المداران متطابقين، فإن التركيب غير المتماثل يساوي صفراً هويةً، والصيغة المتماثلة المعروضة ليست مصنّفة بشكل صحيح؛ حالة الشغل المزدوج المكانية هي ببساطة a(1)a(2). أعد التحقق من التصنيف كلما تغيرت المدارات أو تداخلاتها.

الجسيمات ذات الغزل 1/2 لها حالة مفردة غزلية واحدة (↑↓−↓↑)/√2 مع غزل كلي S=0؛ وهي غير متماثلة تحت التبادل. الثلاثيات الثلاثة ↑↑، (↑↓+↓↑)/√2 و ↓↓ لها S=1 ومتماثلة. تتطلب الإلكترونات حالة كلية غير متماثلة، لذا يقترن التماثل المكاني بالمفرد، بينما يقترن عدم التماثل المكاني بالثلاثيات. يمكن لإلكترونين في نفس المدار المكاني تشكيل المفرد، لكن لا يمكنهما تشكيل ثلاثية هناك في هذه الحالة الثنائية البسيطة للإلكترون. يمنع استبعاد باولي شغل نفس الحالة الفردية الكاملة، بما في ذلك الغزل. الإلكترونات ذات الغزل المختلف في مدار واحد تمثل حالتين كاملتين مختلفتين؛ وصف الاستبعاد بأنه إلكترون واحد لكل مدار يتجاهل هذا التمييز.

بالنسبة لمدارين مكانيين a, b وحالتين غزليتين لكل منهما، توجد أربع حالات فردية كاملة. لدى إلكترونين متطابقين نمطان شغل من اختيار(4,2)=6: مفردان بشغل مزدوج، مفرد بمدار مختلف، وثلاثيات بثلاثة مدارات مختلفة. بالنسبة لثلاثة مدارات مكانية، توجد ستة حالات كاملة ونمط من اختيار(6,2)=15. يعد حساب التعيينات المرتبة مبالغاً فيه للجسيمات المتطابقة. البوزونات بلا غزل في مدارين لديها بدلاً من ذلك ثلاث مشغولات: كلاهما في a، واحد في كل منها، كلاهما في b. تفترض هذه العدود عدم وجود قيد طاقة إضافي والحالات الفردية المتاحة المذكورة؛ تقييد الطاقة الكلية أو مسقط الغزل يغير المجموعة المسموحة.

الحالة المكانية المضادة للتماثل تحقق Ψ_−(x,x)=0، لذا فإن كثافة الموقع المشترك تنعدم على خط التطابق. لا يشترط في الحالة المكانية المتماثلة أن تنعدم هناك. ينشأ هذا الاختلاف من التداخل بين السعات المتبادلة، حتى لجسيمات غير متفاعلة؛ وليس نتيجة لقوة تنافر كلاسيكية مفروزة بشكل منفصل. بالنسبة لحفر بطول L، اختر a(x)=√(2/L)sin(πx/L)، b(x)=√(2/L)sin(2πx/L). عند x₁=L/4 و x₂=3L/4، تكون السعة المكانية المضادة للتماثل −2/L وكثافتها 4/L²؛ بينما تكون السعة المتماصرة صفراً. هذه densities احتمالية مشتركة لكل طوليين، وليست احتمالاتاً بلا أبعاد عند نقاط محددة. لا يزال التوافق الفيزيائي للدوران يحدد أي حالة إلكترونية كلية تستخدم كل تركيبة مكانية.

بالنسبة للمدارات المختلفة المتعامدة a و b، تكون الحالات المكانية المتماطرة والمضادة للتماطر:

يجب أن تكون الحالة الكلية للإلكترونين مضادة للتماثر تحت التبادل المتزامن للموقع والدوران. وبالتالي، يرتبط المكان المتماطر مع كبت الدوران (spin singlet)؛ ويرتبط المكان المضاد للتماطر مع دوران ثلاثي (triplet spin). إذا شغل كلا الإلكترونين مدار a، فإن حاصل الضرب المكاني يكون متماطراً ويُمكّن فقط كبت الدوران. لا يمكن إعادة استخدام صيغة تطبيع المدارات المختلفة ببساطة عندما يكون a = b.

*الدالة الموجية المكانية المضادة للتناظر تقترن مع اللف المغزلي الثلاثي، والمتناظرة مع اللف المغزلي المفرد

استبدل جميع الحجاج المكانية واللفظية. لا تخلط بين الحالة المكانية غير المتناظرة والحالة الكلية غير المتناظرة، أو استخدم عامل √2 للمدارات المميزة عند وجود مدارين متطابقين.

كبت الدوران (spin singlet): حالة ثنائية الدوران مضادة للتماطر بـ1/2 ذات دوران كلي S=0.

محدد سلاتر (Slater determinant): بناء فيرميوني مضاد للتماطر من حالات الجسيم الواحد الكاملة؛ مما يجعل الحالات المكررة تنعدم.