EM.5 · RC and RL transients, impedance and resonance

لا يمكن لجهد مكثف وتيار محث أن يتغيرا فوراً تحت قيادة دوائر عادية محدودة، لكن سلوكهما المستقر مختلف.

المتطلبات المسبقة: 14.

• حل شحن وتفريغ RC بشروط ابتدائية معلنة
• حل استجابة تيار RL واحسب الطاقة المخزنة
• استخدم الممانعة المعقدة والطور والرنين في الدوائر الجيبية

بالنسبة لمقاومة R على التوالي مع مكثف C ومصدر تيار مستمر V_s، ينص قانون كيرشوف للجهد على R dq/dt + q/C = V_s. عرّف V_C = q/C و τ = RC. بعد التبديل إلى مصدر ثابت، V_C(t) = V_s + (V_C(0) − V_s)exp(−t/τ). لذلك، إذا كان المكثف غير مشحون مبدئيًا، فإن V_C = V_s(1 − exp(−t/τ)) وتيار الشحن I = (V_s/R)exp(−t/τ). عند إزالة المصدر وتوصيل المقاومة عبره، V_C = V_C(0)exp(−t/τ). يكون جهد المكثف متصلًا عند نقطة التبديل إذا لم يكن هناك تيار نبضي؛ وقد يتغير تيار المقاومة فورًا.

في دائرة RL على التوالي، يعطي قانون كيرشوف L dI/dt + RI = V_s و τ = L/R. التيار بعد القيادة الثابتة هو I(t) = V_s/R + (I(0) − V_s/R)exp(−t/τ). تيار الملف متصل لجهد محدود؛ قد يتغير جهده بشكل مفاجئ عندما يغير التبديل مشتق tI/d. في الأوقات المتأخرة، يعمل ملف مثالي في دائرة تيار مستمر كاتصال بجهد صفر، بينما يكون للمكثف المثالي تيار تيار مستمر صفري. طاقات التخزين هي LI²/2 و CV_C²/2. أثناء التلاشي عبر مقاومة، تتحول الطاقة المبدئية المخزنة إلى حرارة في المقاومة بدلاً من أن تختفي عند فصل المصدر.

استخدم اتفاقية الفازور المعلنة exp(iωt). للمقاومة ممانعة R، وللملف iωL وللمكثف 1/(iωC) = −i/(ωC). لذلك، للدائرة RLC على التوالي Z = R + iX حيث X = ωL − 1/(ωC). قسّم فازور جهد المصدر على Z للحصول على التيار. مقدارته هو V_rms/sqrt(R² + X²) عند استخدام كميات الجذر التربيعي للمتوسط. يحقق طور الممانعة φ علاقة tanφ = X/R؛ يتأخر التيار عن الجهد لـ X > 0 ويتقدم عليه لـ X < 0. جمع المقادير القياسية R و ωL و 1/(ωC) يفقد معلومات الطور الشعاعي.

Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

تنتقل دائرة RC إلى جهد مصدر ثابت Vs. تعطي حفظ الشحنة وقانون كيرشوف للجهد

لـ R = 2 كيلو أوم، C = 1 ملي فاراد، Vs = 12 فولت وجهد ابتدائي صفر، يثبت الثابت الزمني الفرق المتبقي عن الحالة النهائية.

للمحور RC يكون τ=RC، بينما للمحور RL يكون τ=L/R. لا تخلط بين سعة التيار وتيار RMS، أو رنين مقاومة محرضة وتردد الاهتزاز الحر المخمد.

الثابت الزمني: مقياس الاستجابة الأسية، RC لدائرة RC وL/R لدائرة RL.

الممانعة: نسبة الفازور المعقدة للجهد إلى التيار في الحالة المستقرة الجيبية.