O · Statistical hypothesis testing

رياضيات المستوى أ من AQA 7357، القسم أوه (اختبار الفرضيات الإحصائية)، الإصدار 1.3 (أول تقييم 2018). ملاحظات تدريس أصلية.

المتطلبات المسبقة: نماذج التوزيع الثنائي والطبيعي من القسم ن.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• تدعي مصنع أن معدل العيوب هو 10%، وعينة بحجم 10 تحتوي على 3 عيب. يقول طالب إن "3 عيب يُثبت أن المعدل يتجاوز 10%." ما هي الطريقة الصحيحة لاختبار هذا الادعاء؟
• قبل القراءة، حدد الادعاء الافتراضي، والافتراض البديل، وما هي الاحتمالية التي يجب تقابلها فيها الأدلة للحكم.

الطريقة

• صغ الفرضية الصفرية H₀ والفرضية البديلة H₁ بدلالة معلمات المجتمع الإحصائي قبل فحص النتيجة. احسب الاحتمالية، تحت H₀، للحصول على نتيجة حادة أو أكثر حدة من الملاحظة — وهو احتمال الذيل.
• قارنها بالمستوى المعني المختار (مثل 5%). إذا كان احتمال الذيل ضمن المستوى، ارفض H₀؛ وإلا قل إن الأدلة غير كافية، ولا تقل أبداً أن H₀ مثبتة. الدلالة الإحصائية لا تخبرنا عن حجم التأثير العملي.
• الفرضية الصفرية: الادعاء الافتراضي حول معلمة مجتمعية، يتم اختبارها ضد الأدلة؛ الفرضية البديلة: الادعاء المقبول إذا كانت الأدلة ضد H₀ قوية بما يكفي؛ المستوى المعني: عتبة الاحتمالية المختارة لرفض الفرضية الصفرية.

التحقق من عملك

• اختر الذيل من H₁، وليس من أي ذيل يعطي رقماً صغيراً: H₁: p > 0.1 يتطلب P(X ≥ observed)، وهو ذيل علوي. الاختبارات ثنائية الذيل تضاعف الذيل عندما يكون الادعاء "مختلفاً"، وليس "أكبر".
• الفرضيات تتعلق بالمعلمة (المعدل الحقيقي للعيوب)، وليس بالعينة؛ وهي ثابتة قبل رؤية البيانات، وإلا يصبح الاختبار مكرراً.

حالة محلولة

• معلوم: Fرضية الصفرية H₀: p = 0.1، Fرضية البديلة H₁: p > 0.1، n = 10، وملاحظة 3 عيب. تحت Fرضية الصفرية H₀، X ~ توزيع ثنائي الحد (10, 0.1): P(X ≥ 3) = 1 − (0.9¹⁰ + 10 × 0.1 × 0.9⁹ + 45 × 0.01 × 0.9⁸) ≈ 1 − 0.9298 = 0.0702. عند مستوى 5%، 0.0702 > 0.05: أدلة غير كافية على أن معدل العيوب يتجاوز 10%.

مثال:

قيمة p أحادية الذيل صحيحة هي 0.03 عند مستوى 5%. صغ الاستنتاج باستخدام نفس التسلسل: قارن مع المستوى → استنتج في السياق. (الجواب: 0.03 < 0.05، لذا نرفض Fرضية الصفرية H₀: الأدلة تدعم الادعاء البديل عند مستوى 5%.)

حدود ومخاطر

• عدم رفض H₀ ليس دليلاً على صحته — قد يكون العينة صغيرة جداً للكشف عن فرق حقيقي. مستوى 5% يعني 1 في 20 ادعاءات بريئة ستتم "رفضها" صدفةً عبر اختبارات عديدة؛ الدلالة الإحصائية لا تقيس الأهمية.

تحذير:

عدم رفض فرضية الصفر يثبت أنها صحيحة. هذا الادعاء خاطئ: القياس فقط يحدد ما إذا كانت الأدلة ضد H₀ تتجاوز العتبة. الأدلة الضعيفة تترك H₀ غير مثبتة، وليست مثبتة — "أدلة غير كافية" و"مثبتة صحة" هما استنتاجان مختلفان تماماً.

المفتاح:

الاختبار الفرضي الإحصائي: صغ H₀ وH₁ بالمعاملات أولاً، احسب احتمال الذيل تحت H₀، قارنها بمستوى الدلالة المحدد مسبقاً، واستنتج في السياق — لا تدعي أبداً أن الصفر مثبت عندما تنجو.