N · Statistical distributions

رياضيات المستوى أ من AQA 7357، القسم ن (التوزيعات الإحصائية)، الإصدار 1.3 (أول تقييم 2018). ملاحظات تدريس أصلية.

المتطلبات المسبقة: الاحتمالات من القسم ميم.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• تملأ آلة زجاجات مع القليل من التشتت حول 500 مل، بينما يكون عدد العيوب المحسوب آليًا دائمًا عددًا صحيحًا. نموذج واحد يستخدم مساحات تحت منحنى أملس؛ والآخر يعد احتمالات منفصلة. أيهما يناسب أيًا؟
• قبل القراءة، اذكر ما الذي يجعل العد توزيعًا ثنائي الحد، وما الذي يحتاجه النموذج المستمر.

الطريقة

• التوزيع الثنائي يتطلب n ثابتة، وتجارب مستقلة، ونتيجتين، وp ثابتة: P(X = k) = C(n,k) pᵏ(1 − p)ⁿ⁻ᵏ، مع E(X) = np و Var(X) = np(1 − p). القيمة المتوقعة هي المتوسط الموزون بالاحتمالات.
• الكمية المستمرة تتبع منحنى كثافة: الاحتمال هو مساحة، وP(X = x) = 0 لأي قيمة دقيقة. يموّج التوزيع الطبيعي باستخدام z = (x − μ)/σ قبل قراءة احتمال الذيل. نموذج بواسون يعد الأحداث بمعدل ثابت، حيث يساوي المتوسط التباين.
• التوزيع الثنائي: عدد النجاحات في n تجربة مستقلة بنتيجتين واحتمال ثابت p؛ القيمة المتوقعة: المتوسط الموزون بالاحتمالات للمتغير العشوائي؛ التوزيع الطبيعي: النموذج المتماثل على شكل جرس للكميات المستمرة، يتم موّجه بواسطة z = (x − μ)/σ.

التحقق من عملك

• تحقق من شروط التوزيع الثنائي قبل استخدام الصيغة: أخذ العينات بدون إرجاع يجعل التجارب مرتبطة ويغير p، لذا يفشل النموذج. ليس كل عد يتبع التوزيع الثنائي.
• للمتغير المستمر، لا تسأل أبدًا عن P(X = بالضبط 130): احسب ذيلًا أو فترة. صِف الحدث قبل الحساب، وارسم المنطقة المظللة أولاً.

حالة محلولة

• معلوم: X ~ binomial(5, 0.2). P(X = 0) = 0.8⁵ = 0.32768. E(X) = np = 1 و Var(X) = np(1 − p) = 0.8. بالنسبة لكمية طبيعية بـ μ = 100، σ = 15، فإن القيمة 130 لها z = (130 − 100)/15 = 2، لذا فهي تقع انحرافان معياريان فوق المتوسط.

مثال:

بالنسبة لـ X ~ binomial(5, 0.2)، أوجد P(X = 1) بنفس التسلسل: اختر النموذج ← الصيغة ← التعويض. (الجواب: P(X = 1) = C(5,1) × 0.2 × 0.8⁴ = 5 × 0.2 × 0.4096 = 0.4096.)

حدود ومخاطر

• عزوم التوزيع الثنائي تُحسب فقط عندما تتحقق جميع الشروط الأربعة. يتطلب النموذج الطبيعي بيانات متماثلة تقريبًا؛ التصحيح الاستمرارية مهم عند تقريب توزيع منفصل بنموذج طبيعي.

تحذير:

كل عد لنجاحات له توزيع ثنائي بغض النظر عن الارتباط. هذا الادعاء غير صحيح: يتطلب النموذج تجارب مستقلة مع p ثابت — يأخذ العينات بدون إرجاع أو معدل نجاح متغير النموذج، لذا ستُظهر الصيغة دقة كاذبة.

المفتاح:

التوزيعات الإحصائية: ثنائي للعد المستقل بـ n ثابتة (E = np، Var = np(1 − p))؛ طبيعي للكميات المستمرة عبر z = (x − μ)/σ؛ الاحتمالات هي مساحات للنماذج المستمرة ومصطلحات دقيقة للمنفصلة.