J · Vectors

AQA الرياضيات مستوى A 7357، القسم J (المتجهات)، الإصدار 1.3 (أول تقييم 2018). ملاحظات تدريس أصلية.

الشروط المسبقة: الهندسة الإحداثية من القسم C وبيثاغورس.

هذه أمثلة تدريس أصلية، وليست مواد رسمية من AQA.

السؤال

• طائرة مسيرة تطير من A(1, 2) إلى B(5, 5)، لكن برنامج المهمة يطلب أيضًا الساق العائدة. أي صيغة واحدة تعطي كلًا من الإزاحة الخارجية وعكسها الدقيق؟
• قبل الاستمرار في القراءة، اذكر ما يحتاجه متجه الإزاحة oltre المسافة، وكيف differs الساق العائدة.

الطريقة

• المتجه يحمل مقدار واتجاه. متجهات الموضع تحدد نقاطًا من أصل واحد؛ الإزاحة من A إلى B هي AB = b − a، وBA = −AB يعكسها. أضف وطرح المركبات؛ الضرب في عدد قياسي يحافظ على توازي المتجه.
• الضرب القياسي a·b = a₁b₁ + a₂b₂ = |a||b| cos θ يقيس الزاوية: المتجهات العمودية يكون a·b = 0، وa·a = |a|². المقدار يأتي من فيثاغورس: |(4, 3)| = 5.
• متجه: كمية لها مقدار واتجاه؛ إزاحة: المتجه من نقطة إلى أخرى، b − a؛ الضرب القياسي: مجموع حاصل ضرب المركبات، يساوي |a||b| cos θ.

التحقق من عملك

• حافظ على ترتيب الطرح: BA = −AB، لذا فإن تبديل النهايات يعكس كل مركبة. الادعاء بالتوازي يتطلب علاقة مضاعف قياسي بين المتجهات؛ الرسم التوضيحي وحده لا يكفي للإثبات.
• لتقارب ثلاثة نقاط، يجب إثبات أن إزاحتين متوازيتان AND تشاركان في نقطة مشتركة؛ المتجهات المتوازية في مواقع مختلفة لا تثبت شيئاً عن خط واحد.

حالة محلولة

• المعطيات: a = (4, 1) و b = (1, 3). حاصل الضرب القياسي هو a·b = 4 × 1 + 1 × 3 = 7. المقدارات هي |a| = √17 و |b| = √10، لذا cos θ = 7/(√17 × √10) ≈ 0.537، مما يعطي θ ≈ 57.5°. بما أن a·b ≠ 0، فالمتجهات ليست عمودية.

مثال:

مع A(1, 2) و B(5, 5)، أوجد الإزاحة AB، ومقدارها والإزاحة العائدة، باستخدام نفس التسلسل. (الإجابة: AB = (5, 5) − (1, 2) = (4, 3)؛ |AB| = √(4² + 3²) = 5؛ BA = (−4, −3)، نفس المقدار في الاتجاه المعاكس.)

حدود ومخاطر

• المتجه يجيب عن "كم المسافة AND أي الاتجاه"؛ المسافة هي كمية قياسية فقط. الضرب القياسي يأخذ الاتجاه بعين الاعتبار: يكون أكبر ما يمكن عندما تتوافق المتجهات، صفراً عندما تكون عمودية، وسالباً عندما تتعارض.

تحذير:

AB و BA لهما نفس المركبات. هذا الادعاء خاطئ: BA = −AB يعكس كل مركبة — من B إلى A هي (−4, −3)، وليست (4, 3). يتفق المقدار فقط.

المفتاح:

المتجهات: الإزاحة = النهاية − البداية، تُعكس بالرجوع؛ المركبات تُجمع؛ المضاعفات القياسية تظل موازية؛ يعطي الضرب القياسي الزاوية، حيث العمودية تماماً عند a·b = 0.