الاستدلال للبيانات التصنيفية: كاي-تربيع

AP الإحصاء · الموضوع 8

عرض الشرائح تدريب

درس فيديو لهذا الموضوع افتح صفحة الفيديو

8.1

هل نتائجي غير متوقعة؟

المنهج

الفهم الدائم (VAR-1): بما أن التباين قد يكون عشوائياً أو غير ذلك، فإن الاستنتاجات تكون غير مؤكدة.

هدف التعلم VAR-1.J: تحديد الأسئلة المستنتجة من التباين بين الأعداد المرصودة والمتوقعة في البيانات التصنيفية. [مهارة 1.A]

VAR-1.J.1 قد يكون التباين بين ما نجده وما نتوقعه عرقيًا أو غير عرقي.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

عندما تكون البيانات عدداً موزعة عبر عدة فئات، نختبر ما إذا كانت الأعداد المرصودة تختلف عما تتنبأ به الفرضية. الأداة هي إحصاء توزيع كاي-تربيع ($\chi^2$)، الذي يجمع الفجوات المعيارية بين الأعداد المرصودة والمتوقعة:

$$\chi^2=\sum \frac{(\text{observed}-\text{expected})^2}{\text{expected}}.$$

تشير قيمة كبيرة لـ $\chi^2$ إلى أن الأعداد المرصودة بعيدة عن المتوقعة – وهو دليل ضد الادعاء. توزيع كاي-تربيع مائل لليمين ويعتمد على درجات حريته.

8.2

إعداد اختبار ملاءمة التوزيع

المنهج

الفهم الدائم (VAR-8): يمكن استخدام توزيع كاي-تربيع لنمذجة التباين.

هدف التعلم VAR-8.A: وصف توزيعات كاي-تربيع. [مهارة 3.C]

VAR-8.A.1 الأعداد المتوقعة للبيانات التصنيفية هي أعداد متوافقة مع الفرضية الصفرية. بشكل عام، العدد المتوقع هو حجم العينة مضروبًا في احتمال.

يقيس إحصاء كاي-تربيع المسافة بين الأعداد المرصودة والمتوقعة بالنسبة للأعداد المتوقعة.

توزيعات كاي-تربيع لها قيم موجبة ومائلة لليمين. ضمن عائلة منحنيات الكثافة، يصبح الانحراف أقل وضوحًا مع زيادة درجات الحرية.

هدف التعلم VAR-8.B: تحديد الفرضية الصفرية والفرضية البديلة في اختبار لتوزيع نسب في مجموعة بيانات تصنيفية. [مهارة 1.F]

VAR-8.B.1 باختبار ملاءمة كاي-تربيع، تحدد الفرضية الصفرية نسبًا صفرية لكل فئة، والفرضية البديلة هي أن أحد هذه النسب على الأقل ليس كما هو محدد في الفرضية الصفرية.

هدف التعلم VAR-8.C: تحديد طريقة الاختبار المناسبة لتوزيع نسب في مجموعة بيانات تصنيفية. [مهارة 1.E]

VAR-8.C.1 عند النظر في توزيع لنسب لمتغير تصنيفي واحد، فإن الاختبار المناسب هو اختبار كاي-تربيع للملاءمة.

هدف التعلم VAR-8.D: حساب الأعداد المتوقعة لاختبار ملاءمة كاي-تربيع. [مهارة 3.A]

VAR-8.D.1 الأعداد المتوقعة لاختبار ملاءمة كاي-تربيع هي (حجم العينة)(النسبة الصفرية).

هدف التعلم VAR-8.E: التحقق من شروط إجراء الاستدلال الإحصائي عند اختبار الملاءمة لتوزيع كاي-تربيع. [مهارة 4.C]

VAR-8.E.1 لإجراء استدلال إحصائي لاختبار ملاءمة كاي-تربيع، يجب التحقق مما يلي:
- أ. للتحقق من الاستقلال:
  - أ. يجب جمع البيانات باستخدام عينة عشوائية أو تجربة عشوائية.
  - ii. عند أخذ العينات بدون إرجاع، تأكد من أن $n \leq 10\%N$.
- b. يصبح اختبار كاي-تربيع لملاءمة التوزيع أكثر دقة مع زيادة عدد المشاهدات، لذا يجب استخدام العدادات الكبيرة (الشكل).
  - ج. التحقق محافظ للأعداد الكبيرة هو أن تكون جميع الأعداد المتوقعة أكبر من 5.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

اختبار كاي-تربيع (χ²)

اختبار الملاءمة (GOF) يتحقق مما إذا كانت متغير تصنيفي واحد يتبع توزيعاً مدعواً (مثلاً "الحبة عادلة"). الفرضيات:

$$H_0:\text{the distribution is as claimed}\qquad H_a:\text{at least one proportion differs}.$$

العدد المتوقع لكل فئة $=n\times(\text{claimed proportion})$. الشروط: عينة عشوائية، جميع الأعداد المتوقعة $\ge 5$، وشروط الـ 10%.

توزيع كاي-تربيع ومنطقة الرفض في الذيل الأيمن — توزيع كاي-تربيع مائل لليمين. عندما تكون القيمة كبيرة، تقع في الذيل الأيمن المظلل بعد القيمة الحرجة – وهناك ترفض النموذج.

مفردات تدريب

English	العربية
chi-square/kaɪ skweə/	كاي-تربيع
degrees of freedom/dɪˈɡriːz ɒv ˈfriːdəm/	درجات الحرية
goodness-of-fit (GOF)/ˈɡʊdnəs ɒv fɪt/	اختبار ملاءمة التوزيع (GOF)
Test for homogeneity/test fɔː ˈhɒməʊdʒneɪti/	اختبار التجانس
Test for independence/test fɔː ˌɪndɪˈpendəns/	اختبار الاستقلالية

8.3

تنفيذ اختبار ملاءمة التوزيع

المنهج

الفهم الدائم (VAR-8): يمكن استخدام توزيع كاي-تربيع لنمذجة التباين.

هدف التعلم VAR-8.F: حساب الإحصاء المناسب لاختبار ملاءمة كاي-تربيع. [مهارة 3.E]

VAR-8.F.1 إحصاء الاختبار لاختبار ملاءمة كاي-تربيع هو
- معادلة: $\chi^2 = \sum \dfrac{(Observed\ count - Expected\ count)^2}{Expected\ count}$، مع $degrees\ of\ freedom = number\ of\ categories - 1$.
VAR-8.F.2 يمكن أن يكون توزيع إحصاء الاختبار بافتراض صحة الفرضية الصفرية (التوزيع الصفرى) إما توزيع العشوائية، أو، عند افتراض صحة نموذج احتمالي، توزيع نظري (كاي-تربيع).

هدف التعلم VAR-8.G: تحديد قيمة $p$ لاختبار دلالة ملاءمة كاي-تربيع. [مهارة 3.E]

VAR-8.G.1 يتم إيجاد قيمة $p$ لاختبار ملاءمة كاي-تربيع لعدد معين من درجات الحرية باستخدام الجدول المناسب أو المخرجات المحسوبة بواسطة الكمبيوتر.

الفهم الدائم (DAT-3): يسمح اختبار الأهمية باتخاذ قرارات بشأن الفرضيات ضمن سياق معين.

هدف التعلم DAT-3.I: تفسير قيمة $p$ لاختبار ملاءمة كاي-تربيع. [مهارة 4.B]

DAT-3.I.1 تفسير قيمة $p$ لاختبار ملاءمة كاي-تربيع هو الاحتمال، بافتراض صحة الفرضية الصفرية ونموذج الاحتمالات، الحصول على إحصاء اختبار مساوٍ للقيمة المرصودة أو أكثر تطرفًا منه.

هدف التعلم DAT-3.J: تبرير ادعاء حول المجتمع بناءً على نتائج اختبار ملاءمة كاي-تربيع. [مهارة 4.E]

DAT-3.J.1 قرار بالرفض أو الفشل في رفض الفرضية الصفرية يعتمد على مقارنة قيمة $p$ بمستوى الدلالة $\alpha$.
DAT-3.J.2 يمكن أن تعمل نتائج اختبار ملاءمة كاي-تربيع كأساس استدلالي إحصائي لدعم الإجابة على سؤال بحثي يتعلق بالمجتمع الذي تم أخذ العينة منه.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

احسب $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$ باستخدام $df=(\text{number of categories})-1$. أوجد قيمة $p$ من توزيع كاي-تربيع (الذيل العلوي)، قارنها بـ $\alpha$، واستنتج في السياق. تشير المكون الكبير من المجموع إلى الفئة التي انضرفت بشكل أكبر.

يقارن كاي-تربيع بين العدّات الملاحظة وتلك المتوقعة تحت الفرضية الصفرية — يقارن كاي-تربيع الأعداد المرصودة بالمتوقعة تحت فرضية الصفر

مثال محلول. تم رمي حبة $60$ مرة giving counts $8,10,12,9,11,10$. إذا كانت عادلة، فإن كل عدد متوقع هو $60/6=10$، لذا

$$\chi^2=\frac{(8-10)^2}{10}+\frac{(10-10)^2}{10}+\frac{(12-10)^2}{10}+\frac{(9-10)^2}{10}+\frac{(11-10)^2}{10}+\frac{(10-10)^2}{10}=0.4+0+0.4+0.1+0.1+0=1.0,$$

مع $df=6-1=5$. اكتب كل فئة، بما في ذلك الفئتين اللتين تطابق عددها المتوقع تماماً وتضيفان $0$ – والمجموع يشمل جميع الفئات الست، و$df$ يعدّ الفئات، وليس فقط تلك التي differs. هذه القيمة $\chi^2$ صغيرة (قيمة $p$ كبيرة)، لذا لا نرفض $H_0$ – لا يوجد دليل على أن الحبة غير عادلة.

استكشف

استكشف توزيع كاي-تربيع وقيمته p

قيمة p هي المنطقة في الذيل الأيمن beyond إحصاء الاختبار الخاص بك، لذا فإن $\chi^2$ الأكثر تعني قيمة p أقل. اسحب $\chi^2$ لمشاهدة تقلص تلك المنطقة، واسحب df لرؤية تغير شكل العائلة بأكملها — مائلة بشدة لليمين عند درجات الحرية الصغيرة، وأكثر تماثلًا مع زيادة df.

8.4

الأعداد المتوقعة في الجداول ثنائية الأبعاد

المنهج

الفهم الدائم (VAR-8): يمكن استخدام توزيع كاي-تربيع لنمذجة التباين.

هدف التعلم VAR-8.H: حساب الأعداد المتوقعة لجداول ثنائية الأبعاد للبيانات التصنيفية. [مهارة 3.A]

VAR-8.H.1 يمكن حساب العدد المتوقع في خلية معينة في جدول ثنائي الأبعاد للبيانات التصنيفية باستخدام الصيغة:
- المعادلة: $expected\ count = \dfrac{(row\ total)(column\ total)}{table\ total}$.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

بالنسبة لجداول ثنائية الأبعاد، العدد المتوقع في خلية (تحت "عدم الارتباط") هو

$$E=\frac{(\text{row total})\times(\text{column total})}{\text{grand total}}.$$

هذا هو العدد الذي ستراه لو كانت متغيرات الصف والعمود غير مرتبطة.

مثال محلول. في جدول ثنائي الأبعاد، مجموع صف الخلية هو $40$، ومجموع عمودها هو $50$، والمجموع الكلي هو $200$. عددها المتوقع هو $E=\dfrac{40\times50}{200}=10$. بتكرار ذلك لكل خلية نحصل على الجدول المتوقع للمقارنة مع الجدول المرصود.

جداول بيانات تنظم العدّات التصنيفية قبل إجراء اختبار كاي-تربيع — تنظم جداول البيانات الأعداد التصنيفية قبل اختبار كاي-تربيع

8.5

التجانس أم الاستقلال؟

المنهج

الفهم الدائم (VAR-8): يمكن استخدام توزيع كاي-تربيع لنمذجة التباين.

الهدف التعليمي VAR-8.I: تحديد الفرضية الصفرية والبديلة لاختبار كاي-تربيع للتجانس أو الاستقلال. [المهارة 1.F]

VAR-8.I.1 الفرضيات المناسبة لاختبار كاي-تربيع للتجانس هي:

$H_0$: لا يوجد فرق في توزيعات متغير فئوي عبر مجتمعات أو معاملات.

$H_a$: يوجد فرق في توزيعات متغير فئوي عبر مجتمعات أو معاملات.
VAR-8.I.2 الفرضيات المناسبة لاختبار كاي-تربيع للاستقلال هي:

$H_0$: لا يوجد ارتباط بين متغيرين فئيين في مجتمع معين، أو أن المتغيرين الفئيين مستقلان.

$H_a$: متغيران فئيان في مجتمع ما مرتبطان أو متبعضان.

الهدف التعليمي VAR-8.J: تحديد طريقة اختبار مناسبة لمقارنة التوزيعات في جداول البيانات الثنائية الأبعاد للفئات. [المهارة 1.E]

VAR-8.J.1 عند مقارنة التوزيعات لتحديد ما إذا كانت النسب المئوية لكل فئة من البيانات الفئة المجمعة من مجتمعات مختلفة متساوية، فإن الاختبار المناسب هو اختبار كاي-تربيع للتجانس.
VAR-8.J.2 لتحديد ما إذا كانت متغيرات الصفوف والأعمدة في جدول ثنائي الأبعاد للبيانات الفئة قد تكون مرتبطة في المجتمع الذي تم أخذ العينة منه، فإن الاختبار المناسب هو اختبار كاي-تربيع للاستقلال.

الهدف التعليمي VAR-8.K: التحقق من شروط إجراء استنتاجات إحصائية عند اختبار توزيع كاي-تربيع للاستقلال أو التجانس. [المهارة 4.C]

VAR-8.K.1 من أجل إجراء استنتاجات إحصائية لاختبار كاي-تربيع لجداول ثنائية الأبعاد (التجانس أو الاستقلال)، يجب التحقق مما يلي:
- أ. للتحقق من الاستقلال:
  - i. لاختبار الاستقلال: يجب جمع البيانات باستخدام عينة عشوائية بسيطة.
  - ii. لاختبار التجانس: يجب جمع البيانات باستخدام عينة عشوائية طبقية أو تجربة عشوائية.
  - iii. عند取样 بدون إرجاع، تحقق من $n \leq 10\%N$.
- ب. تصبح اختبارات كاي-تربيع للاستقلال والتجانس أكثر دقة مع زيادة عدد المشاهدات، لذا يجب استخدامعدادات كبيرة (الشكل).
  - ج. التحقق محافظ للأعداد الكبيرة هو أن تكون جميع الأعداد المتوقعة أكبر من 5.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

يستخدم اختباران نفس الرياضيات $\chi^2$ لكن يجيبان عن أسئلة مختلفة:

اختبار التجانس: هل توزيعات متغير تصنيفي واحد متساوية عبر عدة populations أو مجموعات (عينات منفصلة/علاجات)؟
اختبار الاستقلال: هل متغيران تصنيفيان مرتبطان داخل population واحدة (عينة واحدة، متغيران مقاسان)؟

التصميم (عدة عينات مقابل عينة واحدة) يحدد الاسم والفرضيات المستخدمة.

8.6

تنفيذ اختبار للتجانس أو الاستقلال

المنهج

الفهم الدائم (VAR-8): يمكن استخدام توزيع كاي-تربيع لنمذجة التباين.

الهدف التعليمي VAR-8.L: حساب الإحصاء المناسب لاختبار كاي-تربيع للتجانس أو الاستقلال. [المهارة 3.E]

VAR-8.L.1 الإحصاء الاختباري المناسب لاختبار كاي-تربيع للتجانس أو الاستقلال هو إحصاء كاي-تربيع:
- المعادلة: $\chi^2 = \sum \dfrac{(Observed\ count - Expected\ count)^2}{Expected\ count}$، مع درجات حرية تساوي: $(number\ of\ rows - 1)(number\ of\ columns - 1)$.

الهدف التعليمي VAR-8.M: تحديد قيمة $p$ لاختبار كاي-تربيع للدلالة الإحصائية للاستقلال أو التجانس. [المهارة 3.E]

VAR-8.M.1 تُوجد قيمة $p$ لاختبار كاي-تربيع للاستقلال أو التجانس لعدد معين من درجات الحرية باستخدام الجدول المناسب أو التكنولوجيا.
VAR-8.M.2 لاختبار الاستقلال أو التجانس لجدول ثنائي الأبعاد، قيمة $p$ هي نسبة القيم في توزيع كاي-تربيع بدرجات حرية مناسبة التي تساوي أو تتجاوز إحصاء الاختبار.

الفهم الدائم (DAT-3): يسمح اختبار الأهمية باتخاذ قرارات بشأن الفرضيات ضمن سياق معين.

الهدف التعليمي DAT-3.K: تفسير قيمة $p$ لاختبار كاي-تربيع للتجانس أو الاستقلال. [المهارة 4.B]

DAT-3.K.1 تفسير قيمة $p$ لاختبار كاي-تربيع للتجانس أو الاستقلال هو الاحتمالية، بافتراض صحة الفرضية الصفرية ونموذج الاحتمالات، للحصول على إحصاء اختبار مساوٍ للأمر الملاحظ أو أكثر تطرفًا منه.

الهدف التعليمي DAT-3.L: تبرير ادعاء حول المجتمع بناءً على نتائج اختبار كاي-تربيع للتجانس أو الاستقلال. [المهارة 4.E]

DAT-3.L.1 قرار بالرفض أو عدم رفض الفرضية الصفرية لاختبار كاي-تربيع للتجانس أو الاستقلال يعتمد على مقارنة قيمة $p$ بمستوى الدلالة $\alpha$.
DAT-3.L.2 يمكن أن تعمل نتائج اختبار كاي-تربيع للتجانس أو الاستقلال كأساس استدلالي إحصائي لدعم إجابة سؤال بحثي حول المجتمع الذي تم sampling منه (الاستقلال) أو المجتمعات التي تم sampling منها (التجانس).

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

احسب الأعداد المتوقعة، ثم $\chi^2=\sum\dfrac{(O-E)^2}{E}$ لجميع الخلايا، مع

$$df=(\text{rows}-1)(\text{columns}-1).$$

الشروط: بيانات عشوائية، جميع الأعداد المتوقعة $\ge 5$، شروط الـ 10%. أوجد قيمة $p$، قارنها بـ $\alpha$، واستنتج في السياق – دليل على فرق بين المجموعات (التجانس) أو ارتباط (الاستقلال).

8.7

اختيار الإجراء التصنيفي الصحيح

المنهج

هذا الموضوع مخصص للتركيز على مهارة اختيار إجراء استنتاج مناسب الآن بعد أن أصبح لدى الطلاب مجموعة من الخيارات. يجب منح الطلاب فرصًا للتدريب على متى وكيف تطبيق جميع الأهداف التعليمية المتعلقة بالاستنتاج للبيانات الفئة.

المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP

حدد بناءً على التصميم: متغير صفي واحد مقابل توزيع مدعى $\Rightarrow$ ملاءمة التوزيع؛ عينة واحدة مقسمة حسب متغيرين $\Rightarrow$ استقلالية؛ عدة عينات/مجموعات تقارن $\Rightarrow$ التجانس. يمكن مقارنة نسبتين فقط باستخدام اختبار النسبتين $z$ أو اختبار كاي-تربيع، ولكن فقط لافتراض بديل ذو ذيلين، حيث يتفقان تمامًا ($\chi^2=z^2$). اختبار كاي-تربيع ذو ذيلين دائمًا، لذا لا يمكنه تقديم استنتاج موجه: إذا كان $H_a$ ذو ذيل واحد (مثلاً $p_1>p_2$)، فاستخدم اختبار $z$.

استكشف

أي اختبار كاي-تربيع هذا؟

تستخدم جميع الاختبارات الثلاثة نفس $\chi^2$ الحسابي، لذا تُكتسب الدرجات بتسمية الصحيح منها. يحدد التصميم — كم عدد العينات التي تم جمعها، وكم عدد المتغيرات التي قُست على كل وحدة.

8.7

نصائح للامتحان

استخدم $\chi^2=\sum\tfrac{(O-E)^2}{E}$ للبيانات الصفية؛ قسّم دائمًا على العدد المتوقع.
اختر الاختبار المناسب: ملاءمة التوزيع (متغير واحد)، استقلالية، أو تجانس (جدول ثنائي الأبعاد).
احسب الأعداد المتوقعة كمقدار $\tfrac{\text{row total}\times\text{column total}}{\text{grand total}}$ وتأكد من أن كل منها ≥ $\ge5$.
قيمة $\chi^2$ كبيرة (قيمة p صغيرة) تعني أن الأعداد المرصودة تختلف عن المتوقعة أكثر مما قد يحدث بالصدفة.
حدد درجات الحرية بشكل صحيح (عدد الفئات $-1$، أو $(r-1)(c-1)$).

دروس تفاعلية حول هذا الموضوع

ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.

أوراق الامتحانات السابقة

المزيد من المواضيع في AP الإحصاء