IGCSE, A-Level & AP IGCSE, A-Level & AP Sheet preview · ⁨معاينة الورقة⁩

Sampling Distributions · ⁨التوزيعات المعاينة⁩

AP Statistics · ⁨AP الإحصاء⁩ · Topic 5 · ⁨الموضوع 5⁩

View Slides · ⁨عرض الشرائح⁩ Train · ⁨تدريب⁩
Video lesson for this topic · ⁨درس فيديو لهذا الموضوع⁩ Open the video page · ⁨افتح صفحة الفيديو⁩
7:32

التوزيعات المعاينة

ألفان طالب يذهبون إلى هذه المدرسة، وبعضهم يركب الدراجات هنا. نريد معرفة النسبة المئوية. لا أحد يستطيع سؤال ألفين طالب، لذا نسأل مئة طالب عشوائياً.…

English narration · English + 中文 subtitles burned in · ⁨سرد باللغة الإنجليزية · ترجمة مدمجة بالإنجليزية + الصينية⁩

5.1

Why Two Samples Never Match: Sampling Variability · ⁨لماذا لا تتطابق عينتان أبداً: تباين العينات⁩
Syllabus · ⁨المنهج⁩
English

Enduring Understanding (VAR-1): Given that variation may be random or not, conclusions are uncertain.

Learning Objective VAR-1.G: Identify questions suggested by variation in statistics for samples collected from the same population. [Skill 1.A]

  • VAR-1.G.1 Variation in statistics for samples taken from the same population may be random or not.
العربية

الفهم الدائم (VAR-1): بما أن التباين قد يكون عشوائياً أو غير ذلك، فإن الاستنتاجات تكون غير مؤكدة.

هدف التعلم VAR-1.G: تحديد الأسئلة المقترحة من خلال التنوع الإحصائي لعينات تم جمعها من نفس المجتمع الإحصائي. [مهارة 1.A]

  • VAR-1.G.1 قد يكون التنوع في الإحصاءات للعينات المأخوذة من نفس المجتمع الإحصائي عشوائيًا أو غير عشوائي.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

A statistic 统计量 (like a sample mean $\bar{x}$ or sample proportion $\hat{p}$) is computed from a sample and varies from sample to sample – this is sampling variability 抽样变异. A parameter 参数 ($\mu$ or $p$) is the fixed truth about the population. The sampling distribution 抽样分布 is the distribution of a statistic over all possible samples of a given size – it is the bridge from one sample to inference.

العربية

الإحصاء (مثل متوسط عينة $\bar{x}$ أو نسبة عينة $\hat{p}$) يُحسب من عينة ويتفاوت من عينة لأخرى – هذا هو تباين العينات. المعامل ($\mu$ أو $p$) هو الحقيقة الثابتة الخاصة بالمجتمع. توزيع العينة هو توزيع إحصاء عبر جميع العينات الممكنة بحجم معين – وهو الجسر من عينة إلى الاستنتاج.

5.2

The Normal Curve as a Model for a Statistic · ⁨المنحنى الطبيعي كنموذج للإحصاء⁩
Syllabus · ⁨المنهج⁩
Enduring UnderstandingLearning ObjectiveEssential Knowledge

VAR-6
The normal distribution may be used to model variation.

VAR-6.A
Calculate the probability that a particular value lies in a given interval of a normal distribution. [Skill 3.A]

  • VAR-6.A.1 A continuous random variable is a variable that can take on any value within a specified domain. Every interval within the domain has a probability associated with it.
  • VAR-6.A.2 A continuous random variable with a normal distribution is commonly used to describe populations. The distribution of a normal random variable can be described by a normal, or "bell-shaped," curve.
  • VAR-6.A.3 The area under a normal curve over a given interval represents the probability that a particular value lies in that interval.
    • Illustrative examples for VAR-6.A: Continuous random variable: If one looks at a clock at a random time, the probability that the minute hand is between the 3 and the 6 is one fourth.

VAR-6.B
Determine the interval associated with a given area in a normal distribution. [Skill 3.A]

  • VAR-6.B.1 The boundaries of an interval associated with a given area in a normal distribution can be determined using $z$-scores or technology, such as a calculator, a standard normal table, or computer-generated output.
  • VAR-6.B.2 Intervals associated with a given area in a normal distribution can be determined by assigning appropriate inequalities to the boundaries of the intervals:
    • a. $P(X < x_a) = \dfrac{p}{100}$ means that the lowest $p\%$ of values lie to the left of $x_a$.
    • b. $P(x_a < X < x_b) = \dfrac{p}{100}$ means that $p\%$ of values lie between $x_a$ and $x_b$.
    • c. $P(X > x_b) = \dfrac{p}{100}$ means that the highest $p\%$ of values lie to the right of $x_b$.
    • d. To determine the most extreme $p\%$ of values requires dividing the area associated with $p\%$ into two equal areas on either extreme of the distribution: $P(X < x_a) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ and $P(X > x_b) = \dfrac{1}{2}\dfrac{p}{100}$ means that half of the $p\%$ most extreme values lie to the left of $x_a$ and half of the $p\%$ most extreme values lie to the right of $x_b$.

VAR-6.C
Determine the appropriateness of using the normal distribution to approximate probabilities for unknown distributions. [Skill 3.C]

  • VAR-6.C.1 Normal distributions are symmetrical and "bell-shaped." As a result, normal distributions can be used to approximate distributions with similar characteristics.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English
The normal distribution

For large enough samples, many sampling distributions are approximately normal. That lets us describe a statistic by a center (its mean), a spread (its standard error 标准误), and a normal shape – and then compute how likely a given sample result is.

العربية
التوزيع الطبيعي

بالنسبة لعينات كبيرة بما يكفي، تكون许多 توزيعات العينات تقريباً طبيعية. هذا يتيح لنا وصف إحصاء بواسطة مركز (متوسطه)، انتشار (خطأه المعياري)، وشكل طبيعي – ثم حساب مدى احتمالية نتيجة عينة معينة.

Explore · ⁨استكشف⁩

Use the normal curve to find a proportion · ⁨استخدم المنحنى الطبيعي لإيجاد نسبة⁩

A normal model turns a range of values into an area = a proportion. Shade a band to read off the fraction of samples falling within it (the 68-95-99.7 rule). · ⁨يحوّل النموذج العادي نطاقًا من القيم إلى مساحة = نسبة. ظلّل شريطًا لقراءة جزء العينات التي تقع ضمنه (قاعدة 68-95-99.7).⁩

5.3

The Central Limit Theorem · ⁨نظرية النهاية المركزية⁩
Syllabus · ⁨المنهج⁩
English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.H: Estimate sampling distributions using simulation. [Skill 3.C]

  • UNC-3.H.1 A sampling distribution of a statistic is the distribution of values for the statistic for all possible samples of a given size from a given population.
  • UNC-3.H.2 The central limit theorem (CLT) states that when the sample size is sufficiently large, a sampling distribution of the mean of a random variable will be approximately normally distributed.
  • UNC-3.H.3 The central limit theorem requires that the sample values are independent of each other and that $n$ is sufficiently large.
  • UNC-3.H.4 A randomization distribution is a collection of statistics generated by simulation assuming known values for the parameters. For a randomized experiment, this means repeatedly randomly reallocating/reassigning the response values to treatment groups.
  • UNC-3.H.5 The sampling distribution of a statistic can be simulated by generating repeated random samples from a population.
العربية

الفهم الدائم (UNC-3): يتيح التفكير الاحتمالي لنا توقع الأنماط في البيانات.

هدف التعلم UNC-3.H: تقدير التوزيعات المعاينة باستخدام المحاكاة. [مهارة 3.C]

  • UNC-3.H.1 التوزيع المعايني للإحصائية هو توزيع قيم الإحصائية لجميع العينات الممكنة بحجم معين من مجتمع إحصائي محدد.
  • UNC-3.H.2 تنص نظرية الحد المركزي (CLT) على أنه عندما يكون حجم العينة كبيرًا بما يكفي، سيكون التوزيع المعايني لمتوسط متغير عشوائي مقاربًا للتوزيع الطبيعي.
  • UNC-3.H.3 تتطلب نظرية الحد المركزي أن تكون قيم العينة مستقلة عن بعضها البعض وأن $n$ يكون كبيرًا بما يكفي.
  • UNC-3.H.4 التوزيع العشوائي هو مجموعة من الإحصائيات يتم إنشاؤها عبر المحاكاة بافتراض قيم معروفة للمعلمات. بالنسبة للتجربة العشوائية، يعني هذا إعادة تخصيص/إعادة تعيين قيم الاستجابة بشكل عشوائي متكرر إلى مجموعات المعاملة.
  • UNC-3.H.5 يمكن محاكاة التوزيع المعايني لإحصائية عن طريق تول عينات عشوائية متعددة من المجتمع الإحصائي.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English
The Central Limit Theorem

The Central Limit Theorem 中心极限定理 (CLT): for a sample mean, if the sample size $n$ is large enough (a common rule is $n\ge 30$), the sampling distribution of $\bar{x}$ is approximately normal, regardless of the population's shape. The larger $n$, the more normal and the tighter the distribution.

العربية
المبرهنة المركزية للحدود

نظرية النهاية المركزية (CLT): بالنسبة لمتوسط عينة، إذا كان حجم العينة $n$ كبيراً بما يكفي (قاعدة شائعة هي $n\ge 30$)، فإن توزيع العينة لـ $\bar{x}$ يكون تقريباً طبيعياً، بغض النظر عن شكل المجتمع. كلما كان $n$ أكبر، كان التوزيع أكثر طبيعية وأضيق.

متوسط العينة يكون تقريباً طبيعياً بغض النظر عن شكل المجتمع
متوسط العينة شبه طبيعي بغض النظر عن شكل المجتمع
Explore · ⁨استكشف⁩

Watch a sampling distribution turn normal · ⁨شاهد تحويل توزيع العينات إلى طبيعي⁩

The Central Limit Theorem: for a large enough sample, the distribution of the sample mean is approximately normal — whatever the shape of the population. · ⁨نظرية النهاية المركزية: لعينة كبيرة بما يكفي، يكون توزيع متوسط العينة تقريباً طبيعياً — بغض النظر عن شكل المجتمع.⁩

Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩
English العربية
statistic/stəˈtɪstɪk/ إحصاء
sampling variability/ˈsæmplɪŋ ˌveərɪəˈbɪlɪti/ تباين العينات
parameter/pəˈræmɪtə/ معامل
sampling distribution/ˈsæmplɪŋ ˌdɪstrɪˈbjuːʃn/ توزيع العينة
standard error/ˈstændəd ˈerə/ الخطأ المعياري
5.4

Good Guesses and Bad Guesses: Bias · ⁨تخمين جيد وتخمين سيء: التحيز⁩
Syllabus · ⁨المنهج⁩
English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.I: Explain why an estimator is or is not unbiased. [Skill 4.B]

  • UNC-3.I.1 When estimating a population parameter, an estimator is unbiased if, on average, the value of the estimator is equal to the population parameter.

Learning Objective UNC-3.J: Calculate estimates for a population parameter. [Skill 3.B]

  • UNC-3.J.1 When estimating a population parameter, an estimator exhibits variability that can be modeled using probability.
  • UNC-3.J.2 A sample statistic is a point estimator of the corresponding population parameter.
العربية

الفهم الدائم (UNC-3): يتيح التفكير الاحتمالي لنا توقع الأنماط في البيانات.

هدف التعلم UNC-3.I: شرح سبب كون المُقدِّر متحيزًا أو غير متحيز. [مهارة 4.B]

  • UNC-3.I.1 عند تقدير معلمة مجتمعية، يكون المُقدِّر غير متحيز إذا كان، في المتوسط، مساويًا لقيمة المعلمة المجتمعية.

هدف التعلم UNC-3.J: حساب تقديرات لمعلمة مجتمعية. [مهارة 3.B]

  • UNC-3.J.1 عند تقدير معلمة مجتمعية، يُظهر المُقدِّر تباينًا يمكن نمذجته باستخدام الاحتمالات.
  • UNC-3.J.2 إحصاء العينة هو مُقدِّر نقطة للمعلمة المجتمعية المقابلة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

A statistic is unbiased 无偏 if the mean of its sampling distribution equals the parameter – it is correct on average. Bias is about the center being off; variability is about the spread. A good estimator is both unbiased (centered right) and low-variability (precise); larger samples reduce variability but do not fix bias from bad sampling.

العربية

يكون الإحصاء غير منحاز إذا كان متوسط توزيع عينته يساوي المعامل – فهو صحيح في المتوسط. يتعلق التحيز بمركز خاطئ؛ بينما يتعلق التفاوت بالانتشار. التقدير الجيد هو غير منحاز (مركزه صحيح) ومتفاوت منخفض (دقيق)؛ تقلل العينات الأكبر التباين لكنها لا تصلح التحيز الناتج عن أخذ عينات سيئة.

أربع توزيعات للعينة تتقاطع فيها الانحياز مع التباين، مقابل القيمة الحقيقية للمعامل
الانحياز والتباين عيوب منفصلة. المقدر الوحيد في أعلى اليسار هو الذي يكون مركزاً حول $\theta$ وضيقاً؛ أما المقدر في أسفل اليسار فهو دقيق لكنه خاطئ باستمرار، ولن يحل أي قدر من البيانات الإضافية هذه المشكلة.
5.5

The Sampling Distribution of a Sample Proportion · ⁨التوزيع العيني لنسبة العينة⁩
Syllabus · ⁨المنهج⁩
English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.K: Determine parameters of a sampling distribution for sample proportions. [Skill 3.B]

  • UNC-3.K.1 For independent samples (sampling with replacement) of a categorical variable from a population with population proportion, $p$, the sampling distribution of the sample proportion, $\hat{p}$, has a mean, $\mu_{\hat{p}} = p$ and a standard deviation, $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
  • UNC-3.K.2 If sampling without replacement, the standard deviation of the sample proportion is smaller than what is given by the formula above. If the sample size is less than 10% of the population size, the difference is negligible.

Learning Objective UNC-3.L: Determine whether a sampling distribution for a sample proportion can be described as approximately normal. [Skill 3.C]

  • UNC-3.L.1 For a categorical variable, the sampling distribution of the sample proportion, $\hat{p}$, will have an approximate normal distribution, provided the sample size is large enough: $np \geq 10$ and $n(1-p) \geq 10$

Learning Objective UNC-3.M: Interpret probabilities and parameters for a sampling distribution for a sample proportion. [Skill 4.B]

  • UNC-3.M.1 Probabilities and parameters for a sampling distribution for a sample proportion should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific population.
العربية

الفهم الدائم (UNC-3): يتيح التفكير الاحتمالي لنا توقع الأنماط في البيانات.

هدف التعلم UNC-3.K: تحديد معاملات التوزيع المعاين لنسب العينات. [مهارة 3.B]

  • UNC-3.K.1 بالنسبة للعينات المستقلة (أخذ عينات مع الإرجاع) لمتغير تصنفي من مجتمع بنسبة مجتمعية $p$، يكون للتوزيع المعاين لنسبة العينة $\hat{p}$ متوسط $\mu_{\hat{p}} = p$ وانحراف قياسي $\sigma_{\hat{p}} = \sqrt{\dfrac{p(1-p)}{n}}$.
  • UNC-3.K.2 إذا كانت الأخذ بدون إرجاع، فإن الانحراف القياسي لنسبة العينة يكون أصغر مما تعطيه الصيغة أعلاه. وإذا كانت حجم العينة أقل من 10% من حجم المجتمع، فإن الفرق يكون ضئيلًا.

هدف التعلم UNC-3.L: تحديد ما إذا كان يمكن وصف التوزيع المعاين لنسبة العينة بأنه طبيعي تقريبًا. [مهارة 3.C]

  • UNC-3.L.1 بالنسبة لمتغير تصنفي، سيكون للتوزيع المعاين لنسبة العينة $\hat{p}$ توزيع طبيعي تقريبي، شريطة أن يكون حجم العينة كبيرًا بما يكفي: $np \geq 10$ و$n(1-p) \geq 10$

هدف التعلم UNC-3.M: تفسير الاحتمالات والمعاملات للتوزيع المعاين لنسبة العينة. [مهارة 4.B]

  • UNC-3.M.1 يجب تفسير الاحتمالات والمعاملات للتوزيع المعاين لنسبة العينة باستخدام وحدات مناسبة وفي سياق مجتمعي محدد.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For a sample proportion $\hat{p}$ from an SRS: the mean is $p$ (unbiased), and the standard deviation is

$$\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$
This spread has two names: it is the standard deviation of the sampling distribution, and it is called the standard error once you must estimate it from the sample (replacing $p$ by $\hat p$) — which is exactly what the later inference units do. It is approximately normal when $np\ge 10$ and $n(1-p)\ge 10$ (the Large Counts condition), and the $10\%$ condition ($n\le 0.10N$) keeps the observations near-independent.

Worked example. Suppose $40\%$ of voters favor a measure ($p=0.4$) and you sample $n=100$. The standard error is $\sigma_{\hat p}=\sqrt{\dfrac{0.4(0.6)}{100}}=0.049$. The chance a sample gives $\hat{p}>0.5$ is $z=\dfrac{0.5-0.4}{0.049}=2.04$, so $P(\hat p>0.5)\approx0.02$ – a majority in the sample would be surprising.

العربية

لنسبة عينة $\hat{p}$ مأخوذة من عينة عشوائية بسيطة (SRS): المتوسط هو $p$ (غير منحاز)، والانحراف المعياري هو

$$\sigma_{\hat p}=\sqrt{\frac{p(1-p)}{n}}.$$
لهذا الانتشار اسمان: هو الانحراف المعياري للتوزيع العيني، ويطلق عليه الخطأ المعياري عندما يجب تقديره من العينة (بتعويض $p$ بـ $\hat p$) — وهو بالضبط ما تفعله وحدات الاستدلال لاحقاً. يكون تقريباً طبيعياً عندما $np\ge 10$ و$n(1-p)\ge 10$ (شرط عدد كبير)، وشروط $10\%$ ($n\le 0.10N$) تحافظ على استقلالية الملاحظات بشكل شبه تام.

مثال محلول. لنفترض أن $40\%$ من الناخبين يؤيدون مشروع قرار ($p=0.4$) وأنك تأخذ عينة بحجم $n=100$. الخطأ المعياري هو $\sigma_{\hat p}=\sqrt{\dfrac{0.4(0.6)}{100}}=0.049$. احتمال أن تعطي العينة نتيجة $\hat{p}>0.5$ هو $z=\dfrac{0.5-0.4}{0.049}=2.04$، لذا فإن $P(\hat p>0.5)\approx0.02$ — وهي أغلبية في العينة — ستكون مفاجئة.

5.6

Comparing Two Groups: Difference of Sample Proportions · ⁨مقارنة مجموعتين: فرق نسب العينات⁩
Syllabus · ⁨المنهج⁩
English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.N: Determine parameters of a sampling distribution for a difference in sample proportions. [Skill 3.B]

  • UNC-3.N.1 For a categorical variable, when randomly sampling with replacement from two independent populations with population proportions $p_1$ and $p_2$, the sampling distribution of the difference in sample proportions $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ has mean, $\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2$ and standard deviation, $\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$.
  • UNC-3.N.2 If sampling without replacement, the standard deviation of the difference in sample proportions is smaller than what is given by the formula above. If the sample sizes are less than 10% of the population sizes, the difference is negligible.

Learning Objective UNC-3.O: Determine whether a sampling distribution for a difference of sample proportions can be described as approximately normal. [Skill 3.C]

  • UNC-3.O.1 The sampling distribution of the difference in sample proportions $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ will have an approximate normal distribution provided the sample sizes are large enough: $n_1 p_1 \geq 10, n_1(1-p_1) \geq 10, n_2 p_2 \geq 10, n_2(1-p_2) \geq 10$.

Learning Objective UNC-3.P: Interpret probabilities and parameters for a sampling distribution for a difference in proportions. [Skill 4.B]

  • UNC-3.P.1 Parameters for a sampling distribution for a difference of proportions should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific populations.
العربية

الفهم الدائم (UNC-3): يتيح التفكير الاحتمالي لنا توقع الأنماط في البيانات.

هدف التعلم UNC-3.N: تحديد معاملات التوزيع المعاين لفروقات نسب العينات. [مهارة 3.B]

  • UNC-3.N.1 بالنسبة لمتغير تصنفي، عند أخذ عينات عشوائية مع الإرجاع من مجتمعين مستقلين بنسب مجتمعية $p_1$ و$p_2$، يكون للتوزيع المعاين لفارق نسب العينات $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ متوسط $\mu_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = p_1 - p_2$ وانحراف قياسي $\sigma_{\hat{p}_1 - \hat{p}_2} = \sqrt{\dfrac{p_1(1-p_1)}{n_1} + \dfrac{p_2(1-p_2)}{n_2}}$.
  • UNC-3.N.2 إذا كانت الأخذ بدون إرجاع، فإن الانحراف القياسي لفارق نسب العينات يكون أصغر مما تعطيه الصيغة أعلاه. وإذا كانت أحجام العينات أقل من 10% من أحجام المجتمعات، فإن الفرق يكون ضئيلًا.

هدف التعلم UNC-3.O: تحديد ما إذا كان يمكن وصف التوزيع المعاين لفروقات نسب العينات بأنه طبيعي تقريبًا. [مهارة 3.C]

  • UNC-3.O.1 سيكون للتوزيع المعاين لفارق نسب العينات $\hat{p}_1 - \hat{p}_2$ توزيع طبيعي تقريبي شريطة أن تكون أحجام العينات كبيرة بما يكفي: $n_1 p_1 \geq 10, n_1(1-p_1) \geq 10, n_2 p_2 \geq 10, n_2(1-p_2) \geq 10$.

هدف التعلم UNC-3.P: تفسير الاحتمالات والمعاملات للتوزيع المعاين لفروقات النسب. [مهارة 4.B]

  • UNC-3.P.1 يجب تفسير معاملات التوزيع المعاين لفروقات النسب باستخدام وحدات مناسبة وفي سياق مجتمعي محدد.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ from two independent samples: the mean is $p_1-p_2$, and because the samples are independent the variances add:

$$\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}.$$
It is approximately normal when the Large Counts condition holds in both samples.

العربية

لـ $\hat{p}_1-\hat{p}_2$ من عينتين مستقلتين: المتوسط هو $p_1-p_2$، وبسبب استقلالية العينات تتجمع التباينات:

$$\sigma_{\hat p_1-\hat p_2}=\sqrt{\frac{p_1(1-p_1)}{n_1}+\frac{p_2(1-p_2)}{n_2}}.$$
يكون تقريباً طبيعياً عندما يتحقق شرط عدد كبير في كلا العينتين.

5.7

The Sampling Distribution of a Sample Mean · ⁨التوزيع العيني لمتوسط العينة⁩
Syllabus · ⁨المنهج⁩
English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.Q: Determine parameters for a sampling distribution for sample means. [Skill 3.B]

  • UNC-3.Q.1 For a numerical variable, when random sampling with replacement from a population with mean $\mu$ and standard deviation, $\sigma$, the sampling distribution of the sample mean has mean $\mu_{\bar{x}} = \mu$ and standard deviation $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
  • UNC-3.Q.2 If sampling without replacement, the standard deviation of the sample mean is smaller than what is given by the formula above. If the sample size is less than 10% of the population size, the difference is negligible.

Learning Objective UNC-3.R: Determine whether a sampling distribution of a sample mean can be described as approximately normal. [Skill 3.C]

  • UNC-3.R.1 For a numerical variable, if the population distribution can be modeled with a normal distribution, the sampling distribution of the sample mean, $\bar{x}$, can be modeled with a normal distribution.
  • UNC-3.R.2 For a numerical variable, if the population distribution cannot be modeled with a normal distribution, the sampling distribution of the sample mean, $\bar{x}$, can be modeled approximately by a normal distribution, provided the sample size is large enough, e.g., greater than or equal to 30.

Learning Objective UNC-3.S: Interpret probabilities and parameters for a sampling distribution for a sample mean. [Skill 4.B]

  • UNC-3.S.1 Probabilities and parameters for a sampling distribution for a sample mean should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific population.
العربية

الفهم الدائم (UNC-3): يتيح التفكير الاحتمالي لنا توقع الأنماط في البيانات.

هدف التعلم UNC-3.Q: تحديد معاملات التوزيع المعاين لمتوسطات العينات. [مهارة 3.B]

  • UNC-3.Q.1 بالنسبة لمتغير عددي، عند أخذ عينات عشوائية مع الإرجاع من مجتمع بمتوسط $\mu$ وانحراف قياسي $\sigma$، يكون للتوزيع المعاين لمتوسط العينة متوسط $\mu_{\bar{x}} = \mu$ وانحراف قياسي $\sigma_{\bar{x}} = \dfrac{\sigma}{\sqrt{n}}$.
  • UNC-3.Q.2 إذا كانت الأخذ بدون إرجاع، فإن الانحراف القياسي لمتوسط العينة يكون أصغر مما تعطيه الصيغة أعلاه. وإذا كان حجم العينة أقل من 10% من حجم المجتمع، فإن الفرق يكون ضئيلًا.

هدف التعلم UNC-3.R: تحديد ما إذا كان يمكن وصف التوزيع المعاين لمتوسط العينة بأنه طبيعي تقريبًا. [مهارة 3.C]

  • UNC-3.R.1 بالنسبة لمتغير عددي، إذا كان يمكن نمذجة توزيع المجتمع بتوزيع طبيعي، فإن التوزيع المعاين لمتوسط العينة $\bar{x}$ يمكن نمذجته بتوزيع طبيعي.
  • UNC-3.R.2 بالنسبة لمتغير عددي، إذا لم يكن يمكن نمذجة توزيع المجتمع بتوزيع طبيعي، فإن التوزيع المعاين لمتوسط العينة $\bar{x}$ يمكن نمذجته تقريبًا بتوزيع طبيعي، شريطة أن يكون حجم العينة كبيرًا بما يكفي، على سبيل المثال أكبر من أو يساوي 30.

هدف التعلم UNC-3.S: تفسير الاحتمالات والمعاملات للتوزيع المعاين لمتوسط العينة. [مهارة 4.B]

  • UNC-3.S.1 يجب تفسير الاحتمالات والمعاملات للتوزيع المعاين لمتوسط العينة باستخدام وحدات مناسبة وفي سياق مجتمعي محدد.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For a sample mean $\bar{x}$ from an SRS: the mean is $\mu$ (unbiased), and the standard deviation is

$$\sigma_{\bar x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$
Its shape is normal if the population is normal, or approximately normal for large $n$ by the CLT. Note the spread shrinks like $\sqrt{n}$ – quadrupling the sample halves the standard error.

Worked example. A population has $\mu=70$ and $\sigma=12$. For samples of $n=36$, the sampling distribution of $\bar{x}$ is centered at $70$ with standard error $\dfrac{12}{\sqrt{36}}=2$. The chance a sample mean exceeds $73$ is $z=\dfrac{73-70}{2}=1.5$, so $P(\bar x>73)\approx0.067$.

العربية

للعينة المتوسطة $\bar{x}$ من عينة عشوائية بسيطة: المتوسط هو $\mu$ (غير منحاز)، والانحراف المعياري هو

$$\sigma_{\bar x}=\frac{\sigma}{\sqrt{n}}.$$
شكلها يكون طبيعياً إذا كانت المجتمع طبيعية، أو تقريباً طبيعية لـ $n$ كبيرة حسب مبرهنة الحد المركزي. لاحظ أن التشتت يتقلص مثل $\sqrt{n}$ – مضاعفة حجم العينة إلى أربعة أضعاف تقلل الخطأ المعياري لنصفه.

مثال محلول. يمتلك مجتمع $\mu=70$ و $\sigma=12$. بالنسبة لعينات بحجم $n=36$، فإن التوزيع العينوي للمتوسط $\bar{x}$ يتمركز عند $70$ مع خطأ معياري $\dfrac{12}{\sqrt{36}}=2$. احتمال أن تتجاوز العينة المتوسطة $73$ هو $z=\dfrac{73-70}{2}=1.5$، لذا $P(\bar x>73)\approx0.067$.

يتقارب التوزيع العينوي للمتوسط ويصبح أكثر طبيعية كلما كبر n
المجتمع على اليسار مشوه بشدة، ومع ذلك كل توزيع عينوي للمتوسط $\bar{x}$ يتمركز عند $\mu$. زيادة حجم $n$ تقلل الخطأ المعياري $\sigma/\sqrt{n}$، مما يجعل المنحنى أطول وأضيق – كما أنه يستقيم أيضاً: لا يزال مشوهاً بوضوح عند $n=2$، وطبيعي تماماً تقريباً (متقطع) عند $n=30$.
Vocabulary · ⁨مفردات⁩ Train · ⁨تدريب⁩
English العربية
Central Limit Theorem/ˈsentrəl ˈlɪmɪt ˈθɪərəm/ نظرية الحد المركزي
unbiased/ʌnˈbaɪəst/ غير منحاز
5.8

Comparing Two Groups: Difference of Sample Means · ⁨مقارنة مجموعتين: فرق متوسطات العينات⁩
Syllabus · ⁨المنهج⁩
English

Enduring Understanding (UNC-3): Probabilistic reasoning allows us to anticipate patterns in data.

Learning Objective UNC-3.T: Determine parameters of a sampling distribution for a difference in sample means. [Skill 3.B]

  • UNC-3.T.1 For a numerical variable, when randomly sampling with replacement from two independent populations with population means $\mu_1$ and $\mu_2$ and population standard deviations $\sigma_1$ and $\sigma_2$, the sampling distribution of the difference in sample means $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ has mean $\mu_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \mu_1 - \mu_2$ and standard deviation, $\sigma_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
  • UNC-3.T.2 If sampling without replacement, the standard deviation of the difference in sample means is smaller than what is given by the formula above. If the sample sizes are less than 10% of the population sizes, the difference is negligible.

Learning Objective UNC-3.U: Determine whether a sampling distribution of a difference in sample means can be described as approximately normal. [Skill 3.C]

  • UNC-3.U.1 The sampling distribution of the difference in sample means $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ can be modeled with a normal distribution if the two population distributions can be modeled with a normal distribution.
  • UNC-3.U.2 The sampling distribution of the difference in sample means $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ can be modeled approximately by a normal distribution if the two population distributions cannot be modeled with a normal distribution but both sample sizes are greater than or equal to 30.

Learning Objective UNC-3.V: Interpret probabilities and parameters for a sampling distribution for a difference in sample means. [Skill 4.B]

  • UNC-3.V.1 Probabilities and parameters for a sampling distribution for a difference of sample means should be interpreted using appropriate units and within the context of a specific populations.
العربية

الفهم الدائم (UNC-3): يتيح التفكير الاحتمالي لنا توقع الأنماط في البيانات.

هدف التعلم UNC-3.T: تحديد معاملات التوزيع المعاين لفروقات متوسطات العينات. [مهارة 3.B]

  • UNC-3.T.1 بالنسبة لمتغير عددي، عند أخذ عينات عشوائية مع الإرجاع من مجتمعين مستقلين بمتوسطات مجتمعية $\mu_1$ و$\mu_2$ وانحرافات قياسية مجتمعية $\sigma_1$ و$\sigma_2$، يكون للتوزيع المعاين لفارق متوسطات العينات $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ متوسط $\mu_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \mu_1 - \mu_2$ وانحراف قياسي $\sigma_{(\bar{x}_1 - \bar{x}_2)} = \sqrt{\dfrac{\sigma_1^2}{n_1} + \dfrac{\sigma_2^2}{n_2}}$.
  • UNC-3.T.2 إذا كانت الأخذ بدون إرجاع، فإن الانحراف القياسي لفارق متوسطات العينات يكون أصغر مما تعطيه الصيغة أعلاه. وإذا كانت أحجام العينات أقل من 10% من أحجام المجتمعات، فإن الفرق يكون ضئيلًا.

هدف التعلم UNC-3.U: تحديد ما إذا كان يمكن وصف التوزيع المعاين لفروقات متوسطات العينات بأنه طبيعي تقريبًا. [مهارة 3.C]

  • UNC-3.U.1 يمكن نمذجة التوزيع المعايني لفرق متوسطات العينات $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ باستخدام التوزيع الطبيعي إذا كان يمكن نمذجة توزيعي المجتمعين بالتوزيع الطبيعي.
  • UNC-3.U.2 يمكن نمذجة التوزيع المعايني لفرق متوسطات العينات $\bar{x}_1 - \bar{x}_2$ تقريبًا باستخدام التوزيع الطبيعي إذا لم يكن يمكن نمذجة توزيعي المجتمعين بالتوزيع الطبيعي ولكن كلا حجمَي العينة أكبر من أو يساويان 30.

هدف التعلم UNC-3.V: تفسير الاحتمالات والمعايير للتوزيع المعايني لفرق متوسطات العينات. [مهارة 4.B]

  • UNC-3.V.1 يجب تفسير الاحتمالات والمعايير للتوزيع المعايني لفرق متوسطات العينات باستخدام وحدات مناسبة وفي سياق مجتمعات محددة.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨المصدر: وصف دورة وامتحان College Board AP⁩

English

For $\bar{x}_1-\bar{x}_2$ from two independent samples: the mean is $\mu_1-\mu_2$, and (independent, so variances add)

$$\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}.$$
This is the foundation for two-sample inference in the next units.

العربية

بالنسبة لـ $\bar{x}_1-\bar{x}_2$ من عينتين مستقلتين: المتوسط هو $\mu_1-\mu_2$، و(بما أنهما مستقلتان، فإن التباينات تُجمع)

$$\sigma_{\bar x_1-\bar x_2}=\sqrt{\frac{\sigma_1^2}{n_1}+\frac{\sigma_2^2}{n_2}}.$$
هذا هو الأساس للاستدلال بعينتين في الوحدات التالية.

5.8

Exam tips · ⁨نصائح للامتحان⁩
English
  • A sampling distribution is the distribution of a statistic over many samples, centered on the true parameter.
  • The Central Limit Theorem: for a large enough sample the sample mean is approximately normal, even if the population is not.
  • Larger samples give less variability (a smaller standard error).
  • Check the conditions (random, independent/10%, large enough) before using a normal model.
  • Keep straight what varies — the statistic — versus the fixed parameter.
العربية
  • التوزيع العينوي هو توزيع إحصائية عبر عينات متعددة، يتمركز حول المعامل الحقيقي.
  • مبرهنة الحد المركزي: لعينة كبيرة بما يكفي، تكون العينة المتوسطة تقريباً طبيعية، حتى لو لم يكن المجتمع طبيعياً.
  • العينات الأكبر تعطي تبايناً أقل (خطأ معياري أصغر).
  • تحقق من الشروط (عشوائي، مستقل/10٪، كبير بما يكفي) قبل استخدام النموذج الطبيعي.
  • حافظ على التمييز بين ما يتغير – وهو الإحصائية – وبين المعامل الثابت.

Interactive lessons on this topic · ⁨دروس تفاعلية حول هذا الموضوع⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨ا-working عليه خطوة بخطوة، مع تمارين تحقق فوري.⁩

Past Papers · ⁨أوراق الامتحانات السابقة⁩

More topics in AP Statistics · ⁨AP الإحصاء⁩ · ⁨المزيد من المواضيع في AP Statistics · ⁨AP الإحصاء⁩⁩

Log in or create account · ⁨تسجيل الدخول أو إنشاء حساب⁩

IGCSE, A-Level & AP