积分的应用

$f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值(average value)是积分除以宽度:

Worked example. $f(x)=x^2$ 在 $[0,3]$ 上的平均值是 $\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx=\dfrac13\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^3=\dfrac13(9)=3$。

对于直线运动,积分反转求导:

当一个率被给出(流量、每天的销售)时,定积分给出累积总量,而 $\int_a^b R(t)\,dt$ 携带 $R$ 乘时间的单位。一个常见的设置:初始数量 $+\int(\text{rate in}-\text{rate out})\,dt$ 给出一个较后时刻的数量。总是在上下文里、带单位解释答案。

$y=f(x)$(顶部)和 $y=g(x)$(底部)从 $a$ 到 $b$ 之间的面积是

Worked example. 在 $y=x$ 和 $y=x^2$ 之间(在 $x=0,1$ 相交,$y=x$ 在顶部),面积是 $\displaystyle\int_0^1 (x-x^2)\,dx=\left[\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{3}\right]_0^1=\dfrac16$。

当曲线更容易描述为 $x=f(y)$ 时,改为对 $y$ 积分,用右减左:

若两条曲线相交几次,顶部和底部交换。在每个交点处拆分区域并用正确的顶部减底部积分每一块(或用 $\int|f-g|$),然后把这些块相加。

若一个立体的、垂直于 $x$ 轴的横截面(cross sections)是正方形或矩形,积分它们的面积。以边长等于两条曲线之间的距离,一个正方形横截面给出

相同的思想,不同的面积公式:对于等边三角形横截面用 $A=\tfrac{\sqrt3}{4}s^2$,而对于半圆的用 $A=\tfrac{\pi}{8}s^2$(以 $s$ 为曲线之间的距离)。代入面积公式并积分。

把一个区域绕一个轴旋转制造一个横截面是圆盘的立体。圆盘法(disc method)积分 $\pi(\text{radius})^2$:

Worked example. 把 $y=\sqrt{x}$ 从 $0$ 到 $4$ 下方的区域绕 $x$ 轴旋转给出半径 $\sqrt{x}$ 的圆盘:$V=\pi\displaystyle\int_0^4 (\sqrt{x})^2\,dx=\pi\int_0^4 x\,dx=8\pi$。

当旋转轴是一条像 $y=k$(不是一个轴)的水平或垂直线时,半径调整:$R=|f(x)-k|$。把半径设置为从曲线到那条线的距离,然后像之前一样积分 $\pi R^2$。

若区域不触及轴,旋转留下一个洞,所以横截面是垫圈(washers)(环)。垫圈法(washer method)减去内圆盘:

与圆盘一样,绕一条线 $y=k$ 或 $x=k$ 旋转移动两个半径——每个变成从它的曲线到那条线的距离。草绘区域和轴、标注 $R_{\text{outer}}$ 和 $R_{\text{inner}}$,然后积分平方之差。

$y=f(x)$ 从 $a$ 到 $b$ 的弧长(arc length)是

Worked example. 求 $y=\tfrac{2}{3}x^{3/2}$ 从 $x=0$ 到 $x=3$ 的弧长。这里 $f'(x)=x^{1/2}$,所以 $1+(f')^2=1+x$ 而

• 曲线之间的面积是 $\int(\text{top}-\text{bottom})\,dx$ ——为限找到交点并保持顶部减底部。
• 对于一个旋转体,加起面积 $\pi r^2$(或 $\pi(R^2-r^2)$)的圆盘/垫圈横截面。
• $f$ 在 $[a,b]$ 上的平均值是 $\tfrac{1}{b-a}\int_a^b f\,dx$。
• 累积变化是一个率的 $\int$:总 = 初始值 $+\int_a^b(\text{rate})\,dt$。
• 积分意味着"加起无穷多个微小的片段"——把被积函数设置为一个薄切片。