无穷数列与级数

一个无穷级数(infinite series)加起无穷多项,$\sum_{n=1}^\infty a_n$。它的值被定义为部分和(partial sums)$S_N=a_1+a_2+\cdots+a_N$ 的极限。若 $S_N$ 趋近一个有限数 $L$,级数收敛(converges)到 $L$;否则它发散(diverges)。每个收敛问题真的是一个关于部分和极限的问题。

一个几何级数(geometric series)$\sum ar^{n}$ 在项之间有一个常数比(ratio)$r$。它恰好当 $|r|<1$ 时收敛,而那时

Worked example. 求 $3+\tfrac32+\tfrac34+\tfrac38+\cdots$ 的和。这里 $a=3$ 而 $r=\tfrac12$(带 $|r|<1$),所以和是 $\dfrac{a}{1-r}=\dfrac{3}{1-\tfrac12}=6$。

若项不收缩到零,和就不能稳定:若 $\lim_{n\to\infty}a_n\neq0$,级数发散。这只是一个发散的判别法——若项确实趋于零,判别法不确定(级数仍可能发散,像调和级数)。总是先检查这个快速的判别法。

若对于一个正的、递减的、连续的 $f$ 有 $a_n=f(n)$,那么 $\sum a_n$ 和 $\int_1^\infty f(x)\,dx$ 都收敛或都发散。积分判别法(integral test)把一个级数问题变成一个反常积分问题,而它是证明下面 p-级数规则的依据。

一个 p-级数(p-series)$\sum \dfrac{1}{n^p}$ 若 $p>1$ 收敛而若 $p\le1$ 发散。特殊情况 $p=1$,$\sum\dfrac1n$,是调和级数(harmonic series)——它发散,即使它的项趋于零(一个著名的、必知的事实)。p-级数族是比较判别法的标准尺度。

把一个不熟悉的级数与一个已知的(一个 p-级数或几何级数)比较:

• 直接比较(direct comparison):若 $0\le a_n\le b_n$ 而 $\sum b_n$ 收敛,$\sum a_n$ 也收敛;若 $a_n\ge b_n\ge0$ 而 $\sum b_n$ 发散,$\sum a_n$ 也发散。
• 极限比较(limit comparison):若 $\lim\dfrac{a_n}{b_n}$ 是一个有限正数,这两个级数做相同的事。当项只是表现得像一个已知级数时这更容易。

一个交错级数(alternating series)有交换符号的项,$\sum(-1)^n b_n$。它收敛,若 $b_n$ 是正的、递减的,而 $\lim b_n=0$。这让像 $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$ 这样的级数收敛,即使没有符号的相同项(调和级数)发散。

比值判别法(ratio test)考察 $L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|$:

• $L<1$:级数绝对收敛;
• $L>1$:它发散;
• $L=1$:不确定。

它是带阶乘(factorials)或 $n$ 次幂的级数的首选判别法,而它正是你如何找到一个幂级数的收敛半径。

Worked example. 判别 $\displaystyle\sum \frac{n}{2^n}$。比是 $\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=\dfrac{n+1}{2^{n+1}}\cdot\dfrac{2^n}{n}=\dfrac{n+1}{2n}\to\dfrac12<1$,所以级数收敛。

一个级数绝对收敛(converges absolutely)若 $\sum|a_n|$ 收敛。它条件收敛(converges conditionally)若 $\sum a_n$ 收敛但 $\sum|a_n|$ 发散(经典的例子是 $\sum\dfrac{(-1)^n}{n}$)。绝对收敛是更强的性质;条件收敛依赖符号的抵消。

对于一个收敛的交错级数,在第 $N$ 个部分和停止的误差不大于第一个省略的项:

一个泰勒多项式(Taylor polynomial)用一个函数在中心 $x=a$ 处的导数近似它:

考试技能: 能够从一张导数值的表构建一个泰勒多项式并用它来估计一个函数值。

拉格朗日误差界(Lagrange error bound)界定一个泰勒多项式能离真值多远:

一个幂级数(power series)$\sum c_n(x-a)^n$ 对中心 $a$ 的一个收敛半径(radius of convergence)$R$ 之内的 $x$ 收敛。用比值判别法求 $R$。然后分别测试两个端点(比值判别法在那里不确定)以陈述完整的收敛区间(interval of convergence)——包括或排除每个端点。

Worked example. 求 $\displaystyle\sum \frac{x^n}{n}$ 的收敛半径。比值判别法给出 $\left|\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\cdot\dfrac{n}{x^n}\right|=|x|\dfrac{n}{n+1}\to|x|$,它在 $|x|<1$ 时 $<1$,所以 $R=1$。测试端点,$x=-1$ 给出收敛的交错调和级数而 $x=1$ 给出发散的调和级数,所以区间是 $[-1,1)$。

把一个泰勒多项式扩展到无穷多项给出一个泰勒(或麦克劳林)级数。记住关键的麦克劳林级数:

Worked example. 求 $e^{x^2}$ 的麦克劳林级数。在 $e^x=\sum\dfrac{x^n}{n!}$ 里用 $x^2$ 代 $x$:

因为一个幂级数能被逐项求导和积分(在它的半径之内),你能从已知的构建新级数——例如,积分 $\dfrac{1}{1-x}$ 的几何级数以得到 $-\ln(1-x)=\sum_{n\ge 1}\dfrac{x^n}{n}$ 的级数,或代入 $-x^2$ 以得到 $\dfrac{1}{1+x^2}$ 的级数。把一个函数表示为一个幂级数让你能近似那些没有初等原函数的值和积分。

考试技能: BC 级数自由回答通常要求你从一个已知的推导一个新的麦克劳林级数、求它的收敛区间,并用交错级数或拉格朗日界来估计误差——课程的顶点技能。

• 用正确的工具判别一个级数的收敛:几何($|r|<1$,和 $\tfrac{a}{1-r}$)、$n$ 次项、比值、积分、比较,或交错级数判别法。
• 一个几何无穷和只在 $|r|<1$ 时收敛;否则它发散。
• 构建一个泰勒/麦克劳林级数来近似一个函数;更多项在中心附近给出更好的贴合。
• 知道 $e^x$、$\sin x$、$\cos x$ 和 $\tfrac{1}{1-x}$ 的标准麦克劳林级数。
• 用比值判别法求收敛半径/区间,然后分别检查端点。