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你必须掌握的三种数制：

• 十进制 (decimal, base 10) — 使用数字0–9。位值是10的幂。
• 二进制 (base 2) — 使用0和1。位值是2的幂。每个字节是8个位。
• 十六进制 (base 16) — 使用0–9以及A–F代表10–15。每个十六进制数位恰好代表4个位。

转换

十进制转二进制：不断除以2并记录余数，自下而上读取。或者减去能容纳在内的最大位值（2的幂）。

示例：$558_{10}$: $558 = 512 + 32 + 8 + 4 + 2 = 2^{9} + 2^{5} + 2^{3} + 2^{2} + 2^{1}$。在12位中：0010 0010 1110。

二进制转十六进制：从右向左将位分组为半字节（4位）并逐一转换。0010 0010 1110 → 2 2 E → 22E。

十六进制转二进制：将每个十六进制数位替换为其4位模式。十六进制转十进制：将每个数位乘以其位值。22E $= 2 \times 256 + 2 \times 16 + 14 = 558$。

例题。 将十进制200转换为8位二进制，再转换为十六进制。

$200 = 128 + 64 + 8$，因此二进制是11001000。在半字节分组中，1100 1000 $= 12$ 和 $8$，即$\text{C}$ 和$8$，所以十六进制是C8。

需要多少位？

考试题目会固定寄存器宽度（8、12或16位）。用前导零填充至该宽度：$558$在12位中是0010 0010 1110，绝不能是10 0010 1110。

要找到能存储某值的最小位数，询问你需要哪些位值：

• 一个无符号整数从$0$到$2^{n} - 1$需要$n$位：$200$需要8位（最高位是$255$），$1000$需要10位（最高位是$1023$），$16$需要5位（4位最多到$15$）。
• 一个有符号补码整数从$-2^{n-1}$到$2^{n-1} - 1$需要$n$位：$-200$需要9位，因为8位最多到$-128$。
• 一个十六进制数位需要4位，一个BCD数位需要4位，一个ASCII字符需要7位（扩展ASCII为8位）。

二进制与十进制前缀

两组外观相似的前缀实则不同——十进制（10的幂）和二进制（2的幂）：

因此，一太字节（TiB）略大于一太字节（TB）。“1 TB”驱动器包含$10^{12}$字节，但以TiB显示的操作系统会显示较小的数值。

二进制加法

从右向左逐列相加，进位方式同十进制：

溢出发生在结果所需位数超过寄存器所能容纳时——最左列的进位输出即为溢出位。

例题。 将8位无符号整数$10110101$和$01101100$相加，并对结果加以评论。

$10110101 + 01101100 = 1\,00100001$。答案需要9位，无法放入8位寄存器：发生了溢出。完整答案应指出错误并说明原因，使用题目给定的字长：“溢出：真实结果($289$)大于8位寄存器能容纳的最大值($255$)，因此最高位的进位丢失，存储的结果($00100001 = 33$)是错误的。”

二进制减法

通常采用补码加法：计算$A - B$时，先求$B$的补码（按位取反后加1），然后相加，丢弃最终进位输出。

从$00011110$中减去$01100100$（无符号8位）：

• $00011110$的二进制补码：按位取反→$11100001$，加1→$11100010$。
• 加到$01100100$：结果$1\,01000110$（9位）— 丢弃首位1 → $01000110 = 70_{10}$。验算：$100 - 30 = 70$。✓

补码有符号整数

在一个$n$位的补码数中：

• 最高有效位 (MSB) 是符号位：0表示正数，1表示负数。
• 读取负数：按位取反，加1，然后变号。

因此$11100010$是负数；取反→$00011101$，加1→$00011110 = 30$，所以它是$-30$。这是一个有符号整数（不同于无符号整数）。$n$位的范围是$-2^{n-1}$到$+2^{n-1} - 1$；8位的范围是$-128$ ($10000000$) 到$+127$ ($01111111$)。

相同的位在不同约定下代表不同数值。作为无符号整数，每位都是位值，因此8位范围从$0$到$255$；作为有符号补码整数，最高位是符号位，因此同样的8位范围从$-128$到$+127$。模式$11111111$按一种方式读是$255$，按另一种方式读是$-1$——位本身不包含任何指示信息。

同一字节按无符号和有符号解读：仅靠既定解释才能区分它们 8位二进制补码：符号位将范围分为负数（$-128$至$-1$）和正数（$0$至$127$）

例题。 8位补码数$10110100$代表什么十进制值？

最高位是1，所以是负数。取反→$01001011$，加1→$01001100 = 76$，所以值为$-76$。用位值验算：$-128 + 32 + 16 + 4 = -76$。

例题。 将$-108$写为12位补码整数。

从12位中的$+108$开始：$108 = 64 + 32 + 8 + 4$，故0000 0110 1100。按位取反：1111 1001 0011。加1：1111 1001 0100。用位值验算，其中最高位值为$-2^{11} = -2048$：$-2048 + 1024 + 512 + 256 + 128 + 16 + 4 = -108$。✓

对于12位，范围是$-2048$ (1000 0000 0000) 到$+2047$ (0111 1111 1111)。询问最小和最大值的问题即指这两个模式，请牢记规则：最负的数是1后跟零；最正的数是0后跟一。

算术移位 将每一位左移或右移，但保持符号不变：右移一位相当于除以二，并将符号位复制到左侧空位，从而使负数仍为负数（1111 1001 0100右移三位得到1111 1111 0010，即$-14$：$-108 / 8 = -13.5$，且右移向下舍入）。左移则乘以二。移位属于主题4中的汇编指令集，但本题结合本处的数值运算提出。

有符号算术中的溢出发生在真实结果超出此范围时——当符号位错误翻转时可察觉（两个正数得负数，或两个负数得正数）。

反码

在补码之前，一种较旧的方案称为反码，它通过简单地对正数按位取反来表示负数——没有“加1”步骤。

• $+30 = 00011110$，因此在反码中$-30 = 11100001$（仅为反码）。
• 缺点：它有两个零——$00000000$ ($+0$) 和$11111111$ ($-0$)——这浪费了一个位模式并使算术运算变得繁琐。

补码（取反且加1）消除了负零：它只有一个零，并允许加减法共用同一电路。这就是现代计算机使用补码而非反码存储有符号整数的原因。

在BCD中，每个十进制数位都写成独立的4位模式。数$93$在BCD中是1001 0011——而非二进制93 ($01011101$)。每个半字节仅使用0–9；模式$1010$–$1111$无效。

BCD读取：0010 0111 0101 → 2, 7, 5 → 275。

用途：计算器、数字时钟及显示十进制数字的设备——每位数字驱动一个七段显示器 7-segment display。货币代码常使用BCD以避免将0.1等分数转换为二进制时的舍入误差。

“适用性”答案必须将用途与BCD的特性联系起来：每个十进制数位拥有独立的4位，因此数位可直接发送至其显示器，或逐位相加，无需转换整个数值；且如$0.10$这样的十进制小数可精确存储，而二进制小数无法做到这一点。

十六进制是书写二进制的一种紧凑方式（1个十六进制数位 = 4位）：

• 低级编程中的内存地址 — 0x7FFE。
• HTML/CSS中的颜色值 — #FF8800。
• MAC地址 — AC:DE:48:00:11:22。

十六进制不改变存储数据——它只是让二进制对人类更易读。

计算机将文本存储为数字；每个字符都有一个由字符集设定的数值码点。

ASCII

• ASCII 使用7位 — 128个码点。基本拉丁字母、数字、标点符号和控制代码。
• 扩展ASCII 使用8位——256个码点；低128位与标准ASCII一致，高128位因地区而异。

Unicode

• Unicode 是一种通用字符集，涵盖几乎所有书写系统，以及符号和表情符号。
• 常见编码方式：UTF-8（1–4字节，兼容ASCII）、UTF-16（2或4字节）、UTF-32（固定4字节）。

Unicode优于ASCII的原因

• 它能表示更多字符（所有书写系统、表情符号）；ASCII仅覆盖基础英文。
• 文件具有可移植性，不会出现代码页混淆问题，并允许在同一文档中包含多语言文本。
• 权衡：对于纯英文文本，Unicode文件大小通常更大。

当问题要求列出差异时，请以成对形式并附上数字作答：ASCII使用7位（扩展ASCII使用8位），因此有128（256）个字符；Unicode最多使用32位（UTF-8使用1至4字节），因此超过一百万个码点。ASCII仅涵盖基础英文；Unicode涵盖所有文字系统，且其前128个码点即为ASCII字符。在UTF-8编码中，一个英文字母仍占1字节，因此一个40个字母的英文文件名在ASCII和UTF-8中均为40字节，而一个中文字符占3字节。

位图 图像（也称为位映射图像）将网格中每个像素的颜色信息存储起来。文件开头包含一个文件头，记录图像的元数据——宽度、高度和颜色深度——以便软件能够正确读取后续像素数据。

• 图像分辨率：位图自身的尺寸，即像素宽×高（例如1920 × 1080）。
• 屏幕分辨率：显示器能显示的最大宽×高。若图像分辨率大于屏幕，则会被缩放以适应；低分辨率图像在高分辨率屏幕上拉伸时会显得锯齿状。
• colour depth 颜色深度 (bit depth 位深度): 每像素位数。1位 → 黑/白；8位 → 256种颜色；24位 → 16.7百万（"真彩色"）。

文件大小

除以8得字节，除以1024得KiB等。示例：一幅$3000 \times 2000$图像在24 bpp下为$3000 \times 2000 \times 24 = 1.44 \times 10^{8}$位$\approx 17.2\ \text{MiB}$。

注明所使用的单位。评分标准接受 $1\ \text{MB} = 10^{6}$ 字节（SI前缀）或 $1\ \text{MiB} = 1024 \times 1024$ 字节（二进制前缀），只要演算过程表明使用了哪一个即可；同一图像的大小分别为 $18.0\ \text{MB}$ 或 $17.2\ \text{MiB}$。如果题目给出了文件头大小，请将其加入总大小中。

视频是一系列位图图像的序列，每一张都是帧。压缩前其大小为一帧的大小 $\times$ 帧率 (每秒帧数) $\times$ 持续时间（秒）：每秒30帧 $1920 \times 1080$ 像素在24位下是 $30 \times 1920 \times 1080 \times 24 \approx 1.5 \times 10^{9}$ 位，约 $187\ \text{MB}$，对于每一秒而言。这就是为什么视频总是被压缩的原因。

调整设置

• 降低分辨率 → 文件变小，细节减少（放大后呈块状）。
• 降低颜色深度 → 文件变小，但平滑渐变会出现色彩断层。
• 提高任一参数 → 文件变大，画质更好。

矢量图形 将绘制图像的指令作为绘图列表存储——这是一个有序的绘图对象列表（几何图元：直线、曲线、多边形、圆形）。每个绘图对象具有属性，如颜色、填充、线宽和位置（坐标）。程序可根据所需分辨率对绘图列表进行渲染以显示图像。

位图与矢量图对比

矢量优势：它缩放不失真——矢量标志在任何尺寸下都保持清晰，而位图放大后会模糊。矢量劣势：它无法描述任意的像素细节（如照片）。

“论证型”答案需将选择与任务联系起来。“该标志需出现在名片和广告牌上，因此应选用矢量图形：它以绘图对象形式存储，可在任意尺寸下重新渲染并保持清晰，而位图放大后会暴露像素。” 对于照片则反之：没有形状可供描述，因此必须存储每个像素的颜色。

连续的模拟数据（声音）通过采样转换为数字数据：

• 采样率 — 每秒采样次数（Hz）。CD音质为 $44.1\ \text{kHz}$。
• 采样分辨率（位深度）— 每次采样的振幅位数。CD音质为16位。

文件大小

一段10秒立体声CD片段：$44100 \times 16 \times 10 \times 2 = 14\,112\,000$ 位 $\approx 1.68\ \text{MiB}$。

调整设置

• 提高采样率 → 捕捉更高音调，文件变大。
• 提高采样分辨率 → 振幅步长更精细，量化噪声更少，文件变大。
• 降低任一参数 → 文件变小，音质明显下降。

（采样率必须至少是你希望保留的最高频率的两倍。）

压缩 可减少文件大小，节省存储空间和传输带宽。主要有两种类型：

• 无损 — 原始数据可完全恢复（文本、程序、ZIP/PNG）。
• 有损 — 丢弃部分细节以换取更小的文件（JPEG、MP3、视频）。

何时使用哪种方法

• 无损适用于文档、源代码、医学图像等需要精确数据的场景。
• 有损适用于流媒体。实时视频流采用有损压缩，因为它必须在有限带宽下实时传输海量数据；无损压缩无法达到足够的缩减比例。原始高清视频每分钟达千兆字节级别，若不压缩画面将持续卡顿。

“论证型”答案应先指出方法，再结合情境说明理由：“采用无损压缩，因为电子表格必须精确还原；单个数值改变就会导致账目错误。” 或者：“采用有损压缩，因为照片在手机屏幕上观看时丢失的细节不可见，且较小文件上传更快、占用存储空间更少。”

无损压缩方法

• 行程编码 (RLE)：用“接下来的$n$个值为$x$”代替重复记录$x$。适合纯色区域；不适用于噪声数据。
• 字典编码 (ZIP, PNG)：用简短引用替换重复的字节序列。适合文本和代码。
• 霍夫曼编码：给常用符号分配短码，给罕见符号分配长码，使平均码长接近数据的熵。

各类文件的压缩方式如下：

• 文本文件：字典编码和霍夫曼编码将重复单词和常用字符转换为短码。文本必须保持无损，因为一个字符的改变会改变含义。
• 位图图像：RLE用于连续相同像素（图标、图表、黑白扫描）；照片使用有损JPEG，或降低颜色深度/分辨率。
• 矢量图形：绘图列表本身已很小；移除不需要的绘图对象，减少坐标小数位数，或对文件应用ZIP等无损方法。
• 音频文件：有损MP3或AAC去除人耳听不见的声音；降低采样率或分辨率也属于有损压缩；无损格式保留所有采样，但文件体积缩减较少。

*$8\times8$ 黑白网格中字母F的行程编码

有损压缩方法

• 图像 (JPEG)：丢弃肉眼难以察觉的细微细节和色彩差异。
• 音频 (MP3, AAC)：丢弃人耳敏感度较低的音调，以及被 louder 声音掩盖的微弱声音。
• 视频结合了空间压缩（单帧内，类似JPEG）与时间压缩（多数帧仅存储与前帧的差异）。

逻辑移位与算术移位；IP地址长度

逻辑移位移动位模式并用0填充空出的位置。对补码整数进行右算术移位时，符号位会被复制到新的最左侧位置。对于八位11110100（−12），逻辑右移两位得到00111101（61）；算术右移两位得到11111101（−3）。被丢弃的位将丢失；溢出和舍入可能导致移位结果无法精确等同于乘法或除法运算。

IPv4地址包含32位，通常以四个八位十进制组的形式显示。IPv6地址包含128位，通常以八个四位十六进制数字组的形式显示，之后才允许缩写。这些指的是地址的长度，而非打印地址中的字符数量。

定义题按固定的表述给分。把这些记准确,并且只写一个答案。

• 展示进位转换的计算过程：十进制转二进制按位权展开，二进制转十六进制以半字节（4位一组）为单位。
• 补码中最高有效位代表负号；取反操作是取反加1；注意当符号位错误翻转时会出现溢出。
• 区分位图（像素；文件大小 $=$ 宽 $\times$ 高 $\times$ 颜色深度）与矢量图（绘图指令；缩放不失真）。
• 声音文件大小取决于采样率 $\times$ 比特深度 $\times$ 时间——各项数值越大，音质越好但文件也越大。
• 比较无损与有损压缩并给出各自的应用场景。

常见错误

• 解释溢出时用“答案大于255”或“它有9位”。先说明题目给定的字长，再指出结果无法在该范围内表示。
• 将最高位置1其余保持不变来构造负数（符号-幅值法）。补码则是将正数的每一位取反后加1。
• 忘记将转换后的数字填充至题目要求的寄存器宽度。
• 在文件大小计算中混淆位和字节。统一以位为单位运算，最后除以8，并注明使用的是1000还是1024作为换算基数。
• 用日常语言回答“描述”类问题（如“图片变差了”）。应使用课标术语：颜色减少、色带效应、图像分辨率降低、像素变大。