Differential Equations · ⁨Phương trình vi phân⁩

AP Calculus AB · ⁨AP Giải tích AB⁩ · Topic 7 · ⁨Chủ đề 7⁩

View Slides · ⁨Xem Slides⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

Video lesson for this topic · ⁨Bài học video cho chủ đề này⁩ Open the video page · ⁨Mở trang video⁩

7.1

Modeling Situations with Differential Equations · ⁨Mô hình hóa các Tình huống bằng Phương trình vi phân⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.A: Interpret verbal statements of problems as differential equations involving a derivative expression.

FUN-7.A.1 Differential equations relate a function of an independent variable and the function's derivatives.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.A: Diễn giải các phát ngôn bằng lời của bài toán thành phương trình vi phân liên quan đến biểu thức đạo hàm.

FUN-7.A.1 Phương trình vi phân liên hệ giữa một hàm số của biến độc lập và các đạo hàm của hàm số đó.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

A differential equation 微分方程 is an equation that relates a function to its own derivatives. It describes a situation by its rate of change. For example, "the rate of change of a quantity is proportional to its size" becomes

$$\frac{dy}{dt} = ky.$$

Learning to translate a sentence about a rate into a differential equation is the first skill of this unit.

Tiếng Việt

Một phương trình vi phân là phương trình liên hệ một hàm với chính các đạo hàm của nó. Nó mô tả một tình huống thông qua tốc độ biến thiên. Ví dụ, "tốc độ biến thiên của một đại lượng tỷ lệ thuận với kích thước của nó" trở thành

$$\frac{dy}{dt} = ky.$$

Biết dịch một câu nói về tốc độ thành phương trình vi phân là kỹ năng đầu tiên của đơn vị này.

7.2

Verifying Solutions for Differential Equations · ⁨Kiểm chứng Nghiệm của Phương trình vi phân⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.B: Verify solutions to differential equations.

FUN-7.B.1 Derivatives can be used to verify that a function is a solution to a given differential equation.
FUN-7.B.2 There may be infinitely many general solutions to a differential equation.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.B: Kiểm tra nghiệm của phương trình vi phân.

FUN-7.B.1 Đạo hàm có thể được sử dụng để kiểm chứng xem một hàm số có phải là nghiệm của phương trình vi phân đã cho hay không.
FUN-7.B.2 Có thể có vô số nghiệm tổng quát của một phương trình vi phân.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

A solution 解 of a differential equation is a function that makes it true. You can verify a proposed solution by differentiating it and substituting into the equation: if both sides match, it is a solution. Note a differential equation usually has infinitely many solutions – a whole family – differing by a constant.

Tiếng Việt

Một nghiệm của phương trình vi phân là một hàm làm cho phương trình đó đúng. Bạn có thể kiểm chứng một nghiệm dự đoán bằng cách đạo hàm nó và thay vào phương trình: nếu hai vế bằng nhau, đó là nghiệm. Lưu ý rằng một phương trình vi phân thường có vô số nghiệm – một họ nghiệm – khác biệt bởi một hằng số.

7.3

Sketching Slope Fields · ⁨Vẽ Trường Vectơ (Slope Fields)⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.1 A slope field is a graphical representation of a differential equation on a finite set of points in the plane.
FUN-7.C.2 Slope fields provide information about the behavior of solutions to first-order differential equations.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.C: Ước lượng nghiệm của phương trình vi phân.

FUN-7.C.1 Trường slope là biểu diễn đồ thị của một phương trình vi phân trên một tập hợp hữu hạn các điểm trong mặt phẳng.
FUN-7.C.2 Trường slope cung cấp thông tin về hành vi của các nghiệm của phương trình vi phân bậc nhất.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Slope fields & solution curves

A slope field 斜率场 draws the differential equation as a grid of short segments: at each point $(x,y)$ the segment has slope $\dfrac{dy}{dx}$ evaluated there. To sketch one, plug several points into the right-hand side and draw a small segment with that slope at each. The picture shows the shape of the solution curves without solving.

Exam skill. A common part gives a portion of a slope field and asks you to sketch the particular solution through a given point – start at the point and follow the segments, staying tangent to them.

Tiếng Việt

Trường độ dốc & đường nghiệm

Một trường vectơ vẽ phương trình vi phân dưới dạng lưới các đoạn thẳng ngắn: tại mỗi điểm $(x,y)$, đoạn thẳng có độ dốc là $\dfrac{dy}{dx}$ được tính tại đó. Để vẽ một trường vectơ, hãy thay nhiều điểm vào vế phải và vẽ một đoạn nhỏ có độ dốc đó tại mỗi điểm. Hình ảnh cho thấy hình dạng của các đường nghiệm mà không cần giải.

Trường vectơ hiển thị dy/dx tại mỗi điểm; một đường nghiệm đi dọc theo các đoạn thẳng — Mỗi đoạn ngắn có độ dốc $\dfrac{dy}{dx}$ tại điểm đó; một đường nghiệm luồn lách qua, luôn tiếp xúc với trường vectơ.

Kỹ năng thi cử. Một phần phổ biến của bài thi đưa ra một phần của trường vectơ và yêu cầu bạn vẽ nghiệm riêng đi qua một điểm đã cho – bắt đầu từ điểm đó và đi dọc theo các đoạn thẳng, luôn giữ tiếp xúc với chúng.

Explore · ⁨Khám phá⁩

Read a differential equation as a slope field · ⁨Đọc phương trình vi phân như một trường độ dốc⁩

A slope field draws the slope $dy/dx$ at each point. A solution curve threads through, always tangent to the little segments — you can sketch it by following the flow. · ⁨Một trường độ dốc vẽ độ dốc $dy/dx$ tại mỗi điểm. Một đường cong nghiệm luồn lách vào, luôn tiếp xúc với các đoạn thẳng nhỏ — bạn có thể phác thảo nó bằng cách theo dòng chảy.⁩

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
slope field/sləʊp fiːld/	trường phương trình
separation of variables/ˌsepəˈreɪʃn ɒv ˈveərɪəblz/	tách biến
general solution/ˈdʒenərəl səˈluːʃn/	nghiệm tổng quát
initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/	điều kiện ban đầu
particular solution/pəˈtɪkjʊlə səˈluːʃn/	nghiệm riêng
domain restrictions/dəˈmeɪn rɪˈstrɪkʃnz/	hạn chế miền xác định
exponential growth and decay/ˌekspəˈnenʃl ɡrəʊθ ænd dɪˈkeɪ/	tăng trưởng và suy giảm hàm mũ

7.4

Reasoning Using Slope Fields · ⁨Suy luận using Trường Vectơ⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.C: Estimate solutions to differential equations.

FUN-7.C.3 Solutions to differential equations are functions or families of functions.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.C: Ước lượng nghiệm của phương trình vi phân.

FUN-7.C.3 Nghiệm của phương trình vi phân là các hàm số hoặc họ các hàm số.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Solutions to a differential equation are functions or families of functions. Read a slope field to reason about behavior: where the segments are flat ($\tfrac{dy}{dx}=0$) the solution is momentarily level; where they steepen the solution rises or falls faster; horizontal rows of equal slope suggest the rate depends only on $y$ (or only on $x$).

Tiếng Việt

Nghiệm của một phương trình vi phân là các hàm hoặc họ các hàm. Đọc trường vectơ để suy luận về hành vi: nơi các đoạn thẳng nằm ngang ($\tfrac{dy}{dx}=0$) thì nghiệm tạm thời phẳng; nơi chúng dốc hơn thì nghiệm tăng hoặc giảm nhanh hơn; các hàng ngang có cùng độ dốc gợi ý rằng tốc độ chỉ phụ thuộc vào $y$ (hoặc chỉ phụ thuộc vào $x$).

7.6

Finding General Solutions Using Separation of Variables · ⁨Tìm Nghiệm Tổng quát bằng Phân ly Biến số⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.D: Determine general solutions to differential equations.

FUN-7.D.1 Some differential equations can be solved by separation of variables.
FUN-7.D.2 Antidifferentiation can be used to find general solutions to differential equations.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.D: Xác định nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

FUN-7.D.1 Một số phương trình vi phân có thể giải được bằng phương pháp tách biến.
FUN-7.D.2 Nguyên hàm hóa có thể được sử dụng để tìm nghiệm tổng quát của phương trình vi phân.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

Many exam differential equations are solved by separation of variables 分离变量法. If $\dfrac{dy}{dx}$ factors into a function of $x$ times a function of $y$, move all $y$'s to one side and all $x$'s to the other, then integrate both sides:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$

Add the constant of integration once (on the $x$-side). This gives the general solution 通解.

Worked example. Solve $\dfrac{dy}{dx}=xy$ with the initial condition $y(0)=2$. Separate and integrate:

$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Rightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Rightarrow\;y=Ae^{x^2/2}.$$

Applying $y(0)=2$ gives $A=2$, so the particular solution is $y=2e^{x^2/2}$.

Tiếng Việt

Nhiều phương trình vi phân trong đề thi được giải bằng phân ly biến số. Nếu $\dfrac{dy}{dx}$ có thể nhân thành một hàm của $x$ nhân với một hàm của $y$, di chuyển tất cả $y$ sang một vế và tất cả $x$ sang vế kia, sau đó lấy tích phân hai vế:

$$\frac{dy}{dx}=g(x)h(y)\;\Longrightarrow\;\int \frac{dy}{h(y)} = \int g(x)\,dx.$$

Thêm hằng số nguyên hàm một lần (ở vế $x$). Điều này sẽ tạo ra nghiệm tổng quát.

Ví dụ minh họa. Giải $\dfrac{dy}{dx}=xy$ với điều kiện ban đầu $y(0)=2$. Tách biến và tích phân:

$$\int\frac{dy}{y}=\int x\,dx\;\Rightarrow\;\ln|y|=\frac{x^2}{2}+C\;\Rightarrow\;y=Ae^{x^2/2}.$$

Áp dụng $y(0)=2$ thu được $A=2$, nên nghiệm riêng là $y=2e^{x^2/2}$.

7.7

Finding Particular Solutions Using Initial Conditions and Separation of Variables · ⁨Tìm Nghiệm Riêng Sử Dụng Điều Kiện Ban Đầu và Tách Biến⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.E: Determine particular solutions to differential equations.

FUN-7.E.1 A general solution may describe infinitely many solutions to a differential equation. There is only one particular solution passing through a given point.
FUN-7.E.2 The function $F$ defined by $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ is a particular solution to the differential equation $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, satisfying $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Solutions to differential equations may be subject to domain restrictions.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.E: Xác định nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân.

FUN-7.E.1 Nghiệm tổng quát có thể mô tả vô số nghiệm của một phương trình vi phân. Chỉ có duy nhất một nghiệm đặc biệt đi qua một điểm cho trước.
FUN-7.E.2 Hàm số $F$ được xác định bởi $F(x) = y_0 + \int_a^x f(t)\,dt$ là một nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân $\dfrac{dy}{dx} = f(x)$, thỏa mãn $F(a) = y_0$.
FUN-7.E.3 Nghiệm của phương trình vi phân có thể chịu sự giới hạn về miền xác định.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

An initial condition 初始条件 – a known point $(x_0,y_0)$ – pins down one curve from the family. Substitute it to solve for the constant $C$; the result is the particular solution 特解. There is exactly one solution through a given point. Watch for domain restrictions 定义域限制: keep the branch that contains the initial point (for example, the correct sign of a square root).

Tiếng Việt

Một điều kiện ban đầu – một điểm đã biết $(x_0,y_0)$ – xác định duy nhất một đường cong từ họ đường cong đó. Thay vào để giải tìm hằng số $C$; kết quả chính là nghiệm riêng. Chỉ có đúng một nghiệm đi qua một điểm cho trước. Lưu ý các ràng buộc miền: giữ nhánh chứa điểm ban đầu (ví dụ: dấu đúng của căn thức).

Hằng số tạo ra một họ đường cong; điều kiện ban đầu xác định một đường cụ thể — Hằng số tạo ra họ đường cong; điều kiện ban đầu chọn ra một đường cụ thể

Vocabulary · ⁨Từ vựng⁩ Train · ⁨Luyện tập⁩

English	Tiếng Việt
differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/	phương trình vi phân
solution/səˈluːʃn/	dung dịch

7.8

Exponential Models with Differential Equations · ⁨Mô hình Lũy thừa Với Phương trình Vi phân⁩

Syllabus · ⁨Chương trình⁩

English

Enduring Understanding (FUN-7): Solving differential equations allows us to determine functions and develop models.

Learning Objective FUN-7.F: Interpret the meaning of a differential equation and its variables in context.

FUN-7.F.1 Specific applications of finding general and particular solutions to differential equations include motion along a line and exponential growth and decay.
FUN-7.F.2 The model for exponential growth and decay that arises from the statement "The rate of change of a quantity is proportional to the size of the quantity" is $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Learning Objective FUN-7.G: Determine general and particular solutions for problems involving differential equations in context.

FUN-7.G.1 The exponential growth and decay model, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, with initial condition $y = y_0$ when $t = 0$, has solutions of the form $y = y_0 e^{kt}$.

Tiếng Việt

Hiểu biết bền vững (FUN-7): Giải phương trình vi phân cho phép chúng ta xác định các hàm số và xây dựng mô hình.

Mục tiêu học tập FUN-7.F: Diễn giải ý nghĩa của một phương trình vi phân và các biến số của nó trong ngữ cảnh cụ thể.

FUN-7.F.1 Các ứng dụng cụ thể của việc tìm nghiệm tổng quát và nghiệm đặc biệt của phương trình vi phân bao gồm chuyển động dọc theo đường thẳng và sự tăng trưởng/làm giảm lũy thừa.
FUN-7.F.2 Mô hình cho sự tăng trưởng/làm giảm lũy thừa phát sinh từ phát biểu "Tốc độ thay đổi của một đại lượng tỷ lệ thuận với kích thước của đại lượng đó" là $\dfrac{dy}{dt} = ky$.

Mục tiêu học tập FUN-7.G: Xác định nghiệm tổng quát và nghiệm đặc biệt cho các bài toán liên quan đến phương trình vi phân trong ngữ cảnh cụ thể.

FUN-7.G.1 Mô hình tăng trưởng/làm giảm lũy thừa, $\dfrac{dy}{dt} = ky$, với điều kiện ban đầu $y = y_0$ khi $t = 0$, có các nghiệm có dạng $y = y_0 e^{kt}$.

Source: College Board AP Course and Exam Description · ⁨Nguồn: Mô tả Khóa học và Bài thi College Board AP⁩

English

The most important model is exponential growth and decay 指数增长与衰减. The equation $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (rate proportional to size) has the solution:

$$y = y_0\,e^{kt},$$

where $y_0$ is the value at $t=0$. Here $k>0$ gives growth and $k<0$ gives decay. You can derive this by separation of variables ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), and it models processes like population growth, radioactive decay, and Newton's law of cooling. A follow-up part may ask for $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: differentiate $\dfrac{dy}{dt}=ky$ again (using $\dfrac{dy}{dt}=ky$) to express it in terms of $y$.

Worked example. A sample decays by $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (in years) from $y_0=50\ \text{g}$. The solution is $y=50e^{-0.10t}$, so after $10$ years $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Its half-life solves $25=50e^{-0.10t}$, i.e. $e^{-0.10t}=\tfrac12$, giving $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – independent of the starting amount.

Tiếng Việt

Vi khuẩn E. coli dưới kính hiển vi: phương trình vi phân mô hình tăng trưởng lũy thừa của quần thể

Mô hình quan trọng nhất là tăng trưởng và suy giảm lũy thừa. Phương trình $\dfrac{dy}{dt}=ky$ (tốc độ tỷ lệ thuận với kích thước) có nghiệm:

$$y = y_0\,e^{kt},$$

trong đó $y_0$ là giá trị tại $t=0$. Tại đây $k>0$ biểu thị sự tăng trưởng và $k<0$ biểu thị sự suy giảm. Bạn có thể suy ra điều này bằng cách tách biến ($\int \tfrac{dy}{y} = \int k\,dt$), và nó mô hình hóa các quá trình như tăng trưởng dân số, sự phân rã phóng xạ và định luật làm mát Newton. Một phần tiếp theo có thể yêu cầu tính $\dfrac{d^2y}{dt^2}$: đạo hàm $\dfrac{dy}{dt}=ky$ lần nữa (sử dụng $\dfrac{dy}{dt}=ky$) để biểu diễn nó theo $y$.

Ví dụ minh họa. Một mẫu vật phân rã theo $\dfrac{dy}{dt}=-0.10\,y$ (tính theo năm) bắt đầu từ $y_0=50\ \text{g}$. Nghiệm là $y=50e^{-0.10t}$, do đó sau $10$ năm còn lại $y=50e^{-1}=18.4\ \text{g}$. Thời gian bán hủy của nó thỏa $25=50e^{-0.10t}$, tức là $e^{-0.10t}=\tfrac12$, dẫn đến $t=\dfrac{\ln 2}{0.10}=6.9\ \text{years}$ – không phụ thuộc vào lượng chất ban đầu.

Tách cà phê đang nguội: Định luật làm mát Newton là một mô hình phương trình vi phân điển hình

Explore · ⁨Khám phá⁩

An exponential growth/decay model · ⁨Mô hình tăng trưởng/suy giảm mũ⁩

y = a·e^(bx) + c

The equation $dy/dt=ky$ has exponential solutions: quantity changes at a rate proportional to itself, giving unbounded growth ($k>0$) or decay to zero ($k<0$). · ⁨Phương trình $dy/dt=ky$ có nghiệm mũ: đại lượng thay đổi với tốc độ tỷ lệ với chính nó, dẫn đến sự tăng trưởng vô hạn ($k>0$) hoặc suy giảm về 0 ($k<0$).⁩

7.8

Exam tips · ⁨Mẹo làm bài thi⁩

English

Solve a separable equation by getting all $y$ on one side and all $x$ on the other, then integrating both sides (add $+C$ once).
Use the initial condition to find $C$ (a particular solution).
Sketch or read a slope field: the little segments show $\tfrac{dy}{dx}$ at each point, and a solution curve follows them.
Recognise exponential models $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (growth/decay).
A differential equation gives the slope — you must integrate to recover the function.

Tiếng Việt

Giải một phương trình có thể tách biến bằng cách đưa tất cả $y$ về một vế và tất cả $x$ về vế kia, rồi tích phân hai vế (thêm $+C$ một lần).
Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm $C$ (một nghiệm riêng).
Vẽ hoặc đọc trường độ dốc: các đoạn thẳng nhỏ biểu thị $\tfrac{dy}{dx}$ tại mỗi điểm, và một đường cong nghiệm sẽ chạy dọc theo chúng.
Nhận diện các mô hình lũy thừa $\tfrac{dy}{dt}=ky\Rightarrow y=Ce^{kt}$ (tăng trưởng/suy giảm).
Một phương trình vi phân cung cấp độ dốc – bạn phải tích phân để khôi phục lại hàm số.

Interactive lessons on this topic · ⁨Bài học tương tác về chủ đề này⁩

Work through it step by step, with instant-check exercises. · ⁨Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.⁩

Past Papers · ⁨Đề thi cũ⁩

More topics in AP Calculus AB · ⁨AP Giải tích AB⁩ · ⁨Nhiều chủ đề hơn trong AP Calculus AB · ⁨AP Giải tích AB⁩⁩