Điện trường

Một điện trường là vùng mà tại đó một điện tích cảm nhận được lực từ các điện tích khác. Cường độ điện trường $E$ tại một điểm là lực trên một đơn vị điện tích dương tác dụng lên một điện tích thử dương nhỏ đặt tại đó:

Đơn vị: $\text{N C}^{-1}$ (cũng giống như $\text{V m}^{-1}$, như chúng ta sẽ thấy sau đây). $E$ là véc-tơ, chỉ hướng của lực tác dụng lên một điện tích dương. Lực tác dụng lên một điện tích $q$ là

ngược hướng với điện trường nếu $q$ là âm.

Định nghĩa hai điểm. Cường độ điện trường tại một điểm là lực trên một đơn vị điện tích dương tác dụng lên một điện tích (thử) nhỏ được đặt tại điểm đó. Ba từ khóa mang điểm: lực trên một đơn vị điện tích (không phải "lực tác dụng lên một điện tích"), dương (xác định hướng), và nhỏ hoặc thử (để điện tích không làm nhiễu loạn điện trường mà nó đang đo). Phiên bản trắc nghiệm cung cấp "lực trên một đơn vị điện tích tác dụng lên một khối lượng nhỏ" và "lực trên một đơn vị khối lượng" làm phương án gây nhiễu: một điện trường được định nghĩa bởi một điện tích, bao giờ cũng không phải bởi một khối lượng.

Ví dụ đã giải. Một proton gia tốc với $2.00\ \text{m s}^{-2}$ trong điện trường, không có lực nào khác tác dụng. Tìm cường độ điện trường. ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $e = 1.60 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

$qE = ma$, do đó

Sắp xếp lại công thức theo chiều ngược lại cho ta gia tốc của một electron trong điện trường có cường độ $1500\ \text{V m}^{-1}$: $a = eE/m_{\text{e}} = (1.60 \times 10^{-19})(1500)/(9.11 \times 10^{-31}) = 2.6 \times 10^{14}\ \text{m s}^{-2}$, rất lớn vì khối lượng của electron quá nhỏ. Trọng lực ($9.81\ \text{m s}^{-2}$) là không đáng kể so với lực điện, đó là lý do các bài thi về electron giữa hai bản plates thường bỏ qua trọng lượng.

Đường sức

• đường sức điện chỉ hướng mà lực tác dụng lên một điện tích thử dương.

• đường sức bắt đầu từ các điện tích dương và kết thúc ở các điện tích âm (hoặc tiến ra vô cực).

• đường sức không bao giờ cắt nhau; các đường sức càng gần nhau thì điện trường càng mạnh.

• mỗi đường sức đều có mũi tên; đường sức gặp bề mặt vật dẫn điện theo góc vuông.

Ý nghĩa của đường sức điện. Khi được hỏi "nêu ý nghĩa của đường sức điện trường", hãy trả lời đầy đủ cả hai phần: hướng của nó chỉ hướng của lực tác dụng lên điện tích dương đặt tại điểm đó, và khoảng cách giữa các đường sức thể hiện cường độ điện trường (các đường sức càng gần nhau, điện trường càng mạnh). Một hình vẽ minh họa sẽ được chấm điểm dựa trên đúng những điểm này: vẽ mũi tên, đường sức không cắt nhau, khoảng cách đều nhau nơi điện trường đồng nhất, và các đường sức tỏa tâm đối với điện tích điểm hoặc quả cầu.

Ví dụ: một điện tích điểm dương có các đường sức tỏa ra; một điện tích âm có các đường sức hội tụ vào; hai điện tích trái dấu (một cặp điện) có các đường sức cong từ + đến −; hai bản plates mang điện song song tạo ra điện trường đồng nhất với các đường sức song song và cách đều nhau.

Quả cầu dẫn điện mang điện

Điện tích trên một vật dẫn điện độc lập nằm trên bề mặt ngoài của nó, phân bố đều khi quả cầu đứng riêng lẻ. Bên ngoài quả cầu, các đường sức điện tỏa tâm, cách đều nhau và hướng ra ngoài (đối với điện tích dương), đúng như mẫu của một điện tích điểm tại tâm. Bên trong một vật dẫn điện rỗng (hoặc đặc), điện trường bằng 0: điện trường của tất cả các điện tích trên bề mặt triệt tiêu lẫn nhau tại mọi điểm bên trong, nên không có đường sức nào đi vào. Hai biểu đồ sau đây xuất hiện, và cả hai đều là đề thi yêu thích. Cường độ điện trường $E$ bằng 0 cho đến bán kính $R$, nhảy lên giá trị tại bề mặt $E_0$ và sau đó giảm theo $1/r^{2}$; điện thế $V$ là không đổi bên trong (điện trường bằng 0 nghĩa là độ dốc điện thế bằng 0) và sau đó giảm theo $1/r$.

Đọc biểu đồ. Cho biểu đồ $E$–$x$ của một quả cầu mang điện, bán kính chính là khoảng cách tại đó $E$ nhảy từ 0, và điện tích lấy từ bất kỳ điểm nào trên đường cong: $Q = 4\pi\varepsilon_{0} r^{2} E$. Cho biết "$E_0$ tại bề mặt", giá trị tại $2R$ là $E_0/4$ và tại $3R$ là $E_0/9$: vẽ đường cong đi qua các điểm đó, bắt đầu từ $E_0$ trên đường thẳng bề mặt, tuyệt đối không bắt đầu từ gốc tọa độ.

Giữa hai bản plates song song cách nhau $d$ với hiệu điện thế $V$ giữa chúng, điện trường là đồng nhất (ngoài hiệu ứng mép) với độ lớn

Nó chỉ hướng từ bản có điện thế cao hơn sang bản có điện thế thấp hơn. Đơn vị $\text{V m}^{-1}$ xuất phát trực tiếp từ điều này và bằng $\text{N C}^{-1}$.

Ví dụ đã giải. Hai bản plates song song cách nhau $5.0\ \text{mm}$ có hiệu điện thế là $200\ \text{V}$ giữa chúng. Tìm cường độ điện trường, và lực tác dụng lên một electron trong khoảng trống. ($e = 1.6 \times 10^{-19}\ \text{C}$.)

Yếu tố nào làm thay đổi điện trường? Chỉ có hai yếu tố: $E = V/d$ tăng nếu hiệu điện thế tăng hoặc các bản plates được di chuyển sát vào nhau. Một điện trở mắc nối tiếp với nguồn cung cấp sẽ không thay đổi gì: không có dòng điện chảy sau khi các bản plates đã nạp điện, nên không có hiệu điện thế trên điện trở và các bảnplates nằm ở toàn bộ điện áp nguồn. Giữa các bảnplates ở $+800\ \text{V}$ và $+1300\ \text{V}$, điện trường chỉ hướng từ điện thế cao hơn sang thấp hơn; hai điện thế dương không thay đổi quy tắc về hướng này.

Hạt mang điện trong điện trường đồng nhất

Một điện tích $q$ trong điện trường đồng nhất chịu một lực không đổi $F = qE$, do đó có gia tốc không đổi $a = qE/m$ — giống hệt như một vật có khối lượng trong trường hấp dẫn đồng nhất.

• khi phóng tự do (từ trạng thái nghỉ), nó tăng tốc dọc theo hướng điện trường (đối với điện tích dương) hoặc ngược lại (đối với điện tích âm), nhận thêm động năng.
• khi đi vuông góc với điện trường, nó tuân theo quỹ đạo parabol — giống như một vật ném xiên trong trọng lực. Đây là nguyên lý hoạt động của ống tia cathode trong việc điều khiển chùm tia.

Hai lực, không phải một. Một giọt dầu "được giữ đứng yên" giữa hai bản kim loại ngang là dạng cân bằng quen thuộc trong các bài thi: cả lực điện và trọng lực đều tác dụng lên giọt (đáp án nhiễu cho câu hỏi trắc nghiệm thường là "chỉ có lực điện"), và chúng bằng nhau nhưng ngược chiều. Đối với giọt mang điện tích âm, lực điện ngược lại với vectơ trường, nên bản kim loại trên phải mang điện tích dương để giữ giọt ở vị trí cao.

Ví dụ có lời giải. Một giọt dầu có khối lượng $2.6 \times 10^{-15}\ \text{kg}$ mang điện tích $-4.8 \times 10^{-19}\ \text{C}$ và được giữ đứng yên trong chân không giữa hai bản kim loại ngang cách nhau $2.0\ \text{cm}$. Tính hiệu điện thế giữa hai bản kim loại, và xác định bản nào mang điện tích dương.

Giọt mang điện tích âm, nên lực tác dụng lên nó ngược với hướng của trường; để lực này hướng lên thì vectơ trường phải chỉ xuống dưới, do đó bản kim loại trên mang điện tích dương. Lưu ý rằng điện tích là $3e$, tức là ba electron dư thừa, đây chính là cơ sở Millikan chứng minh rằng điện tích xuất hiện theo các bội số nguyên của $e$.

Ví dụ có lời giải. Hai bản kim loại song song trong chân không cách nhau $0.041\ \text{m}$ với hiệu điện thế là $250\ \text{V}$ giữa chúng. Một electron được thả tự do từ trạng thái nghỉ tại bản kim loại âm. Tìm (a) cường độ điện trường, (b) lực tác dụng lên electron và gia tốc của nó, (c) thời gian để nó đến được bản kim loại dương, (d) động năng của nó khi vừa chạm vào. ($m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$.)

(a) $E = V/d = 250/0.041 = 6.1 \times 10^{3}\ \text{V m}^{-1}$. (b) $F = eE = (1.60 \times 10^{-19})(6.1 \times 10^{3}) = 9.8 \times 10^{-16}\ \text{N}$; $a = F/m_{\text{e}} = 1.07 \times 10^{15}\ \text{m s}^{-2}$, hướng về phía bản kim loại dương. (c) Từ trạng thái nghỉ với gia tốc không đổi, $d = \tfrac{1}{2} a t^{2}$, do đó $t = \sqrt{2d/a} = \sqrt{2 \times 0.041 / (1.07 \times 10^{15})} = 8.8 \times 10^{-9}\ \text{s}$. (d) Phương pháp năng lượng, không cần dùng công thức động học: $E_{\text{k}} = qV = (1.60 \times 10^{-19})(250) = 4.0 \times 10^{-17}\ \text{J}$, nên $v = \sqrt{2E_{\text{k}}/m_{\text{e}}} = 9.4 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. (Kiểm tra: $v = at = (1.07 \times 10^{15})(8.8 \times 10^{-9}) = 9.4 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$.)

Ví dụ minh họa (sự lệch hướng). Một electron chuyển động ngang với vận tốc $2.0 \times 10^{7}\ \text{m s}^{-1}$ đi vào điện trường giữa hai bản phẳng nằm ngang cách nhau $18\ \text{mm}$ với hiệu điện thế là $400\ \text{V}$. Các bản dài $30\ \text{mm}$. Tính sự lệch hướng của electron đến khi nó rời khỏi điện trường.

Chuyển động theo phương ngang không bị ảnh hưởng: thời gian trong vùng điện trường $t = 0.030/(2.0 \times 10^{7}) = 1.5 \times 10^{-9}\ \text{s}$. Theo phương dọc, $a = eE/m_{\text{e}} = eV/(m_{\text{e}} d) = (1.60 \times 10^{-19})(400)/[(9.11 \times 10^{-31})(0.018)] = 3.9 \times 10^{15}\ \text{m s}^{-2}$, nên sự lệch hướng là $y = \tfrac{1}{2} a t^{2} = \tfrac{1}{2}(3.9 \times 10^{15})(1.5 \times 10^{-9})^{2} = 4.4 \times 10^{-3}\ \text{m}$, nhỏ hơn nửa khoảng cách giữa hai bản là $9\ \text{mm}$, do đó electron thực sự ra khỏi vùng điện trường. Vận tốc theo phương dọc của nó khi ra khỏi là $at = 5.9 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$, nên nó bay ra theo góc $\tan\theta = 5.9/20$, xấp xỉ $16°$; quỹ đạo là đường parabol, và sau khi qua các bản kim loại (không còn điện trường) nó di chuyển theo đường thẳng theo hướng mà nó có khi ra khỏi.

Đối với hai điện tích điểm $Q_{1}$ và $Q_{2}$ cách nhau một khoảng $r$ trong không gian tự do, mỗi điện tích chịu một lực có độ lớn là

Đây là định luật Coulomb. Tại đây $\varepsilon_{0} = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ là hằng số điện môi của không gian tự do, và $1/(4\pi\varepsilon_{0}) \approx 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$. Lực này dọc theo đường thẳng nối hai điện tích: lực đẩy đối với các điện tích cùng dấu, lực hút đối với các điện tích trái dấu.

Đặt định luật bằng lời nói. "Nêu định luật Coulomb" yêu cầu một câu văn, không phải công thức: lực (điện) giữa hai điện tích điểm tỉ lệ thuận với tích của các điện tích và tỉ lệ nghịch với bình phương khoảng cách giữa chúng. Cả hai tỷ lệ thuận này đều cần thiết, và các điện tích phải là điện tích điểm (hoặc các quả cầu được xem là điện tích điểm tại tâm của chúng) trong chân không.

Ví dụ có lời giải. Tìm lực tĩnh điện giữa hai điện tích điểm có độ lớn $+2.0\ \text{nC}$ và $+3.0\ \text{nC}$ đặt cách nhau $4.0\ \text{cm}$. ($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$.)

Ví dụ có lời giải. Trong một nguyên tử hydro, proton và electron có thể được xem là hai điện tích điểm cách nhau $120\ \text{pm}$. Tìm lực điện giữa chúng và so sánh với lực hấp dẫn của chúng. ($m_{\text{p}} = 1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$, $m_{\text{e}} = 9.11 \times 10^{-31}\ \text{kg}$, $G = 6.67 \times 10^{-11}\ \text{N m}^{2}\ \text{kg}^{-2}$.)

Trọng lực: $F_{\text{G}} = G m_{\text{p}} m_{\text{e}}/r^{2} = (6.67 \times 10^{-11})(1.67 \times 10^{-27})(9.11 \times 10^{-31})/(1.20 \times 10^{-10})^{2} = 7.0 \times 10^{-48}\ \text{N}$, nhỏ hơn $10^{39}$ lần. Bên trong nguyên tử, lực hấp dẫn không đáng kể.

Ví dụ có lời giải. Hai giọt dầu giống hệt nhau trong chân không có tâm cách nhau $3.8 \times 10^{-6}\ \text{m}$. Mỗi giọt mang cùng một loại điện tích và chúng đẩy nhau với lực là $1.0 \times 10^{-15}\ \text{N}$. Tìm điện tích của mỗi giọt và số lượng electron dư thừa mà nó mang theo.

tức là $1.3 \times 10^{-18}/1.60 \times 10^{-19} \approx 8$ electron. Các vật giống hệt nhau mang cùng một dấu điện tích luôn luôn đẩy nhau; đừng viết "hút" cho phương của lực.

Ví dụ có lời giải. Một quả cầu X mang điện tích được cố định trên giá đỡ cách điện. Một quả cầu Y thứ hai, có khối lượng $2.0\ \text{g}$, treo bên cạnh nó bằng một sợi dây cách điện và cân bằng ở vị trí sợi dây tạo với phương đứng một góc $12°$, tâm của nó cách tâm của X một khoảng $5.0\ \text{cm}$ trên cùng một mức ngang. Tìm lực điện tác dụng lên Y và, nếu hai quả cầu mang cùng độ lớn điện tích, điện tích của mỗi quả cầu.

Ba lực tác dụng lên Y: trọng lực $mg$ (hướng xuống), lực căng $T$ (dọc theo sợi dây) và lực điện $F$ (phương ngang, hướng ra xa X vì các điện tích cùng dấu đẩy nhau). Phân tích thành phần, $T\cos\theta = mg$ và $T\sin\theta = F$, nên

Khi đó $F = Q^{2}/(4\pi\varepsilon_{0} r^{2})$ cho ta kết quả $Q = \sqrt{4\pi\varepsilon_{0} F r^{2}} = \sqrt{(4.2 \times 10^{-3})(0.050)^{2}/(8.99 \times 10^{9})} = 3.4 \times 10^{-8}\ \text{C}$. Tam giác vector khép kín của ba lực cũng là một phương pháp tốt tương đương; đề thi chấp nhận cả hai, nhưng bắt buộc phải thể hiện đầy đủ ba lực.

Ví dụ có lời giải (helium). Một nguyên tử heli có thể được mô hình hóa như một hạt nhân mang điện tích $+2e$ với hai electron chuyển động trên hai quỹ đạo tròn đối diện nhau có bán kính $170\ \text{pm}$. Tìm lực hợp tác dụng lên một electron, và từ đó suy ra vận tốc quỹ đạo của nó.

Hai lực tác dụng lên electron: lực hút về phía hạt nhân, ở khoảng cách $r$, và lực đẩy từ electron kia, ở khoảng cách $2r$ ở phía xa:

hướng về phía hạt nhân. Lực tổng hợp này là lực hướng tâm, $F = m_{\text{e}} v^{2}/r$, nên $v = \sqrt{F r/m_{\text{e}}} = \sqrt{(1.4 \times 10^{-8})(1.70 \times 10^{-10})/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$. Bẫy nằm ở chỗ quên đi electron thứ hai, hoặc đặt nó ở khoảng cách $r$ thay vì $2r$.

Các quả cầu được coi là điện tích điểm

Một vật dẫn hình cầu mang tổng điện tích $Q$ sẽ tạo ra trường bên ngoài tại bất kỳ điểm nào giống hệt như một điện tích điểm $Q$ đặt ở tâm (đo $r$ từ tâm). Bên trong một vật dẫn rỗng mang điện, trường điện bằng không, do đó vật dẫn là vật đẳng thế.

Định luật Coulomb cho ta lực giữa hai điện tích. Chia cho điện tích thử ($E = F/q$) thì ta chỉ còn lại điện trường của nguồn charge $Q$ riêng lẻ. Điện trường tại khoảng cách $r$ từ một điện tích điểm $Q$ là

Nó hướng ra xa từ một điện tích dương $Q$, hướng vào trong về phía một điện tích âm $Q$, và giảm theo $1/r^{2}$ — giống hệt như độ mạnh trường hấp dẫn, ngoại trừ việc lực hấp dẫn luôn là lực hút. Đối với nhiều điện tích, cộng các trường theo tổng vector.

Ví dụ có lời giải. Trái Đất có thể được xem là một quả cầu dẫn điện đồng nhất bán kính $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ mang tổng điện tích $-4.80 \times 10^{5}\ \text{C}$ phân bố trên bề mặt. Tính độ mạnh trường điện tại bề mặt, và so sánh nó với độ mạnh trường hấp dẫn tại đó. ($M_{\text{E}} = 5.98 \times 10^{24}\ \text{kg}$.)

hướng về tâm (vì điện tích âm). Hấp dẫn: $g = GM/R^{2} = 9.83\ \text{N kg}^{-1}$, nên $E/g \approx 11$; dưới dạng ký hiệu $E/g = Q/(4\pi\varepsilon_{0} G M)$, cho thấy tỷ lệ chỉ phụ thuộc vào tỷ lệ điện tích trên khối lượng của quả cầu. Một quả cầu mang điện có khối lượng $m$ và điện tích $q$ sẽ cần $qE = mg$ để nổi lơ lửng trong trường này: $q/m = g/E = 0.093\ \text{C kg}^{-1}$.

Ví dụ có lời giải. Hai điện tích điểm $+4.0\ \text{nC}$ và $+1.0\ \text{nC}$ cách nhau $30\ \text{cm}$. Tại đâu trên đường nối chúng thì trường tổng hợp bằng không?

Giữa hai điện tích, hai trường hướng ngược chiều nhau; gọi khoảng cách từ điện tích $4.0\ \text{nC}$ là $x$. Để tổng hợp bằng không cần độ lớn bằng nhau:

lần từ điện tích lớn hơn. Đối với các điện tích trái dấu, các trường giữa chúng cùng hướng và không bao giờ triệt tiêu lẫn nhau: điểm bằng không nằm bên ngoài, xa hơn về phía điện tích nhỏ hơn.

Điện thế $V$ tại một điểm là công thực hiện trên mỗi đơn vị điện tích dương khi di chuyển một điện tích thử dương nhỏ từ vô cực đến điểm đó:

Đơn vị: $\text{V}$. Điện thế bằng không ở vô cực. Đối với nguồn điện tích dương $V > 0$ ở mọi nơi bên ngoài; đối với nguồn điện tích âm $V < 0$.

Định nghĩa hai điểm. Điện thế tại một điểm là công thực hiện trên mỗi đơn vị điện tích dương khi di chuyển một điện tích thử nhỏ từ vô cực đến điểm đó. Các điểm được chấm cho công thực hiện trên mỗi đơn vị (dương) điện tích và từ vô cực đến điểm đó. Điện thế của một điện tích dương là dương vì phải thực hiện công lên một điện tích thử dương để đẩy nó vào chống lại lực đẩy; gần một điện tích âm, trường thực hiện công, nên điện thế là âm. "Giải thích vì sao điện thế gần một proton cô lập là dương" được trả lời đúng chính xác bằng những từ ngữ đó.

Điện thế do điện tích điểm tạo ra

Lưu ý $1/r$ ở đây (so với $1/r^{2}$ đối với trường). $V$ là thực vô hướng; đối với nhiều điện tích, cộng các điện thế (có kèm dấu).

Ví dụ có lời giải. Tìm điện thế $4.0\ \text{cm}$ từ một điện tích điểm $+3.0\ \text{nC}$. ($1/(4\pi\varepsilon_{0}) = 9.0 \times 10^{9}\ \text{N m}^{2}\ \text{C}^{-2}$.)

Vì điện thế là đại lượng vô hướng, điện thế từ nhiều điện tích đơn giản là tổng của chúng (mỗi cái đều có dấu riêng) — không cần phân giải thành các thành phần hướng.

Hai quả cầu mang điện trên một đường thẳng

Câu hỏi cấu trúc mà đề thi yêu thích nhất đặt hai quả cầu mang điện X và Y cách nhau một khoảng và vẽ đồ thị điện thế $V$ dọc theo đường nối tâm của chúng (hoặc yêu cầu bạn suy luận từ đồ thị đó). Mọi điều đều dựa trên hai sự thật: điện thế là một thực vô hướng cộng có dấu, và trường là đạo hàm âm của đồ thị.

• Dấu của các điện tích. Nếu $V$ là dương trên toàn bộ đường thẳng, cả hai điện tích đều dương; nếu $V$ đổi dấu, các điện tích trái dấu (dương gần quả cầu dương).
• Nơi trường bằng không. Nơi đường cong có cực tiểu (đạo hàm bằng không). Đối với các điện tích cùng dấu, điểm này nằm giữa chúng, gần điện tích nhỏ hơn: $Q_{\text{X}}/x^{2} = Q_{\text{Y}}/(d - x)^{2}$. Đối với các điện tích trái dấu, không có điểm như vậy giữa chúng: đường cong cắt zero tại đó, nhưng đạo hàm của nó không bằng không, nên trường cũng không bằng không.
• Tỷ số của các điện tích. Nơi $V = 0$ giữa các điện tích trái dấu, $Q_{\text{X}}/x = Q_{\text{Y}}/(d - x)$: các khoảng cách cho trực tiếp tỷ số. Đối với các điện tích cùng dấu, hãy sử dụng giá trị cực tiểu thay thế (căn bậc hai của điều kiện trường).
• Lực tác dụng lên điện tích đặt tại P. Đọc độ dốc tại P bằng cách kẻ tiếp tuyến; sau đó $E$ là âm của độ dốc, và $F = qE$.

Ví dụ có lời giải. Hai quả cầu kim loại mang điện cô lập X và Y có tâm cách nhau $1.2\ \text{m}$ trong chân không. Điện thế dọc theo đường nối giữa chúng là dương ở mọi nơi và có giá trị cực tiểu tại $x = 0.50\ \text{m}$ từ tâm của X. Nêu ba kết luận, sau đó tìm lực tác dụng lên một proton giữ tại $x = 0.60\ \text{m}$, nơi đạo hàm của đồ thị là $+180\ \text{V m}^{-1}$.

Kết luận: (1) cả hai quả cầu đều mang điện tích dương, vì thế năng dương ở mọi nơi; (2) điện trường bằng không tại $x = 0.50\ \text{m}$, nơi có độ dốc bằng không; (3) điện tích trên Y lớn hơn, vì điểm có điện trường bằng nằm gần X hơn; thực tế là $Q_{\text{Y}}/Q_{\text{X}} = (0.70/0.50)^{2} = 2.0$. Tại $x = 0.60\ \text{m}$: $E = -180\ \text{V m}^{-1}$ (hướng về phía X, vì $V$ tăng dần khi tiến về phía Y), nên $F = eE = (1.60 \times 10^{-19})(180) = 2.9 \times 10^{-17}\ \text{N}$ hướng về phía X. Khi được thả ra, proton gia tốc về phía X, gia tốc của nó tăng dần khi độ dốc càng dốc; cần một lực bên ngoài để giữ cho nó đứng yên.

Mô tả chuyển động. "Một hạt mang điện tích dương được đặt tại P và thả ra. Mô tả và giải thích chuyển động của nó." Giám khảo mong muốn: hướng (hướng về phía thế năng thấp hơn, dọc theo sườn dốc của đồ thị $V$); rằng lực, do đó gia tốc, không đổi (nó phụ thuộc vào độ dốc, thay đổi dọc theo đường thẳng); và rằng vận tốc của hạt tăng dần trong suốt quá trình, vì lực luôn cùng hướng với chuyển động. Nếu P là điểm có điện trường bằng không, hạt sẽ đứng yên,处于不稳定的平衡状态：向任一方向的微小扰动都会使其离开。

Liên hệ giữa điện trường và thế năng

Điện trường bằng độ dốc thế năng âm:

Giữa các bản tụ song song $V$ thay đổi đều theo vị trí, tạo ra $E = V/d$ như trước đây. Dấu trừ có nghĩa là điện trường hướng về phía thế năng thấp hơn. Đối với điện tích điểm, $-\dfrac{dV}{dr} = \dfrac{Q}{4\pi\varepsilon_{0} r^{2}} = E$.

Mối liên hệ một dòng. "Nêu mối liên hệ giữa điện trường và thế năng điện": cường độ điện trường bằng độ âm của độ dốc thế năng, $E = -\Delta V/\Delta x$. Trên đồ thị $V$–$x$ $E$ là âm của độ dốc tiếp tuyến; trên đồ thị $V$–$r$ của một điện tích điểm, độ dốc dốc nhất ở gần điện tích, nơi điện trường mạnh nhất, và dấu của $E$ được xác định bởi "điện trường hướng về phía thế năng thấp hơn". Phiên bản điện trường đều $E = V/d$ là phát biểu tương tự với độ dốc không đổi.

Mặt đẳng thế. Một mặt đẳng thế nối các điểm có cùng thế năng; không có công nào được thực hiện khi di chuyển điện tích dọc theo nó, do đó điện trường luôn vuông góc với nó. Xung quanh một điện tích điểm, các mặt đẳng thế là các mặt cầu đồng tâm, ngày càng tách xa nhau khi $V$ giảm; giữa các bản tụ song song, chúng là các mặt phẳng song song với các bản tụ. Bề mặt của vật dẫn là một mặt đẳng thế, đó là lý do tại sao các đường sức điện trường gặp nó ở góc vuông.

Thế năng điện

Một điện tích $q$ tại một điểm có thế năng $V$ có thế năng điện $E_{\text{P}} = qV$. Đối với hai điện tích điểm $Q$ và $q$ cách nhau một khoảng $r$:

• giống dấu: $E_{\text{P}} > 0$ — năng lượng dự trữ sẽ được giải phóng nếu chúng bay ra xa nhau.
• khác dấu: $E_{\text{P}} < 0$ — một hệ liên kết; cần cung cấp năng lượng để tách chúng ra.

Trong cả hai trường hợp $E_{\text{P}} \to 0$ khi $r \to \infty$.

Ví dụ minh họa. Proton và electron trong nguyên tử hydro cách nhau $5.3 \times 10^{-11}\ \text{m}$. Tìm năng lượng điện thế của cặp này.

Dấu âm là một phần của đáp án: các điện tích khác dấu, do đó năng lượng ($4.3 \times 10^{-18}\ \text{J}$) phải được cung cấp để kéo chúng ra đến vô cực. (Electron cũng có động năng bằng nửa giá trị đó, nên năng lượng cần thiết để ion hóa nguyên tử là $13.6\ \text{eV}$; "mẫu ví dụ minh họa" bên dưới giải thích điều này.)

Điện tích đi qua hiệu điện thế. Một điện tích $q$ di chuyển qua hiệu điện thế $V$ sẽ thay đổi năng lượng thế của nó một lượng $qV$, do đó một electron được gia tốc từ trạng thái nghỉ qua $250\ \text{V}$ sẽ đạt được $250\ \text{eV}$ động năng bất kể hình dạng của điện trường. Đối với câu hỏi trắc nghiệm về "di chuyển P một khoảng $x$ dọc theo các đường sức", công thực hiện là $qEx$, và năng lượng thế của nó giảm nếu nó di chuyển theo hướng mà lực đẩy nó.

Mẫu ví dụ minh họa

Một electron quay quanh hạt nhân mang điện tích $+Ze$ ở khoảng cách $r$. Lực hút Coulomb cung cấp lực hướng tâm:

Tổng năng lượng là động năng cộng thế năng:

điều này mang giá trị âm (trạng thái liên kết).

Hấp dẫn so với điện

Hai lý thuyết trường này trông rất giống nhau:

Dấu trừ trong thế năng lượng phản ánh rằng lực hấp dẫn luôn là lực hút; thế điện tích nhận dấu của điện tích nguồn.

Sự tương đồng và khác biệt (dạng hai điểm tiêu chuẩn). Cả hai thế đều tỷ lệ với $1/r$, cả hai đều bằng không ở vô cực, và cả hai đều là đại lượng vô hướng; nhưng thế hấp dẫn luôn âm (lực luôn hút) trong khi thế điện tích nhận dấu của điện tích và có thể dương. Đối với trường: cả hai tuân theo định luật bình phương nghịch đảo và cả hai được vẽ dưới dạng các đường tia quanh một nguồn điểm, nhưng các đường sức hấp dẫn chỉ luôn hướng vào trong (hút), còn các đường sức điện hướng ra ngoài từ điện tích dương và vào trong về phía điện tích âm.

Câu hỏi định nghĩa được chấm dựa trên văn phong cố định. Hãy học thuộc những định nghĩa này và chỉ đưa ra một đáp án duy nhất.

• Bốn công thức, hai công thức có $r^{2}$ và hai công thức có $r$: $F = Q_1 Q_2 / 4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ và $E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ (bình phương nghịch đảo), $V = Q/4\pi\varepsilon_0 r$ và $E_{\text{P}} = Qq/4\pi\varepsilon_0 r$. Hãy xác định công thức nào trước khi viết.
• Phân biệt trường đều ($E = V/d$, giữa các bản plates) và trường tâm xạ ($E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$, bên ngoài điện tích điểm hoặc hình cầu); $r$ đối với hình cầu được đo từ tâm, không phải từ bề mặt.
• Trường chỉ từ nơi có thế cao đến nơi có thế thấp và $E$ bằng âm của gradient thế: hãy vẽ tiếp tuyến trên đồ thị $V$–$x$ để tìm nó.
• Trường là vector (cộng thành phần, trừ các thành phần ngược chiều); thế là vô hướng (cộng với dấu). Giữa các điện tích cùng loại có một điểm có trường bằng không; giữa các điện tích trái loại có một điểm có thế bằng không.
• Một hạt mang điện trong trường đều: $F = qE$, $a = qE/m$, $E_{\text{k}} = qV$; dọc theo trường là nửa chuyển động thẳng đứng của chuyển động ném xiên, và chuyển động vuông góc với trường thì không bị ảnh hưởng.
• Sheet dữ liệu cung cấp cả $\varepsilon_0 = 8.85 \times 10^{-12}\ \text{F m}^{-1}$ và $1/(4\pi\varepsilon_0) = 8.99 \times 10^{9}\ \text{m F}^{-1}$; dùng cái nào cũng được, đừng nhầm lẫn.

Lỗi thường gặp

• Định nghĩa cường độ trường là "lực tác dụng lên một điện tích" hoặc "lực trên mỗi đơn vị khối lượng". Đó là lực trên mỗi đơn vị điện tích dương tác dụng lên một điện tích dương nhỏ.
• Quên bình phương $r$ trong định luật Coulomb và trong trường, hoặc bình phương nó trong thế ($V \propto 1/r$).
• Sử dụng đường kính, hoặc khoảng cách từ bề mặt của hình cầu, thay vì khoảng cách từ tâm đến tâm.
• Vẽ $E$ cho hình cầu bắt đầu từ gốc tọa độ. Nó bằng không ở bên trong và bắt đầu ở $E_0$ trên bề mặt; $V$ là hằng số bên trong, không phải bằng không.
• Các đường sức không có mũi tên, cắt nhau, hoặc không đều trong trường đều; các đường không vuông góc với vật dẫn.
• Bỏ dấu trừ trên thế năng lượng của các điện tích trái loại, hoặc lấy hướng của $E$ từ dấu của $V$ thay vì từ gradient của nó.
• Quên electron thứ hai trong nguyên tử heli, hoặc đặt nó ở khoảng cách $r$ thay vì $2r$.
• Sử dụng $E = V/d$ cho điện tích điểm, hoặc $E = Q/4\pi\varepsilon_0 r^{2}$ giữa các bản plates.
• Gán trọng lượng cho electron, hoặc sử dụng khối lượng proton cho electron; trong các bài toán electron giữa hai bản phẳng, trọng lượng có thể bỏ qua.
• Để bỏ qua trọng lượng trong câu hỏi "giọt dầu giữ cân bằng", hoặc làm sai cực của bản plate phía trên.