A-Level Physics · Vật lý A-Level · Topic 12 · Chủ đề 12
13:00
Chuyển động tròn
Đổ đầy xô nước, quay nó nhanh trên đầu bạn — và không một giọt nào rơi ra, ngay cả khi nó hoàn toàn úp ngược. Tại sao nước không…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
The radian 弧度 is the angle made at the centre of a circle by an arc 弧 whose length equals the radius. For an arc of length $s$ on a circle of radius $r$, the angle in radians is
Radians have no unit (a ratio of lengths). A full circle has $s = 2\pi r$, so $\theta = 2\pi\ \text{rad}$. A half-circle is $\pi\ \text{rad}$; a quarter is $\pi/2\ \text{rad}$.
To convert: $1\ \text{rad} = 180°/\pi \approx 57.3°$. Set your calculator to radians for this topic; "degree" mode will give wrong answers.
The one-mark definition. The radian is the angle subtended at the centre of a circle by an arc equal in length to the radius of the circle. Give it in words — $\theta = s/r$ on its own is not a definition — and keep $s = r\theta$ ready for turning a distance along the arc into an angle, or back.
Radian là góc tạo tại tâm của một đường tròn bởi một cung có độ dài bằng bán kính. Đối với cung có độ dài $s$ trên đường tròn có bán kính $r$, góc tính bằng radian là
Radian không có đơn vị (là tỷ lệ giữa hai độ dài). Một vòng tròn đầy đủ có $s = 2\pi r$, tức là $\theta = 2\pi\ \text{rad}$. Nửa vòng tròn tương ứng $\pi\ \text{rad}$; một phần tư vòng tròn tương ứng $\pi/2\ \text{rad}$.
Để chuyển đổi: $1\ \text{rad} = 180°/\pi \approx 57.3°$. Hãy cài đặt máy tính của bạn ở chế độ radian cho chủ đề này; chế độ "degree" (độ) sẽ đưa ra đáp án sai.
Định nghĩa 1 điểm. Radian là góc tạo tại tâm của một đường tròn bởi một cung có độ dài bằng bán kính của đường tròn đó. Hãy diễn giải bằng lời — chỉ riêng $\theta = s/r$ không phải là một định nghĩa — và giữ $s = r\theta$ sẵn sàng để chuyển đổi từ khoảng cách dọc theo cung sang góc, hoặc ngược lại.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| radian/ˈreɪdɪən/ | radian |
| velocity/vəˈlɒsɪti/ | vận tốc |
| acceleration/əkˌseləˈreɪʃn/ | gia tốc |
| arc/ɑːk/ | cung |
An object moves in a circle of radius $r$ at constant speed $v$. Define:
For uniform motion $\omega$ is constant and
Unit: $\text{rad s}^{-1}$.
What stays constant and what varies. In uniform circular motion the speed, the angular speed, the period and the magnitude of the acceleration are constant; the velocity, the displacement from the centre and the acceleration all change continuously, because their direction changes. Asked to "state two quantities that vary", give two of velocity, acceleration, displacement and momentum — and say it is the direction that varies.
If the object goes once round ($2\pi\ \text{rad}$, one revolution 圈) in time $T$ (the period 周期), then
where $f = 1/T$ is the frequency 频率 of turning (Hz).
In one period $T$ the object travels a distance $2\pi r$ (the circumference 周长) at constant speed, so
This links the linear (tangential 切向) speed $v$ with the angular speed $\omega$. At a larger radius (for the same angular speed) the linear speed is larger — a child on the edge of a merry-go-round moves faster than one near the centre, even though both go round once in the same time.
Worked example. A fairground ride of radius $4.0\ \text{m}$ completes one turn every $8.0\ \text{s}$. Find its angular speed and the linear speed of a rider on the edge.
Worked example. The minute hand of a clock turns once every hour. A piece of modelling clay on the hand moves a total distance of $0.44\ \text{m}$ in $1400\ \text{s}$. Find the angular speed of the hand, the angle the clay turns through in that time, and its distance from the centre of the clock.
$\omega = 2\pi/T = 2\pi/3600 = 1.75 \times 10^{-3}\ \text{rad s}^{-1}$. Angular displacement $\theta = \omega t = 1.75 \times 10^{-3} \times 1400 = 2.44\ \text{rad}$. Distance along the arc $s = r\theta$, so $r = s/\theta = 0.44/2.44 = 0.18\ \text{m}$. Check: $v = s/t = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ and $r\omega = 0.18 \times 1.75 \times 10^{-3} = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ — the same. A common trap in these questions is a radius measured from the rim: a lump $1.2\ \text{cm}$ in from the edge of a $9.3\ \text{cm}$ disc moves in a circle of radius $8.1\ \text{cm}$.
Worked example. A bicycle chain passes round a pedal cog of radius $0.095\ \text{m}$ and a rear-wheel cog of radius $0.038\ \text{m}$. The pedals turn at $1.2$ revolutions per second. Find the speed of the chain and the angular speed of the rear cog. The chain is then moved to a smaller rear cog while the bicycle's speed stays the same; explain, without calculation, what happens to the angular speed of the pedals.
Pedal angular speed $\omega_{1} = 2\pi \times 1.2 = 7.5\ \text{rad s}^{-1}$. Every link of the chain moves at the speed of the rim of the pedal cog: $v = r_{1}\omega_{1} = 0.095 \times 7.5 = 0.72\ \text{m s}^{-1}$. The rear cog's rim moves at the same speed, so $\omega_{2} = v/r_{2} = 0.72/0.038 = 19\ \text{rad s}^{-1}$. With the bicycle's speed unchanged, the rear wheel keeps the same angular speed; the smaller cog's rim therefore moves more slowly ($v = r\omega$ with a smaller $r$), so the chain moves more slowly, and the pedal cog, driven by the same chain, turns at a lower angular speed.
Một vật thể chuyển động trên đường tròn có bán kính $r$ với tốc độ không đổi $v$. Định nghĩa:
Đối với chuyển động đều, $\omega$ là hằng số và
Đơn vị: $\text{rad s}^{-1}$.
Những đại lượng nào không đổi và những đại lượng nào thay đổi. Trong chuyển động tròn đều, tốc độ, tốc độ góc, chu kỳ và độ lớn của gia tốc là không đổi; vận tốc, dịch chuyển từ tâm và gia tốc đều thay đổi liên tục, vì hướng của chúng thay đổi. Khi được yêu cầu "nêu hai đại lượng thay đổi", hãy nêu hai trong số vận tốc, gia tốc, dịch chuyển và động lượng — và nói rõ hướng là thứ thay đổi.
Nếu vật thể đi hết một vòng ($2\pi\ \text{rad}$, một vòng quay) trong thời gian $T$ (gọi là chu kỳ), thì
trong đó $f = 1/T$ là tần số quay (Hz).
Trong một chu kỳ $T$, vật thể di chuyển được một quãng đường $2\pi r$ (gọi là chu vi) với tốc độ không đổi, nên
Công thức này liên hệ tốc độ tuyến tính (tiếp tuyến) $v$ với tốc độ góc $\omega$. Ở bán kính lớn hơn (với cùng tốc độ góc), tốc độ tuyến tính sẽ lớn hơn — một đứa trẻ ở mép đu quay quay sẽ di chuyển nhanh hơn một đứa trẻ gần trung tâm, dù cả hai đều hoàn thành một vòng quay trong cùng một khoảng thời gian.
Ví dụ minh họa. Một trò chơi vui chơi có bán kính $4.0\ \text{m}$ hoàn thành một vòng quay mỗi $8.0\ \text{s}$. Tìm tốc độ góc của nó và tốc độ tuyến tính của một hành khách ở mép.
Ví dụ minh họa. Kim phút của một chiếc đồng hồ quay một vòng mỗi giờ. Một mẩu đất nặn gắn trên kim di chuyển tổng cộng một quãng đường $0.44\ \text{m}$ trong khoảng thời gian $1400\ \text{s}$. Tìm tốc độ góc của kim, góc mà mẩu đất nặn đã quét qua trong khoảng thời gian đó, và khoảng cách từ tâm của đồng hồ đến mẩu đất nặn.
$\omega = 2\pi/T = 2\pi/3600 = 1.75 \times 10^{-3}\ \text{rad s}^{-1}$. Dịch chuyển góc $\theta = \omega t = 1.75 \times 10^{-3} \times 1400 = 2.44\ \text{rad}$. Quãng đường dọc theo cung $s = r\theta$, nên $r = s/\theta = 0.44/2.44 = 0.18\ \text{m}$. Kiểm tra: $v = s/t = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ và $r\omega = 0.18 \times 1.75 \times 10^{-3} = 3.1 \times 10^{-4}\ \text{m s}^{-1}$ — giống nhau. Một bẫy phổ biến trong các câu hỏi này là bán kính được đo từ mép: một khối $1.2\ \text{cm}$ vào trong từ mép của một đĩa $9.3\ \text{cm}$ sẽ chuyển động trên đường tròn có bán kính $8.1\ \text{cm}$.
Ví dụ có lời giải. Dây xích xe đạp đi quanh bánh răng bàn đạp bán kính $0.095\ \text{m}$ và bánh răng sau bán kính $0.038\ \text{m}$. Bàn đạp quay với tốc độ $1.2$ vòng mỗi giây. Tìm tốc độ của dây xích và tốc độ góc của bánh răng sau. Sau đó, dây xích được chuyển sang một bánh răng sau nhỏ hơn trong khi tốc độ của xe đạp không đổi; hãy giải thích, mà không cần tính toán, điều gì sẽ xảy ra với tốc độ góc của bàn đạp.
Tốc độ góc bàn đạp $\omega_{1} = 2\pi \times 1.2 = 7.5\ \text{rad s}^{-1}$. Mỗi mắt xích di chuyển với tốc độ bằng vận tốc tại vành bánh răng bàn đạp: $v = r_{1}\omega_{1} = 0.095 \times 7.5 = 0.72\ \text{m s}^{-1}$. Vành bánh răng sau cũng di chuyển với cùng tốc độ đó, nên $\omega_{2} = v/r_{2} = 0.72/0.038 = 19\ \text{rad s}^{-1}$. Với tốc độ xe đạp không thay đổi, bánh xe sau vẫn giữ nguyên tốc độ góc; do đó, vành bánh răng nhỏ hơn sẽ di chuyển chậm hơn ($v = r\omega$ với $r$ nhỏ hơn), khiến dây xích di chuyển chậm hơn, và bánh răng bàn đạp, được dẫn động bởi cùng một dây xích, sẽ quay với tốc độ góc thấp hơn.
s = rθ
Angular speed turns angle per time; arc length s = rθ. · Vận tốc góc chuyển đổi góc theo thời gian; độ cung s = rθ.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | vận tốc góc |
| angular displacement/ˈæŋɡjʊlə dɪˈspleɪsmənt/ | góc quay |
| period/ˈpɪərɪəd/ | chu kỳ |
| frequency/ˈfriːkwənsi/ | tần số |
| revolution/ˌrevəˈluːʃn/ | cách mạng |
| circumference/sɜːˈkʌmfrəns/ | chu vi |
| tangential/tænˈdʒenʃl/ | tiếp tuyến |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | gia tốc hướng tâm |
| perpendicular/ˌpɜːpənˈdɪkjʊlə/ | vuông góc |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
An object moving in a circle at constant speed still has a changing velocity 速度 — its direction keeps changing, even though its size stays the same. A changing velocity needs an acceleration 加速度. This acceleration points towards the centre and is the centripetal acceleration 向心加速度.
The two-mark description. In uniform circular motion the speed is constant but the velocity is continuously changing, because its direction changes; the acceleration is constant in magnitude and is always directed towards the centre of the circle, perpendicular to the velocity. "State what is meant by centripetal acceleration": the acceleration of an object moving along a circular path, directed towards the centre of the circle.
The two forms are equal because $v = r\omega$. Pick the one with the quantities you have.
The centripetal acceleration is perpendicular 垂直 to the velocity at every instant — never along the direction of motion. (If part of it were along the motion, the speed would change.) Unit: $\text{m s}^{-2}$.
Why the speed does not change. The centripetal force is perpendicular to the displacement at every instant, so it does no work on the object; its kinetic energy, and so its speed, stays constant. Only the direction of the velocity changes — which is exactly what an acceleration perpendicular to the velocity does.
Worked example. The Earth is a sphere of radius $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ rotating once in $24$ hours. Cambridge is at latitude 纬度 $52.2°$ north. Find the radius of the circle in which Cambridge moves, its speed, and its centripetal acceleration. A student of mass $58.6\ \text{kg}$ stands on bathroom scales there; state and explain the effect of the rotation on the reading.
The circle is about the axis, so $r = R\cos\lambda = 6.37 \times 10^{6} \times \cos 52.2° = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$. $\omega = 2\pi/(24 \times 3600) = 7.27 \times 10^{-5}\ \text{rad s}^{-1}$, so $v = r\omega = 284\ \text{m s}^{-1}$ and $a = r\omega^{2} = 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 2.1 \times 10^{-2}\ \text{m s}^{-2}$. The student needs a resultant force $ma = 1.2\ \text{N}$ towards the axis, which can only come from the weight exceeding the upward contact force; so the scales read less than the weight $mg = 575\ \text{N}$ — by about one newton (the acceleration has a component $a\cos\lambda = 0.013\ \text{m s}^{-2}$ along the vertical, i.e. $0.7\ \text{N}$ of the $1.2\ \text{N}$). Small, but the sign and the reason are the marks.
Một vật di chuyển trên đường tròn với tốc độ không đổi vẫn có vận tốc thay đổi — phương của nó luôn thay đổi, mặc dù độ lớn không đổi. Sự thay đổi vận tốc đòi hỏi một gia tốc. Gia tốc này hướng về phía tâm và gọi là gia tốc hướng tâm.
Mô tả hai điểm. Trong chuyển động tròn đều, tốc độ không đổi nhưng vận tốc liên tục thay đổi vì phương của nó thay đổi; gia tốc không đổi về độ lớn và luôn hướng về phía tâm của đường tròn, vuông góc với vận tốc. "Nêu ý nghĩa của gia tốc hướng tâm": gia tốc của một vật di chuyển dọc theo quỹ đạo tròn, hướng về phía tâm của đường tròn.
Hai dạng thức trên bằng nhau vì $v = r\omega$. Hãy chọn dạng thức chứa các đại lượng bạn đã biết.
Gia tốc hướng tâm vuông góc với vận tốc tại mọi thời điểm — không bao giờ dọc theo phương chuyển động. (Nếu có thành phần nào đó dọc theo phương chuyển động, tốc độ sẽ thay đổi.) Đơn vị: $\text{m s}^{-2}$.
Tại sao tốc độ không thay đổi. Lực hướng tâm vuông góc với độ dịch chuyển tại mọi thời điểm, nên nó không thực hiện công lên vật; động năng của vật, và do đó tốc độ của nó, không đổi. Chỉ có phương của vận tốc thay đổi — đúng là những gì một gia tốc vuông góc với vận tốc làm được.
Ví dụ có lời giải. Trái Đất là một khối cầu bán kính $6.37 \times 10^{6}\ \text{m}$ quay một vòng trong $24$ giờ. Cambridge nằm ở vĩ độ $52.2°$ phía bắc. Tính bán kính của đường tròn mà Cambridge di chuyển, tốc độ của nó và gia tốc hướng tâm của nó. Một học sinh có khối lượng $58.6\ \text{kg}$ đứng trên cân nhà vệ sinh tại đó; hãy nêu và giải thích ảnh hưởng của sự quay lên số chỉ của cân.
Đường tròn này quanh trục, nên $r = R\cos\lambda = 6.37 \times 10^{6} \times \cos 52.2° = 3.90 \times 10^{6}\ \text{m}$. $\omega = 2\pi/(24 \times 3600) = 7.27 \times 10^{-5}\ \text{rad s}^{-1}$, do đó $v = r\omega = 284\ \text{m s}^{-1}$ và $a = r\omega^{2} = 3.90 \times 10^{6} \times (7.27 \times 10^{-5})^{2} = 2.1 \times 10^{-2}\ \text{m s}^{-2}$. Học sinh cần một hợp lực $ma = 1.2\ \text{N}$ hướng về phía trục, điều này chỉ có thể đến từ trọng lực lớn hơn lực tiếp xúc hướng lên; vì vậy, cân chỉ số nhỏ hơn trọng lực $mg = 575\ \text{N}$ — khoảng một newton (gia tốc có một thành phần $a\cos\lambda = 0.013\ \text{m s}^{-2}$ dọc theo phương thẳng đứng, tức là $0.7\ \text{N}$ của $1.2\ \text{N}$). Nhỏ, nhưng dấu và lý do chính là các điểm chấm.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| latitude/ˈlætɪtjuːd/ | vĩ độ |
| weight/weɪt/ | trọng lực |
| tension/ˈtenʃn/ | lực căng |
| friction/ˈfrɪkʃn/ | lực ma sát |
| normal contact force/ˈnɔːml ˈkɒntækt fɔːs/ | lực tiếp xúc pháp tuyến |
By Newton's second law, the resultant force 力 on a body in circular motion at constant speed is
This is the centripetal force 向心力. It always points towards the centre — perpendicular to the velocity.
The centripetal force is not a new kind of force — it is the net result of the real forces acting (tension, gravity, friction, electric attraction, normal contact force, …). In a problem, work out which real force(s) provide it.
Worked example. A $0.20\ \text{kg}$ ball on a string is whirled in a horizontal circle of radius $0.50\ \text{m}$ at $3.0\ \text{m s}^{-1}$. Find the centripetal force (the tension in the string).
where $k = 1/(4\pi\varepsilon_{0})$ and $Z$ is the nuclear charge. Solve for $v$ to get the orbital speed; then $T = 2\pi r/v$.
A ball on a string swung in a horizontal circle (a conical pendulum 圆锥摆), a ball rolling round the inside of a smooth cone, a chair on a fairground swing-ride and a car on a banked track are all the same problem: one force (the tension or the normal contact force) is tilted at an angle $\theta$ to the vertical. Resolve it. Its vertical component balances the weight; its horizontal component is the whole centripetal force:
Never add a separate "centripetal force" to the diagram: the two real forces are the weight and the tilted force, and their resultant is horizontal, towards the centre.
Worked example. A steel ball moves in a horizontal circle of radius $0.12\ \text{m}$ on the smooth inside surface of a cone whose surface makes $52°$ with the horizontal. Name the two forces on the ball, state the direction of their resultant, and find the speed of the ball and the period of its motion.
The forces are the weight (vertically down) and the normal contact force from the cone's surface (perpendicular to the surface, so at $52°$ to the vertical); their resultant is horizontal, towards the centre of the circle. Vertically $N\cos 52° = mg$; horizontally $N\sin 52° = mv^{2}/r$. Dividing: $v^{2} = rg\tan 52° = 0.12 \times 9.81 \times 1.28 = 1.51$, so $v = 1.2\ \text{m s}^{-1}$, and $T = 2\pi r/v = 2\pi \times 0.12/1.23 = 0.61\ \text{s}$. The mass cancels — the speed does not depend on it.
Worked example. A sphere of mass $0.29\ \text{kg}$ hangs from a spring of spring constant $40\ \text{N m}^{-1}$ and unstretched length $6.0\ \text{cm}$. It is set moving in a horizontal circle so that the spring makes $30°$ with the vertical. Find the tension, the radius of the circle and the speed.
Vertically $T\cos 30° = mg$, so $T = 0.29 \times 9.81/0.866 = 3.3\ \text{N}$. The extension is $x = T/k = 3.28/40 = 0.082\ \text{m}$, so the spring's length is $0.060 + 0.082 = 0.142\ \text{m}$ and $r = 0.142\sin 30° = 0.071\ \text{m}$. Horizontally $T\sin 30° = mv^{2}/r$: $v^{2} = 3.28 \times 0.5 \times 0.071/0.29 = 0.40$, $v = 0.63\ \text{m s}^{-1}$. Hooke's law supplies the length; the circle supplies the rest.
When the circle is upright, the speed is not constant (gravity does work) — but at each instant the net force towards the centre still equals $m v^{2}/r$:
Worked example. A car goes round a vertical loop of radius $2.0\ \text{m}$. Find the minimum speed at the top for the car to keep contact with the track (take $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).
At the slowest speed the track force is zero, so gravity alone provides the centripetal force: $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$, giving $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$:
The constant-speed result ($v = r\omega$, $\omega$ constant) holds for horizontal circles, or where the force only bends the path (orbits in gravity, charges in a magnetic field 磁场).
Worked example. A helium atom is modelled as a nucleus of charge $+2e$ with two electrons in the same circular orbit of radius $170\ \text{pm}$, always on opposite sides of the nucleus. Find the resultant electric force on one electron and its speed.
Each electron is attracted by the nucleus, distance $r$ away, and repelled by the other electron, distance $2r$ away, along the same line: $F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{2e^{2}}{r^{2}} - \dfrac{e^{2}}{(2r)^{2}}\right) = \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \times 1.75 = \dfrac{2.31 \times 10^{-28}}{(1.7 \times 10^{-10})^{2}} \times 1.75 = 1.4 \times 10^{-8}\ \text{N}$. This is the centripetal force: $v = \sqrt{Fr/m} = \sqrt{1.40 \times 10^{-8} \times 1.7 \times 10^{-10}/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$.
Worked example. A proton (mass $1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) moving at $2.0 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$ enters a uniform magnetic field of flux density $0.50\ \text{T}$ at right angles to the field. Find the radius of its path and the time for one revolution.
The magnetic force $Bqv$ is always perpendicular to the velocity, so it is a centripetal force and the speed is constant: $Bqv = mv^{2}/r$ gives $r = \dfrac{mv}{Bq} = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times 2.0 \times 10^{6}}{0.50 \times 1.60 \times 10^{-19}} = 4.2 \times 10^{-2}\ \text{m}$, and $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{Bq} = 1.3 \times 10^{-7}\ \text{s}$ — independent of the speed, which is why a faster proton makes a larger circle in the same time. For a satellite the gravitational force plays the same part: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, and the orbital speed and period follow from $r$ alone.
Theo định luật II Newton, hợp lực tác dụng lên một vật trong chuyển động tròn với tốc độ không đổi là
Đây là lực hướng tâm. Nó luôn hướng về phía tâm — vuông góc với vận tốc.
Lực hướng tâm không phải là một loại lực mới — nó là hợp lực của các lực thật tác dụng (lực căng, trọng lực, ma sát, lực hút điện, lực tiếp xúc phản lực, …). Trong bài tập, hãy xác định xem lực thật nào (hoặc những lực nào) tạo ra lực hướng tâm đó.
Ví dụ có lời giải. Một quả bóng $0.20\ \text{kg}$ buộc vào dây được quay tròn trong một đường tròn ngang bán kính $0.50\ \text{m}$ với tốc độ $3.0\ \text{m s}^{-1}$. Tìm lực hướng tâm (lực căng của dây).
trong đó $k = 1/(4\pi\varepsilon_{0})$ và $Z$ là điện tích hạt nhân. Giải tìm $v$ để có vận tốc quỹ đạo; sau đó $T = 2\pi r/v$.
Một quả bóng trên dây quay trong mặt phẳng ngang (lò xo hình nón), một quả bóng lăn quanh thành bên trong của một hình nón nhẵn, một chiếc ghế trên vòng quay công viên giải trí và một chiếc xe trên đường đua nghiêng đều là cùng một bài toán: một lực (lực căng dây hoặc lực tiếp xúc pháp tuyến) bị nghiêng một góc $\theta$ so với phương đứng. Phân tích nó. Thành phần đứng của nó cân bằng trọng lượng; thành phần ngang chính là toàn bộ lực hướng tâm:
Không bao giờ thêm một "lực hướng tâm" riêng biệt vào sơ đồ: hai lực thực là trọng lượng và lực bị nghiêng, và hợp lực của chúng nằm ngang, hướng về phía tâm.
Ví dụ có lời giải. Một quả bóng thép chuyển động trong đường tròn ngang bán kính $0.12\ \text{m}$ trên bề mặt nhẵn bên trong của một hình nón mà bề mặt tạo với phương ngang góc $52°$. Hãy nêu tên hai lực tác dụng lên quả bóng, phát biểu phương của hợp lực và tìm vận tốc của quả bóng cũng như chu kỳ chuyển động của nó.
Hai lực là trọng lượng (thẳng đứng xuống dưới) và lực tiếp xúc pháp tuyến từ bề mặt hình nón (vuông góc với bề mặt, do đó tạo với phương đứng góc $52°$); hợp lực của chúng nằm ngang, hướng về tâm đường tròn. Theo phương thẳng đứng $N\cos 52° = mg$; theo phương ngang $N\sin 52° = mv^{2}/r$. Chia vế: $v^{2} = rg\tan 52° = 0.12 \times 9.81 \times 1.28 = 1.51$, suy ra $v = 1.2\ \text{m s}^{-1}$, và $T = 2\pi r/v = 2\pi \times 0.12/1.23 = 0.61\ \text{s}$. Khối lượng triệt tiêu — vận tốc không phụ thuộc vào khối lượng.
Ví dụ có lời giải. Một quả cầu khối lượng $0.29\ \text{kg}$ treo vào lò xo có độ cứng $40\ \text{N m}^{-1}$ và chiều dài tự nhiên $6.0\ \text{cm}$. Cho nó chuyển động trong đường tròn ngang sao cho lò xo tạo với phương đứng góc $30°$. Tìm lực căng, bán kính đường tròn và vận tốc.
Theo phương thẳng đứng $T\cos 30° = mg$, nên $T = 0.29 \times 9.81/0.866 = 3.3\ \text{N}$. Độ dãn của lò xo là $x = T/k = 3.28/40 = 0.082\ \text{m}$, nên chiều dài của lò xo là $0.060 + 0.082 = 0.142\ \text{m}$ và $r = 0.142\sin 30° = 0.071\ \text{m}$. Theo phương ngang $T\sin 30° = mv^{2}/r$: $v^{2} = 3.28 \times 0.5 \times 0.071/0.29 = 0.40$, $v = 0.63\ \text{m s}^{-1}$. Định luật Hooke cung cấp chiều dài; đường tròn cung cấp các đại lượng còn lại.
Khi đường tròn nằm đứng, vận tốc không đổi (trọng lực sinh công) — nhưng tại mỗi thời điểm lực tổng hợp hướng về tâm vẫn bằng $m v^{2}/r$:
*Các lực tác dụng lên người ở vị trí đỉnh và đáy của đường tròn đứng
Ví dụ có lời giải. Một chiếc xe chạy qua một vòng quay đứng có bán kính $2.0\ \text{m}$. Tìm vận tốc tối thiểu ở vị trí đỉnh để xe giữ tiếp xúc với đường đua (lấy $g = 9.81\ \text{m s}^{-2}$).
Ở vận tốc chậm nhất, lực của đường đua bằng không, nên chỉ có trọng lực cung cấp lực hướng tâm: $mg = m v_{\text{min}}^{2}/r$, suy ra $v_{\text{min}} = \sqrt{gr}$:
Kết quả vận tốc không đổi ($v = r\omega$, $\omega$ không đổi) áp dụng cho các đường tròn nằm ngang, hoặc nơi lực chỉ làm cong quỹ đạo (quỹ đạo trong trường hấp dẫn, điện tích trong từ trường).
Ví dụ có lời giải. Một nguyên tử heli được mô hình hóa gồm hạt nhân mang điện $+2e$ với hai electron trên cùng một quỹ đạo tròn bán kính $170\ \text{pm}$, luôn nằm ở hai phía đối diện của hạt nhân. Tìm hợp lực điện tác dụng lên một electron và vận tốc của nó.
Mỗi electron bị hạt nhân hút, cách $r$, và bị electron kia đẩy, cách $2r$, dọc theo cùng một đường thẳng: $F = \dfrac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\left(\dfrac{2e^{2}}{r^{2}} - \dfrac{e^{2}}{(2r)^{2}}\right) = \dfrac{e^{2}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}} \times 1.75 = \dfrac{2.31 \times 10^{-28}}{(1.7 \times 10^{-10})^{2}} \times 1.75 = 1.4 \times 10^{-8}\ \text{N}$. Đây là lực hướng tâm: $v = \sqrt{Fr/m} = \sqrt{1.40 \times 10^{-8} \times 1.7 \times 10^{-10}/(9.11 \times 10^{-31})} = 1.6 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$.
Ví dụ có lời giải. Một proton (khối lượng $1.67 \times 10^{-27}\ \text{kg}$) di chuyển với vận tốc $2.0 \times 10^{6}\ \text{m s}^{-1}$ đi vào từ trường đều có cảm ứng từ $0.50\ \text{T}$ vuông góc với từ trường. Tìm bán kính quỹ đạo và thời gian cho một vòng quay.
Lực từ $Bqv$ luôn vuông góc với vận tốc, nên nó là lực hướng tâm và tốc độ không đổi: $Bqv = mv^{2}/r$ dẫn đến $r = \dfrac{mv}{Bq} = \dfrac{1.67 \times 10^{-27} \times 2.0 \times 10^{6}}{0.50 \times 1.60 \times 10^{-19}} = 4.2 \times 10^{-2}\ \text{m}$, và $T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi m}{Bq} = 1.3 \times 10^{-7}\ \text{s}$ — độc lập với tốc độ, đó là lý do vì sao một proton nhanh hơn sẽ tạo ra vòng tròn lớn hơn trong cùng một khoảng thời gian. Đối với vệ tinh, lực hấp dẫn đóng vai trò tương tự: $\dfrac{GMm}{r^{2}} = mr\omega^{2}$, và vận tốc quỹ đạo cùng chu kỳ suy ra chỉ từ $r$.
F = mv²/r
For circular motion the force needed grows with the square of the speed — double v, four times the force. · Đối với chuyển động tròn, lực cần thiết tăng theo bình phương của tốc độ — gấp đôi v, lực sẽ gấp bốn lần.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| force/fɔːs/ | lực |
| centripetal force/senˈtrɪpɪtl fɔːs/ | lực lượng hướng tâm |
| Banked corner/bæŋkt ˈkɔːnə/ | Khúc cua nghiêng |
| banked/bæŋkt/ | 倾斜 (góc nghiêng) |
| satellite/ˈsætəlaɪt/ | tinh vân |
| orbit/ˈɔːbɪt/ | quỹ đạo |
| gravitational attraction/ˌɡrævɪˈteɪʃənl əˈtrækʃn/ | lực hút hấp dẫn |
| electron/ɪˈlektrɒn/ | electron |
| electrostatic/ɪˌlektrəʊˈstætɪk/ | tĩnh điện |
| nucleus/ˈnjuːklɪəs/ | nhân |
| conical pendulum/ˈkɒnɪkl ˈpendjʊləm/ | con lắc hình nón |
| magnetic field/mæɡˈnetɪk fiːld/ | từ trường |
| radial/ˈreɪdɪəl/ | phân cực |
A definition question is marked against fixed wording. Learn these exactly, and give one answer only.
| Term | Definition |
|---|---|
| radian | the angle subtended at the centre of a circle by an arc equal in length to the radius |
| angular displacement | the angle, in radians, through which the radius has turned from its starting position |
| angular speed | the angle swept out by the radius per unit time (the rate of change of angular displacement) |
| period | the time taken for one complete revolution |
| uniform circular motion | motion in a circle at constant speed, with a velocity that changes continuously in direction and an acceleration of constant magnitude directed towards the centre |
| centripetal acceleration | the acceleration of an object moving in a circular path, directed towards the centre of the circle and perpendicular to the velocity |
| centripetal force | the resultant force on an object in circular motion, directed towards the centre, of magnitude $mv^{2}/r$ |
Câu hỏi định nghĩa được chấm dựa trên văn phong cố định. Hãy học thuộc những định nghĩa này và chỉ đưa ra một đáp án duy nhất.
| Thuật ngữ | Định nghĩa |
|---|---|
| radian | góc chắn tại tâm của đường tròn bởi một cung có độ dài bằng bán kính |
| độ lệch góc | góc, tính bằng radian, mà bán kính đã quay từ vị trí ban đầu |
| vận tốc góc | góc quét bởi bán kính trên một đơn vị thời gian (tốc độ thay đổi của độ lệch góc) |
| chu kỳ | thời gian cần thiết cho một vòng quay hoàn chỉnh |
| chuyển động tròn đều | chuyển động trong đường tròn với vận tốc không đổi, có vận tốc liên tục thay đổi hướng và gia tốc có độ lớn không đổi hướng về phía tâm |
| gia tốc hướng tâm | gia tốc của một vật chuyển động theo quỹ đạo tròn, có hướng về tâm đường tròn và vuông góc với vận tốc |
| lực hướng tâm | hợp lực tác dụng lên vật chuyển động tròn, hướng về phía tâm, có độ lớn $mv^{2}/r$ |
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.
Loading subjects… · Đang tải danh sách môn…