Đại lượng vật lý và đơn vị đo

Một đại lượng vật lý có hai phần: một con số (độ lớn) và một đơn vị. Con số riêng lẻ không cung cấp thông tin gì. Bạn cũng phải nói rõ đang đo cái gì và trong đơn vị nào.

Ví dụ: "chiều dài là 1.5" chưa hoàn chỉnh. "Chiều dài là 1.5 m" là một đại lượng vật lý.

Ước lượng

Bạn nên có thể ước lượng kích thước của các đại lượng vật lý trong chương trình này. Bài thi 1 thường bắt đầu bằng câu hỏi dạng này. Hãy học những giá trị ước lượng thô này:

• khối lượng của người trưởng thành: $\sim 70\ \text{kg}$; của ô tô: $\sim 1000\ \text{kg}$; của quả táo: $\sim 0.1\ \text{kg}$
• trọng lượng của người trưởng thành: $\sim 700\ \text{N}$; của quả táo: $\sim 1\ \text{N}$
• chiều cao người trưởng thành: $\sim 1.7\ \text{m}$; chiều cao phòng: $\sim 3\ \text{m}$
• tốc độ đi bộ: $\sim 1.5\ \text{m s}^{-1}$; của ô tô trên đường cao tốc: $\sim 30\ \text{m s}^{-1}$
• tốc độ âm thanh trong không khí: $\sim 340\ \text{m s}^{-1}$; tốc độ ánh sáng trong chân không: $3.0 \times 10^{8}\ \text{m s}^{-1}$
• gia tốc của chuyển động rơi tự do: $g \approx 9.81\ \text{m s}^{-2}$
• mật độ của nước: $1000\ \text{kg m}^{-3}$; của không khí: $\sim 1.2\ \text{kg m}^{-3}$; của thép: $\sim 8000\ \text{kg m}^{-3}$
• áp suất khí quyển: $\sim 1.0 \times 10^{5}\ \text{Pa}$
• nhiệt độ phòng: $\sim 20\ ^{\circ}\text{C} \approx 293\ \text{K}$
• công suất của ấm đun nước: $\sim 2\ \text{kW}$; của một người leo cầu thang: $\sim 300\ \text{W}$
• bước sóng ánh sáng nhìn thấy: $\sim 5 \times 10^{-7}\ \text{m}$; đường kính của nguyên tử: $\sim 10^{-10}\ \text{m}$; của hạt nhân: $\sim 10^{-15}\ \text{m}$

Một ước lượng tốt có bậc độ lớn đúng (lũy thừa của十 đúng). Đối với con người, 70 kg là một dự đoán tốt; 7 kg thì không.

Để ước lượng một đại lượng không có trong danh sách, hãy xây dựng nó từ những đại lượng có sẵn. Động năng của một chiếc ô tô đang di chuyển là $\tfrac{1}{2}mv^{2} \approx \tfrac{1}{2} \times 1000 \times 30^{2} \approx 5 \times 10^{5}\ \text{J}$. Áp suất dưới chân một người đứng là $700\ \text{N} / 0.02\ \text{m}^{2} \approx 4 \times 10^{4}\ \text{Pa}$. Luôn kiểm tra xem lũy thừa của十 có hợp lý không trước khi tiếp tục.

Đơn vị cơ bản

Hệ SI có bảy đại lượng cơ bản; năm trong số đó được sử dụng trong chủ đề này. Bạn phải biết năm đại lượng này và đơn vị của chúng:

• khối lượng — kilogram, $\text{kg}$
• chiều dài — mét, $\text{m}$
• thời gian — giây, $\text{s}$
• dòng điện — ampe, $\text{A}$
• nhiệt độ — kelvin, $\text{K}$

Mọi đơn vị khác trong chương trình này đều được xây dựng từ năm đơn vị này.

Đơn vị dẫn xuất

Một đơn vị dẫn xuất được tạo ra bằng cách nhân hoặc chia các đơn vị cơ bản. Bạn nên có thể viết bất kỳ đại lượng nào trong chương trình này dưới dạng đơn vị cơ bản.

Xây dựng một đơn vị dẫn xuất từ phương trình định nghĩa nó:

• tốc độ = quãng đường / thời gian, nên đơn vị của nó là $\text{m s}^{-1}$
• gia tốc = sự thay đổi vận tốc / thời gian, nên đơn vị của nó là $\text{m s}^{-2}$
• lực = khối lượng × gia tốc, nên đơn vị của nó là $\text{kg m s}^{-2}$. Newton là $1\ \text{N} = 1\ \text{kg m s}^{-2}$.
• công và năng lượng = lực × quãng đường, nên đơn vị là $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$. Joule là $1\ \text{J} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-2}$.
• công suất = năng lượng / thời gian, do đó đơn vị là $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$. Watt tương đương với $1\ \text{W} = 1\ \text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.
• áp suất và ứng suất = lực / diện tích, nên đơn vị là $\text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$. Pascal là $1\ \text{Pa} = 1\ \text{kg m}^{-1}\ \text{s}^{-2}$.

Khi một câu hỏi yêu cầu đơn vị cơ bản SI của một đại lượng, hãy thay thế mỗi đơn vị tên gọi bằng đơn vị cơ bản của nó, sau đó rút gọn. Ví dụ: đơn vị cơ bản SI của watt là $\text{kg m}^{2}\ \text{s}^{-3}$.

Kiểm tra tính nhất quán của đơn vị

Một phương trình là đồng nhất khi cả hai vế có cùng đơn vị cơ bản. Nói đơn giản: đơn vị ở cả hai vế khớp nhau.

Viết mỗi vế dưới dạng đơn vị cơ bản và so sánh. Lấy phương trình $v^{2} = u^{2} + 2as$:

• vế trái: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• vế phải, số hạng đầu tiên: $(\text{m s}^{-1})^{2} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$
• vế phải, số hạng thứ hai: $\text{m s}^{-2} \cdot \text{m} = \text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$

Cả hai vế đều cho $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, nên đơn vị khớp nhau.

Hãy cẩn thận: việc đơn vị khớp nhau không chứng minh toàn bộ phương trình là đúng. Nó vẫn có thể có số sai, hoặc thiếu hệ số 2. Nhưng nếu đơn vị không khớp nhau, chắc chắn phương trình là sai.

Ví dụ minh họa. Lực cản lên một quả bóng rơi được cho bởi $F = kv^{2}$, trong đó $v$ là vận tốc. Tìm đơn vị cơ bản SI của hằng số $k$.

Biến đổi: $k = F / v^{2}$. Trong đơn vị cơ bản, $F$ là $\text{kg m s}^{-2}$ và $v^{2}$ là $\text{m}^{2}\ \text{s}^{-2}$, nên

Một câu hỏi trắc nghiệm thường yêu cầu "phương trình nào có thể đúng?". Kiểm tra các đơn vị cơ bản của từng phương án; chỉ một phương trình đồng nhất mới có thể đúng. Một số thuần túy (như 2, $\pi$ hoặc $\tfrac{1}{2}$) không có đơn vị, do đó nó không bao giờ làm thay đổi kết quả kiểm tra.

Tiền tố

Một tiền tố là một chữ cái đặt phía trước đơn vị để làm cho nó lớn hơn hoặc nhỏ hơn theo lũy thừa của mười. Bạn phải biết những tiền tố này:

Để chuyển đổi đơn vị có tiền tố thành đơn vị cơ bản, hãy thay thế tiền tố bằng hệ số tương ứng, sau đó rút gọn. Ví dụ: chuyển $0.25\ \text{kN mm}^{-2}$ thành $\text{N m}^{-2}$:

Hãy đặc biệt cẩn thận với các đơn vị bình phương như $\text{mm}^{2}$: bạn cũng phải bình phương hệ số.

Mọi phép đo đều có một chút độ bất định — chúng ta không bao giờ chắc chắn hoàn toàn về giá trị. Một nhà thực hành tốt biết độ bất định xuất phát từ đâu, đưa ra ước lượng hợp lý về nó, và truyền nó vào đáp án cuối cùng.

Sai số hệ thống và ngẫu nhiên

Một sai số hệ thống làm thay đổi mọi kết quả đọc giống nhau về mặt số lượng và hướng. Bạn không thể tìm thấy nó bằng cách lặp lại phép đo. Các nguyên nhân phổ biến:

• sai số không (thang đo không đọc là zero khi giá trị thực là zero)
• sai số hiệu chuẩn (bản thân thang đo đã sai)
• lỗi thị giác (mắt bạn luôn nằm lệch về một bên so với thang đo)

Sai số hệ thống làm giảm độ chính xác, nhưng không làm thay đổi độ chính xác.

Một sai số ngẫu nhiên khiến các kết quả đọc dao động lên xuống quanh giá trị thực mà không có quy luật. Các nguyên nhân bao gồm việc bạn đọc thang đo cẩn thận đến mức nào, điều kiện thay đổi, và bước nhỏ nhất mà dụng cụ có thể hiển thị. Nếu bạn lặp lại phép đo nhiều lần và lấy giá trị trung bình, các sai số ngẫu nhiên sẽ triệt tiêu lẫn nhau một phần.

Sai số ngẫu nhiên làm giảm độ chính xác. Nhưng với đủ số lần lặp lại, giá trị trung bình vẫn có thể chính xác.

Trên biểu đồ, hai loại sai số trông khác nhau. Sai số hệ thống dịch chuyển mọi điểm bằng một lượng giống nhau, nên đường拟合 tốt nhất vẫn giữ nguyên độ dốc nhưng không còn đi qua gốc tọa độ nữa: giao điểm thay đổi. Sai số ngẫu nhiên phân tán các điểm lên xuống quanh đường; một đường拟合 tốt nhất vẽ xuyên qua giữa đám phân tán vẫn cho độ dốc đáng tin cậy.

Độ chính xác và độ tin cậy

Độ tin cậy là mức độ gần nhau của các lần đo lặp lại. Các phép đo tin cậy được phân bố rất sát nhau.

Độ chính xác là mức độ gần với giá trị thực của một phép đo (hoặc giá trị trung bình của nhiều phép đo).

Một tập hợp các phép đo có thể:

• tin cậy và chính xác — sát nhau và gần giá trị thực
• tin cậy nhưng không chính xác — sát nhau, nhưng xa giá trị thực (lỗi hệ thống)
• chính xác nhưng không tin cậy — phân tán, nhưng giá trị trung bình gần giá trị thực
• cả hai không — phân tán và xa giá trị thực

Khi đề bài cung cấp bảng các phép đo lặp lại, hãy xem xét riêng biệt độ phân tán (độ tin cậy) và giá trị trung bình (độ chính xác).

Ước lượng sai số trong một phép đo

Trước khi kết hợp các sai số, bạn cần ước lượng hợp lý cho mỗi phép đo thô:

• Một phép đo trên thang đo analogue: bằng một nửa khoảng chia nhỏ nhất (thước mét đọc đến $1\ \text{mm}$, nên một phép đo là $\pm 0.5\ \text{mm}$). Vì chiều dài cần hai phép đo, một ở mỗi đầu, nên sai số của nó là $\pm 1\ \text{mm}$.
• Đồng hồ kỹ thuật số: $\pm 1$ ở chữ số cuối cùng hiển thị (bộ đếm thời gian hiển thị $2.47\ \text{s}$ thì là $\pm 0.01\ \text{s}$).
• Đo bằng tay bấm đồng hồ: thời gian phản xạ quan trọng hơn màn hình hiển thị. Hãy dành khoảng $\pm 0.1$ đến $0.2\ \text{s}$, và đo thời gian nhiều chu kỳ thay vì một chu kỳ, để cùng một sai số được chia sẻ giữa tất cả chúng.
• Các phép đo lặp lại: sai số là một nửa phạm vi. Ba lần đo $2.42$, $2.48$ và $2.45\ \text{s}$ có giá trị trung bình là $2.45\ \text{s}$ và phạm vi là $0.06\ \text{s}$, nên $t = (2.45 \pm 0.03)\ \text{s}$.

Hãy trung thực. Nếu cạnh của bóng tối khó nhìn thấy, sai số về vị trí của nó có thể lên tới vài milimet, bất kể thang đo có tinh tế đến đâu. Giám khảo sẽ không chấp nhận "khoảng chia nhỏ nhất" là sai số của một phép đo khó khăn.

Sai số trong đại lượng suy ra

Một phép đo thường được viết dưới dạng $x \pm \Delta x$. Ở đây $\Delta x$ là sai số tuyệt đối. Sai số phần trăm là

Một đại lượng suy ra là đại lượng tính toán từ các giá trị đo được. Sai số của nó được tìm bằng các quy tắc đơn giản:

• Cộng hoặc trừ — cộng các sai số tuyệt đối. Nếu $y = a + b$ hoặc $y = a - b$, thì $\Delta y = \Delta a + \Delta b$.
• Nhân hoặc chia — cộng các sai số phần trăm. Nếu $y = \dfrac{a \cdot b}{c}$, thì
  $$\frac{\Delta y}{|y|} = \frac{\Delta a}{|a|} + \frac{\Delta b}{|b|} + \frac{\Delta c}{|c|}.$$
• Lũy thừa — nhân sai số phần trăm với số mũ. Nếu $y = a^{n}$, thì $\dfrac{\Delta y}{|y|} = |n| \cdot \dfrac{\Delta a}{|a|}$.

Ví dụ minh họa. Đường kính của một quả bóng được đo là $d = (5.26 \pm 0.02)\ \text{cm}$. Thể tích của hình cầu là $V = \tfrac{4}{3}\pi r^{3} = \tfrac{4}{3}\pi (d/2)^{3}$, nên $V \propto d^{3}$ ($V$ phụ thuộc vào $d$ lập phương).

Sai số phần trăm trong $d$ là

Vì $V \propto d^{3}$, sai số phần trăm trong $V$ gấp ba lần giá trị này, khoảng $1.14\%$. Thể tích là $\tfrac{4}{3}\pi(2.63)^{3} \approx 76.2\ \text{cm}^{3}$. Vậy sai số tuyệt đối là $0.0114 \times 76.2 \approx 0.87\ \text{cm}^{3}$. Kết quả cuối cùng là $V = (76.2 \pm 0.9)\ \text{cm}^{3}$.

Hai giá trị có phù hợp không? Các câu hỏi thực hành thường yêu cầu xem xét hai giá trị hằng số tính toán có hỗ trợ mối quan hệ được gợi ý hay không. Đừng chỉ nói "chúng gần nhau". Hãy tính sai số phần trăm giữa chúng,

và so sánh nó với sai số phần trăm trong $k$ (hoặc với tiêu chí mà đề bài đưa ra, thường là 10%). Nếu sai số nhỏ hơn, hai giá trị phù hợp trong giới hạn sai số và mối quan hệ được hỗ trợ. Nếu lớn hơn, chúng không phù hợp.

Chữ số có nghĩa

Khi viết một đại lượng tính toán, hãy dùng cùng số chữ số có nghĩa với phép đo kém chính xác nhất bạn đã sử dụng — thường là hai hoặc ba trong chương trình học này. Quá nhiều chữ số có nghĩa làm đáp án trông chính xác hơn thực tế. Quá ít sẽ mất thông tin hữu ích.

Các bài thi thực hành yêu cầu bạn giải thích số lượng chữ số có nghĩa mà bạn đã chọn. Nêu tên các phép đo thô: "$a$ được cho là có 2 chữ số có nghĩa vì $L$ và $t$ đều được đo với 2 chữ số có nghĩa." Cụm từ "vì dữ liệu thô" nếu đứng một mình sẽ không được điểm. Trong bảng kết quả, hãy đánh giá từng hàng dựa trên phép đo thô kém chính xác nhất trong hàng đó; đừng ép buộc mọi hàng phải có cùng số chữ số.

Sai số trên đồ thị

Paper 5 yêu cầu bạn truyền sai số qua đồ thị:

• Vẽ mỗi điểm kèm theo thanh sai số có độ dài biểu thị sai số tuyệt đối của giá trị đó.
• Vẽ đường tốt nhất qua các điểm, sau đó vẽ đường xấu nhất chấp nhận được: đường thẳng dốc nhất (hoặc nông nhất) vẫn còn đi qua mọi thanh sai số.
• Sai số trong độ dốc là hiệu giữa hai độ dốc, $\Delta m = |m_{\text{best}} - m_{\text{worst}}|$. Sai số trong tung độ gốc được tìm theo cách tương tự.
• Khi vẽ đồ thị logarit, sai số tuyệt đối của $\ln x$ là $\Delta x / x$ (và của $\lg x$ là $0.434\,\Delta x / x$). Hãy tính toán cho giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của $x$ riêng biệt.

Sai số phần trăm trong độ dốc sau đó được áp dụng vào bất kỳ đại lượng nào bạn tính toán từ nó, sử dụng các quy tắc ở trên.

Một đại lượng vô hướng chỉ có độ lớn. Một đại lượng hữu hướng có cả độ lớn và phương hướng.

Ví dụ từ chương trình:

• đại lượng vô hướng: khối lượng, thời gian, nhiệt độ, năng lượng, công, công suất, quãng đường, tốc độ, áp suất, mật độ, điện tích
• đại lượng hữu hướng: vị trí, vận tốc, gia tốc, lực (bao gồm trọng lượng), động lượng

Kiểm tra nhanh: nếu việc hỏi "theo hướng nào?" có ý nghĩa, thì đại lượng đó là một vector. Bạn không thể hỏi "nhiệt độ theo hướng nào?", do đó nhiệt độ là một đại lượng vô hướng. Bạn có thể hỏi "vận tốc theo hướng nào?", do đó vận tốc là một đại lượng hữu hướng.

Cộng và trừ các vector

Một vector được vẽ dưới dạng mũi tên: phương hướng của mũi tên cho biết phương hướng của đại lượng, và chiều dài của mũi tên (vẽ theo tỷ lệ) cho biết độ lớn.

Để cộng hai vector đồng phẳng (các vector nằm trong cùng một mặt phẳng phẳng), hãy vẽ chúng đầu nối đuôi. Vector tổng hợp đi từ đuôi của mũi tên đầu tiên đến đầu của mũi tên thứ hai.

Để tìm $\vec{X} - \vec{Y}$, hãy cộng vector ngược lại của $\vec{Y}$: $\vec{X} + (-\vec{Y})$. Vector ngược lại của $\vec{Y}$ có cùng độ lớn với $\vec{Y}$ nhưng chỉ theo hướng ngược lại.

Nếu hai vector vuông góc nhau (90°), độ lớn của vector tổng hợp là

và phương hướng của nó đến từ $\tan\theta = Y / X$.

Ví dụ minh họa. Một người bơi hướng về phía bắc với tốc độ $1.2\ \text{m s}^{-1}$ qua một dòng sông chảy về phía đông với tốc độ $0.5\ \text{m s}^{-1}$. Tìm độ lớn và phương hướng của vận tốc tổng hợp.

Hai vận tốc này vuông góc nhau, do đó

tại một góc $\tan\theta = 0.5/1.2$, cho kết quả $\theta \approx 23°$ về phía đông của bắc.

Nếu hai vector có cùng độ lớn $F$ với góc $2\alpha$ giữa chúng, vector tổng hợp có độ lớn $2F\cos\alpha$ và nằm trên đường thẳng chia đôi góc đó.

Ví dụ minh họa. Hai lực có độ lớn $6.0\ \text{N}$ tác động lên một vật với góc $60°$ giữa chúng. Tìm vector tổng hợp.

Ở đây $2\alpha = 60°$, do đó $\alpha = 30°$ và $R = 2 \times 6.0 \times \cos 30° = 10.4\ \text{N}$, nằm trên đường thẳng nằm giữa hai lực. Phân tích cho thấy kết quả tương tự: mỗi lực có một thành phần $6.0\cos 30°$ dọc theo đường thẳng đó, và các thành phần vuông góc với nó triệt tiêu lẫn nhau.

Đối với hai vector ở bất kỳ góc nào khác, hãy либо vẽ biểu đồ tỷ lệ của tam giác vector và đo vector tổng hợp, либо phân tích cả hai vector thành các thành phần vuông góc, cộng các thành phần lại, và tổ hợp lại bằng $\sqrt{X^{2} + Y^{2}}$.

Ví dụ minh họa. Một quả bóng di chuyển về phía đông với tốc độ $5.0\ \text{m s}^{-1}$ bị đánh sao cho nó di chuyển về phía bắc với tốc độ $5.0\ \text{m s}^{-1}$. Tìm sự thay đổi vận tốc của nó.

Sự thay đổi vận tốc là phép trừ vector: $\Delta\vec{v} = \vec{v}_{\text{final}} - \vec{v}_{\text{initial}}$. Vẽ $5.0\ \text{m s}^{-1}$ hướng bắc, sau đó cộng vector ngược lại của vận tốc ban đầu, $5.0\ \text{m s}^{-1}$ hướng tây. Hai vector này vuông góc nhau, do đó $|\Delta\vec{v}| = \sqrt{5.0^{2} + 5.0^{2}} = 7.1\ \text{m s}^{-1}$, chỉ hướng tây-bắc. Tốc độ không thay đổi, nhưng vận tốc đã thay đổi. Đó là lý do tại sao phải có một lực tác động lên quả bóng (chủ đề 3).

Chia một vector thành các thành phần vuông góc

Bất kỳ vector nào cũng có thể được chia thành hai thành phần vuông góc (vuông góc nhau). Thông thường những thành phần này là ngang và dọc, hoặc dọc và ngang bề mặt. Đối với một vector $\vec{v}$ tạo với phương ngang một góc $\theta$:

Chọn các hướng làm cho bài toán trở nên dễ dàng nhất. Trên một mặt nghiêng (mặt phẳng nghiêng), hãy chia trọng lượng thành một phần dọc theo mặt nghiêng và một phần vuông góc với nó:

trong đó $\theta$ là góc nghiêng của mặt phẳng so với phương ngang.

Bạn phân tách một vector thành các thành phần bất cứ khi nào cần biết bao nhiêu phần của nó tác dụng theo một hướng nhất định. Ví dụ: phần của lực tác dụng dọc theo mặt phẳng, hoặc các thành phần ngang và dọc theo phương đứng của vận tốc quả bóng sau khi bị ném đi.

Câu hỏi định nghĩa được chấm dựa trên văn phong cố định. Hãy học thuộc những định nghĩa này và chỉ đưa ra một đáp án duy nhất.

• Đưa đơn vị cho mọi câu trả lời, và kiểm tra tính đồng dạng — hai vế của phương trình phải có cùng đơn vị cơ bản.
• Phân biệt sai số ngẫu nhiên (giảm đi bằng cách lặp lại và lấy trung bình) khỏi sai số hệ thống (sai số số 0 hoặc hiệu chuẩn mà việc lặp lại không loại bỏ được).
• Kết hợp sai số: cộng sai số tuyệt đối khi cộng/trừ, cộng sai số phần trăm khi nhân/chia (và nhân % với bất kỳ số mũ nào).
• Phân biệt độ chính xác (precision) (sự phân tán nhỏ) khỏi độ chính xác (accuracy) (gần giá trị thực).
• Phân giải vector thành các thành phần vuông góc ($F\cos\theta$, $F\sin\theta$); cộng các vector đầu nối đuôi hoặc bằng cách cộng các thành phần.

Lỗi thường gặp

• Thay thế 5 cm bằng 5, hoặc 20 g bằng 20. Chuyển đổi tiền tố trước: 0.05 m, 0.020 kg.
• Cho rằng sai số phần trăm trong $T^{2}$ giống như trong $T$. Squaring gấp đôi nó; căn bậc hai chia đôi nó.
• Xem xét sai số phần trăm và sai số tuyệt đối như cùng một con số.
• Trích dẫn "độ chia nhỏ nhất" như là sai số của một giá trị đọc được khó thu thập.
• Đưa ra hai câu trả lời cho một định nghĩa. Cam kết chọn một.

Nhận diện các đại lượng và ước lượng

Phân biệt đại lượng với đơn vị của nó: nhiệt độ đo bằng kelvin, thời gian bằng giây hoặc phút, hiệu điện thế bằng volt, và hằng số lò xo bằng N/m. Một đại lượng có độ lớn số học có thể đo được; tên đơn vị hay một danh mục đơn lẻ không mô tả được đại lượng. Giá trị có thể là phân số và đơn vị có thể không thuộc hệ SI. Ánh sáng nhìn thấy có bước sóng khoảng 400–700 nm; màu xanh lục khoảng 540 nm ($1\ \mathrm{nm}=10^{-9}\ \mathrm m$).