A-Level Further Mathematics · Toán nâng cao A-Level · Topic 3 · Chủ đề 3
8:04
Cơ học Nâng cao
Ném một quả bóng, phóng một luồng nước, hay phóng bất cứ vật gì lên không trung — và tất cả đều vẽ nên cùng một đường cong thanh lịch: parabol. Bí mật nằm ở việc tách chuyển động thành hai phần.…
English narration · English + 中文 subtitles burned in · Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp
This handout covers Topic 3: Further Mechanics 进阶力学. It extends mechanics to projectiles, rigid bodies, circular motion, elastic strings, variable forces and collisions. Take $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
Tài liệu này bao gồm Chủ đề 3: Cơ học nâng cao. Nó mở rộng cơ học sang vật rơi, vật rắn, chuyển động tròn, dây đàn hồi, lực biến thiên và va chạm. Take $g = 10\ \text{m s}^{-2}$.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • model the motion of a projectile as a particle moving with constant acceleration and understand any limitations of the model | Vector methods are not required |
| • use horizontal and vertical equations of motion to solve problems on the motion of projectiles, including finding the magnitude and direction of the velocity at a given time or position, the range on a horizontal plane and the greatest height reached | |
| • derive and use the Cartesian equation of the trajectory of a projectile, including problems in which the initial speed and/or angle of projection may be unknown. | Knowledge of the 'bounding parabola' for accessible points is not included. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • mô hình hóa chuyển động của vật ném như một chất điểm chuyển động với gia tốc không đổi và hiểu bất kỳ giới hạn nào của mô hình | Phương pháp véc-tơ không yêu cầu |
| • sử dụng phương trình chuyển động theo phương ngang và phương đứng để giải các bài toán về chuyển động của vật ném, bao gồm tìm độ lớn và hướng của vận tốc tại một thời điểm hoặc vị trí cho trước, tầm xa trên mặt phẳng nằm ngang và độ cao cực đại đạt được | |
| • suy ra và sử dụng phương trình Cartesian của quỹ đạo một vật bay, bao gồm các bài toán mà vận tốc ban đầu và/hoặc góc ném có thể chưa biết. | Kiến thức về 'đường cong_parabol giới hạn' cho các điểm tiếp cận được không bao gồm. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
A projectile 抛射体 moves freely under gravity, so it has constant acceleration 匀加速 $g$ downwards and no horizontal acceleration. Treat the horizontal and vertical motions separately. If it is launched at speed $u$ and angle $\alpha$:
Worked example. A ball is thrown at $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ at $30^\circ$ to the horizontal. Find the range and greatest height.
Một vật rơi chuyển động tự do dưới tác dụng của trọng lực, vì vậy nó có gia tốc không đổi $g$ hướng xuống và không có gia tốc theo phương ngang. Xem xét riêng biệt chuyển động theo phương ngang và phương dọc. Nếu nó được phóng đi với vận tốc $u$ và góc $\alpha$:
Ví dụ có hướng dẫn. Một quả bóng được ném với vận tốc $u = 20\ \text{m s}^{-1}$ ở góc $30^\circ$ so với phương ngang. Tìm quãng đường bay và độ cao cực đại.
Fire the ball, then change the angle and speed. The horizontal motion is steady while gravity pulls it down — together they trace a parabola. Find the angle for the longest range, and try the Moon. · Bắn bóng, sau đó thay đổi góc và tốc độ. Chuyển động ngang diễn ra đều trong khi trọng lực kéo xuống — kết hợp chúng tạo thành đường cong parabol. Tìm góc để tầm bay xa nhất, và thử trên Mặt Trăng.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| Further Mechanics/ˈfɜːðə mɪˈkænɪks/ | Cơ học Nâng cao |
| projectile/prəˈdʒektaɪl/ | vật bay |
| constant acceleration/ˈkɒnstənt əkˌseləˈreɪʃn/ | gia tốc không đổi |
| Cartesian equation/kɑːˈtiːzɪən ɪˈkweɪʒn/ | phương trình Descartes |
| trajectory/trəˈdʒektəri/ | quỹ đạo |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| • calculate the moment of a force about a point | For questions involving coplanar forces only; understanding of the vector nature of moments is not required. |
| • use the result that the effect of gravity on a rigid body is equivalent to a single force acting at the centre of mass of the body, and identify the position of the centre of mass of a uniform body using considerations of symmetry | |
| • use given information about the position of the centre of mass of a triangular lamina and other simple shapes | Proofs of results given in the MF19 List of formulae are not required. |
| • determine the position of the centre of mass of a composite body by considering an equivalent system of particles | Simple cases only, e.g. a uniform L-shaped lamina, or a uniform cone joined at its base to a uniform hemisphere of the same radius. |
| • use the principle that if a rigid body is in equilibrium under the action of coplanar forces then the vector sum of the forces is zero and the sum of the moments of the forces about any point is zero, and the converse of this | |
| • solve problems involving the equilibrium of a single rigid body under the action of coplanar forces, including those involving toppling or sliding. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • tính momen lực của một lực đối với một điểm | Chỉ áp dụng cho các câu hỏi liên quan đến lực đồng phẳng; hiểu bản chất vectơ của momen lực không yêu cầu. |
| • sử dụng kết quả rằng tác dụng của trọng lực lên một vật rắn tương đương với một lực đơn lẻ tác dụng tại trọng tâm của vật, và xác định vị trí trọng tâm của một vật đều bằng cách xem xét sự đối xứng | |
| • sử dụng thông tin đã cho về vị trí trọng tâm của một tấm mỏng hình tam giác và các hình dạng đơn giản khác | Chứng minh các kết quả trong Danh sách công thức MF19 không yêu cầu. |
| • xác định vị trí trọng tâm của một vật hợp thành bằng cách xem xét một hệ hạt tương đương | Chỉ các trường hợp đơn giản, ví dụ: tấm mỏng hình L đều, hoặc một nón đều nối ở đáy với một bán cầu đều có cùng bán kính. |
| • sử dụng nguyên lý rằng nếu một vật rắn ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của các lực đồng phẳng thì tổng vectơ của các lực bằng không và tổng momen của các lực đối với bất kỳ điểm nào cũng bằng không, và điều kiện ngược lại của nó | |
| • giải các bài toán liên quan đến sự cân bằng của một vật rắn duy nhất dưới tác dụng của các lực đồng phẳng, bao gồm cả những bài toán liên quan đến ngả đổ hoặc trượt. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
The moment 力矩 of a force about a point is force $\times$ perpendicular distance; it measures turning effect. The weight of a body acts at its centre of mass 质心, which you can find using symmetry 对称 for a uniform flat shape (a lamina 薄片), or by treating a composite body as a set of particles.
A rigid body under coplanar forces 共面力 is in equilibrium 平衡 when two conditions both hold: the vector sum of the forces is zero, and the sum of the moments about any point is zero. A body may also be on the edge of toppling 翻倒 (turning over) or sliding 滑动 (slipping).
Worked example. A uniform beam $AB$ of length $4\ \text{m}$ and weight $100\ \text{N}$ rests on a pivot at $A$. A vertical force $F$ at $B$ keeps it horizontal. Find $F$.
Take moments about $A$ (the weight acts at the centre, $2\ \text{m}$ from $A$):
Momen của lực đối với một điểm là lực $\times$ nhân khoảng cách vuông góc; nó đo lường hiệu ứng quay. Trọng lực của vật tác dụng tại trọng tâm, mà bạn có thể tìm thấy bằng cách dùng tính đối xứng đối với hình phẳng đồng nhất (một tấm mỏng), hoặc bằng cách coi vật tổng hợp là tập hợp các hạt.
Một vật rắn chịu lực cùng phẳng处于 cân bằng khi cả hai điều kiện đều thỏa mãn: tổng vector của các lực bằng không, và tổng momen đối với bất kỳ điểm nào bằng không. Một vật cũng có thể ở trạng thái gần như ngả (lật) hoặc trượt (khai trượt).
Ví dụ có hướng dẫn. Một thanh đồng nhất $AB$ dài $4\ \text{m}$ và nặng $100\ \text{N}$ đặt trên bản lề tại $A$. Một lực thẳng đứng $F$ tại $B$ giữ cho nó nằm ngang. Tìm $F$.
Lấy momen đối với $A$ (trọng lực tác dụng tại trung tâm, $2\ \text{m}$ từ $A$):
resultant = 0 · tổng hợp = 0
A body is in equilibrium when the forces add tip-to-tail back to zero. · Một vật处于 cân bằng khi các lực cộng đầu-nối-đuôi trở về không.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| moment/ˈməʊmənt/ | thời điểm |
| centre of mass/ˈsentə ɒv mæs/ | tâm khối lượng |
| symmetry/ˈsɪmətri/ | sự đối xứng |
| equilibrium/ˌiːkwɪˈlɪbrɪəm/ | cân bằng |
| toppling/ˈtɒplɪŋ/ | ngả đổ |
| sliding/ˈslaɪdɪŋ/ | trượt |
| angular speed/ˈæŋɡjʊlə spiːd/ | vận tốc góc |
| centripetal acceleration/senˈtrɪpɪtl əkˌseləˈreɪʃn/ | gia tốc hướng tâm |
| horizontal circle/ˌhɒrɪˈzɒntl ˈsɜːkl/ | vòng tròn ngang |
| vertical circle/ˈvɜːtɪkl ˈsɜːkl/ | vòng tròn đứng |
| Hooke's law/hʊks lɔː/ | định luật Hooke |
| modulus of elasticity/ˈmɒdjʊləs ɒv ɪlæˈstɪsɪti/ | mô-đun đàn hồi |
| elastic potential energy/ɪˈlæstɪk pəˈtenʃl ˈenədʒi/ | hằng số lò xo và bình phương độ giãn |
| differential equation/ˌdɪfəˈrenʃl ɪˈkweɪʒn/ | phương trình vi phân |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| understand the concept of angular speed for a particle moving in a circle, and use the relation $v = r\omega$ | |
| understand that the acceleration of a particle moving in a circle with constant speed is directed towards the centre of the circle, and use the formulae $r\omega^2$ and $\frac{v^2}{r}$. | Proof of the acceleration formulae is not required. |
| solve problems which can be modelled by the motion of a particle moving in a horizontal circle with constant speed | |
| solve problems which can be modelled by the motion of a particle in a vertical circle without loss of energy. | Including finding a normal contact force or the tension in a string, locating points at which these are zero, and conditions for complete circular motion. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • hiểu khái niệm tốc độ góc của một hạt chuyển động trên đường tròn, và sử dụng hệ thức $v = r\omega$ | |
| • hiểu rằng gia tốc của một hạt chuyển động trên đường tròn với tốc độ không đổi hướng vào tâm đường tròn, và sử dụng các công thức $r\omega^2$ và $\frac{v^2}{r}$. | Chứng minh các công thức gia tốc không yêu cầu. |
| • giải các bài toán có thể mô hình hóa bằng chuyển động của một hạt chuyển động trên đường tròn nằm ngang với tốc độ không đổi | |
| • giải các bài toán có thể mô hình hóa bằng chuyển động của một hạt trên đường tròn đứng mà không mất năng lượng. | Bao gồm tìm lực pháp tuyến tiếp xúc hoặc lực căng trong dây, xác định các điểm tại đó các lực này bằng không, và các điều kiện để chuyển động tròn hoàn toàn. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
For a particle moving in a circle of radius $r$, the angular speed 角速度 $\omega$ links to the speed by $v = r\omega$. The acceleration points towards the centre — the centripetal acceleration 向心加速度 — with size
In a horizontal circle 水平圆 the speed is constant — as in a conical pendulum 圆锥摆 (a mass swung on a string). In a vertical circle 竖直圆 use energy conservation, because the speed changes with height; the normal contact force 法向接触力 or string tension provides the centripetal force.
Worked example. A particle moves in a horizontal circle of radius $2\ \text{m}$ with angular speed $3\ \text{rad s}^{-1}$. Find its speed and acceleration.
Đối với một hạt chuyển động trong vòng tròn bán kính $r$, tốc độ góc $\omega$ liên kết với vận tốc qua $v = r\omega$. Gia tốc hướng về phía tâm — gia tốc hướng tâm — có độ lớn
Trong vòng tròn nằm ngang, vận tốc không đổi — như trong con lắc nón (mô mass treo trên dây). Trong vòng tròn đứng, sử dụng bảo toàn năng lượng, vì vận tốc thay đổi theo độ cao; lực tiếp xúc pháp tuyến hoặc lực căng dây cung cấp gia tốc hướng tâm.
Ví dụ có hướng dẫn. Một hạt chuyển động trong vòng tròn nằm ngang bán kính $2\ \text{m}$ với tốc độ góc $3\ \text{rad s}^{-1}$. Tìm vận tốc và gia tốc của nó.
Circular motion is measured in radians: drag the angle θ and radius r to see the arc swept — angular speed ω turns this into v = rω. · Chuyển động tròn được đo bằng radian: kéo góc θ và bán kính r để xem cung quét qua — tốc độ góc ω biến điều này thành v = rω.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| use Hooke’s law as a model relating the force in an elastic string or spring to the extension or compression, and understand the term modulus of elasticity | |
| use the formula for the elastic potential energy stored in a string or spring | Proof of the formula is not required. |
| solve problems involving forces due to elastic strings or springs, including those where considerations of work and energy are needed. | e.g. a particle moving horizontally or vertically or on an inclined plane while attached to one or more strings or springs, or a particle attached to an elastic string acting as a 'conical pendulum'. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • sử dụng Định luật Hooke như một mô hình liên hệ giữa lực trong một sợi dây đàn hồi hoặc lò xo với độ dãn hoặc độ nén, và hiểu thuật ngữ mô đun đàn hồi | |
| • sử dụng công thức cho thế năng đàn hồi tích trữ trong một sợi dây hoặc lò xo | Chứng minh công thức không yêu cầu. |
| • giải các bài toán liên quan đến lực do sợi dây đàn hồi hoặc lò xo gây ra, bao gồm cả những bài toán cần xem xét công và năng lượng. | Ví dụ: một hạt chuyển động theo phương ngang, phương đứng hoặc trên mặt phẳng nghiêng khi gắn với một hoặc nhiều sợi dây/lò xo, hoặc một hạt gắn với một sợi dây đàn hồi đóng vai trò như con lắc hình nón. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
Hooke's law 胡克定律 says the tension in an elastic string or spring is proportional to its extension $x$:
Worked example. An elastic string of natural length $2\ \text{m}$ and modulus $50\ \text{N}$ is stretched by $0.5\ \text{m}$. Find the tension and the stored energy.
Định luật Hooke nói rằng lực căng trong một sợi dây đàn hồi hoặc lò xo tỷ lệ thuận với độ dãn $x$:
Ví dụ có hướng dẫn. Một sợi dây đàn hồi có chiều dài tự nhiên $2\ \text{m}$ và mô đun $50\ \text{N}$ bị kéo dãn thêm $0.5\ \text{m}$. Tìm lực căng và năng lượng được lưu trữ.
F = k·x
Force is proportional to extension — the gradient is the stiffness k. · Lực tỷ lệ thuận với độ giãn — độ dốc là độ cứng k.
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| solve problems which can be modelled as the linear motion of a particle under the action of a variable force, by setting up and solving an appropriate differential equation. | Including use of $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ for acceleration, where appropriate. Calculus required is restricted to content from Pure Mathematics 3 in Cambridge International A Level Mathematics (9709). Only differential equations in which the variables are separable are included. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • giải các bài toán có thể mô hình hóa là chuyển động thẳng của một hạt dưới tác dụng của lực biến thiên, bằng cách thiết lập và giải một phương trình vi phân thích hợp. | Bao gồm việc sử dụng $v \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}x}$ cho gia tốc, tùy thuộc vào từng trường hợp. Giải tích yêu cầu bị giới hạn ở nội dung từ Toán học thuần túy 3 trong Chương trình A Level Quốc tế Cambridge (9709). Chỉ bao gồm các phương trình vi phân mà các biến số có thể tách rời. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
When the force depends on position $x$, use acceleration in the form $a = v\dfrac{dv}{dx}$, which turns Newton's law into a differential equation 微分方程 relating $v$ and $x$.
Worked example. A particle of mass $8\ \text{kg}$ moves along a line under a variable force 变力 of size $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ acting in the direction of motion. When $x = 0$, $v = 1$. Find $v$ in terms of $x$.
Newton's law gives $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Separating and integrating:
Khi lực phụ thuộc vào vị trí $x$, hãy sử dụng gia tốc dưới dạng $a = v\dfrac{dv}{dx}$, biến định luật Newton thành một phương trình vi phân liên hệ $v$ và $x$.
Ví dụ minh họa. Một hạt có khối lượng $8\ \text{kg}$ chuyển động dọc theo một đường thẳng dưới tác dụng của lực biến thiên có độ lớn $(x^3 + 4x)\ \text{N}$ theo hướng chuyển động. Khi $x = 0$, $v = 1$. Tìm $v$ theo $x$.
Định luật Newton cho $8v\dfrac{dv}{dx} = x^3 + 4x$. Tách biến và lấy tích phân:
W = ∫ F dx
When the force changes, the work done is the area under the force–distance graph. · Khi lực thay đổi, công thực hiện là diện tích dưới đồ thị lực–quãng đường.
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| variable force/ˈveərɪəbl fɔːs/ | lực biến thiên |
| conservation of momentum/ˌkɒnsəˈveɪʃn ɒv məʊˈmentəm/ | bảo toàn động lượng |
| Newton's experimental law/ˈnjuːtnz ekˌsperɪˈmentl lɔː/ | định luật thực nghiệm Newton |
| coefficient of restitution/ˌkəʊɪˈfɪʃənt ɒv rɪstɪˈtjuːʃn/ | hệ số phục hồi |
| bounding parabola/ˈbaʊndɪŋ pəˈræbələ/ | parabol giới hạn |
| lamina/ˈlæmɪnə/ | phiên bản |
| coplanar forces/ˌkəʊˈpleɪnə ˈfɔːsɪz/ | lực đồng phẳng |
| conical pendulum/ˈkɒnɪkl ˈpendjʊləm/ | con lắc hình nón |
| normal contact force/ˈnɔːml ˈkɒntækt fɔːs/ | lực tiếp xúc pháp tuyến |
| oblique impact/əˈbliːk ˈɪmpækt/ | va chạm xiên |
| Candidates should be able to: | Notes and examples |
|---|---|
| recall Newton’s experimental law and the definition of the coefficient of restitution, the property $0 \leqslant e \leqslant 1$, and the meaning of the terms ‘perfectly elastic’ ($e = 1$) and ‘inelastic’ ($e = 0$) | |
| use conservation of linear momentum and/or Newton’s experimental law to solve problems that may be modelled as the direct or oblique impact of two smooth spheres, or the direct or oblique impact of a smooth sphere with a fixed surface. |
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • nhớ lại Định luật thực nghiệm của Newton và định nghĩa của hệ số phục hồi, tính chất $0 \leqslant e \leqslant 1$, và ý nghĩa của các thuật ngữ ‘đàn hồi hoàn toàn” ($e = 1$) và ‘không đàn hồi” ($e = 0$) | |
| • sử dụng động lượng bảo toàn và/hoặc Định luật thực nghiệm của Newton để giải các bài toán có thể mô hình hóa là va chạm trực diện hoặc va chạm xiên của hai quả cầu trơn, hoặc va chạm trực diện hoặc va chạm xiên của một quả cầu trơn với bề mặt cố định. |
Source: Cambridge International syllabus · Nguồn: Chương trình Cambridge International
In a collision, total linear momentum is conserved — the conservation of linear momentum 动量守恒. The bounciness is measured by Newton's experimental law 牛顿实验定律, which defines the coefficient of restitution 恢复系数 $e$:
Worked example. A sphere $A$ of mass $2\ \text{kg}$ moving at $5\ \text{m s}^{-1}$ hits a stationary sphere $B$ of mass $3\ \text{kg}$, with $e = 0.5$. Find the speeds afterwards.
Momentum: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, so $2v_A + 3v_B = 10$. Restitution: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Solving together gives $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ and $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
Trong một va chạm, tổng động lượng tuyến tính được bảo toàn — định luật bảo toàn động lượng tuyến tính. Độ đàn hồi được đo bằng định luật thực nghiệm của Newton, định nghĩa hệ số phục hồi $e$:
Ví dụ minh họa. Một quả cầu $A$ có khối lượng $2\ \text{kg}$ chuyển động với tốc độ $5\ \text{m s}^{-1}$ va chạm với một quả cầu đứng yên $B$ có khối lượng $3\ \text{kg}$, với $e = 0.5$. Tìm tốc độ sau va chạm.
Động lượng: $2(5) = 2v_A + 3v_B$, suy ra $2v_A + 3v_B = 10$. Hệ số phục hồi: $v_B - v_A = 0.5(5) = 2.5$. Giải hệ phương trình ta thu được $v_A = 0.5\ \text{m s}^{-1}$ và $v_B = 3.0\ \text{m s}^{-1}$.
Set each mass and speed, then collide them. Total momentum is conserved — see how the velocities come out. · Đặt khối lượng và vận tốc cho từng vật, sau đó va chạm. Tổng động lượng được bảo toàn — hãy xem vận tốc cuối cùng như thế nào.
Work through it step by step, with instant-check exercises. · Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.
Loading subjects… · Đang tải danh sách môn…