Tài liệu này bao gồm Chủ đề 1: Toán Học Thuần更深入 1. Nội dung bổ sung đại số mới, ma trận, tọa độ cực, thêm vectơ và chứng minh bằng quy nạp.
Toán Nâng cao 1
Toán nâng cao A-Level · Chủ đề 1
14:28
Toán Nâng cao 1
Đây là một phương trình bậc ba, cắt trục hoành tại ba nghiệm. Tìm chính xác các nghiệm này có thể khó khăn — hoặc thậm chí không thể bằng tay. Nhưng đây là một cái đẹp…
Giọng đọc tiếng Anh · phụ đề tiếng Anh + 中文 được ghi trực tiếp
1.1
Nghiệm của phương trình đa thức
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • nhớ lại và sử dụng các mối quan hệ giữa gốc và hệ số của phương trình đa thức | ví dụ: để đánh giá các hàm đối xứng của gốc hoặc để giải các bài toán liên quan đến hệ số chưa biết trong phương trình; chỉ giới hạn ở phương trình bậc 2, 3 hoặc 4. |
| • sử dụng phép thế để thu được một phương trình có gốc liên hệ đơn giản với gốc của phương trình ban đầu | Phép thế sẽ không được cung cấp cho các trường hợp dễ nhất, ví dụ nơi các gốc mới là nghịch đảo hoặc bình phương hoặc là hàm tuyến tính đơn giản của các gốc cũ. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Đối với một phương trình đa thức, các nghiệm liên quan đến các hệ số. Với $ax^2 + bx + c = 0$ có nghiệm $\alpha, \beta$:
$$\alpha + \beta = -\frac{b}{a}, \qquad \alpha\beta = \frac{c}{a}.$$
Đối với một đa thức bậc ba $ax^3 + bx^2 + cx + d = 0$ có nghiệm $\alpha, \beta, \gamma$:
$$\sum\alpha = -\frac{b}{a}, \qquad \sum\alpha\beta = \frac{c}{a}, \qquad \alpha\beta\gamma = -\frac{d}{a}.$$
Các tổng như $\sum\alpha$ và $\sum\alpha\beta$ là hàm đối xứng của các nghiệm (không thay đổi nếu hoán vị các nghiệm). Để tìm phương trình có nghiệm bị thay đổi theo cách đơn giản, hãy sử dụng phép thế (ví dụ, đặt $w = \alpha + 1$).
Ví dụ minh họa. Phương trình $x^2 - 5x + 6 = 0$ có nghiệm $\alpha, \beta$. Tìm phương trình có nghiệm $\alpha + 1, \beta + 1$.
Ở đây $\alpha + \beta = 5$ và $\alpha\beta = 6$. Tổng mới là $(\alpha + 1) + (\beta + 1) = 7$, và tích mới là $(\alpha + 1)(\beta + 1) = \alpha\beta + \alpha + \beta + 1 = 6 + 5 + 1 = 12$. Vậy phương trình mới là
$$x^2 - 7x + 12 = 0.$$
Khám phá
Nghiệm của đa thức
y = ax³ + bx² + cx + d
Nghiệm là nơi đường cong cắt trục x — tổng và tích của chúng liên hệ với các hệ số.
1.2
Hàm hữu tỉ và đồ thị
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • phác thảo đồ thị của các hàm hữu tỉ đơn giản, bao gồm xác định tiệm xiên, trong trường hợp mà bậc của tử số và mẫu số đều không quá 2 | Bao gồm xác định tập giá trị mà hàm nhận được, ví dụ: bằng cách sử dụng biệt thức. Vẽ chi tiết đường cong sẽ không yêu cầu, nhưng các bản phác thảo nói chung sẽ được kỳ vọng thể hiện các đặc điểm đáng chú ý, chẳng hạn như điểm cực trị, tiệm cận và giao điểm với các trục tọa độ. |
| • hiểu và sử dụng các mối quan hệ giữa đồ thị $y = f(x)$, $y^2 = f(x)$, $y = \frac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ và $y = f(|x|)$ | Bao gồm sử dụng các đồ thị phác thảo này trong quá trình giải phương trình hoặc bất phương trình. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Một hàm hữu tỉ là phân thức của hai đa thức. Khi tử số có bậc cao hơn mẫu số đúng một bậc, đồ thị sẽ có tiệm xiên (một đường xiên mà đường cong tiến tới); tìm nó bằng cách thực hiện phép chia. Bạn cũng cần biết cách liên hệ đồ thị của $y = f(x)$ với các đồ thị của $y^2 = f(x)$, $y = \dfrac{1}{f(x)}$, $y = |f(x)|$ và $y = f(|x|)$. Tìm tập giá trị mà hàm số có thể nhận bằng cách sử dụng biệt thức, và xác định các điểm cực trị của nó.
Ví dụ minh họa. Tìm tiệm xiên của $y = \dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1}$.
Chia phân thức: $\dfrac{x^2 + x + 1}{x + 1} = x + \dfrac{1}{x + 1}$. Vì $x \to \pm\infty$ phần dư là $\dfrac{1}{x+1} \to 0$, nên đường cong tiến gần đến đường thẳng $y = x$ — đó là tiệm xiên.
Khám phá
Hàm hữu tỉ
y = a/(x − b) + c
Một hàm hữu tỉ có tiếp tuyến mà đường cong tiến tới nhưng không bao giờ chạm vào.
Từ vựng
Luyện tập
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| Further Pure Mathematics/ˈfɜːðə pjʊə ˌmæθɪˈmætɪks/ | Toán học thuần túy nâng cao |
| roots/ruːts/ | nghiệm |
| coefficients/ˌkəʊɪˈfɪʃənts/ | hệ số |
| substitution/ˌsʌbstɪˈtjuːʃn/ | thay thế |
| rational function/ˈræʃənl ˈfʌŋkʃn/ | hàm hữu tỉ |
| oblique asymptote/əˈbliːk ˈæsɪmptəʊt/ | tiệm cận xiên |
| method of differences/ˈmeθəd ɒv ˈdɪfrənsɪz/ | phương pháp sai phân |
| convergent/kənˈvɜːdʒənt/ | hội tụ |
| sum to infinity/sʌm tʊ ɪnˈfɪnɪti/ | tổng vô hạn |
1.3
Tổng của chuỗi
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| • sử dụng các kết quả chuẩn cho $\sum r$, $\sum r^2$, $\sum r^3$ để tìm các tổng liên quan | |
| • sử dụng phương pháp sai số để tìm tổng của một dãy số hữu hạn | Sử dụng phân tích phân số để biểu diễn một số hạng tổng quát ở dạng phù hợp có thể cần thiết. |
| • nhận biết, thông qua việc xét trực tiếp tổng $n$ số hạng, khi một cấp数是 hội tụ, và tìm tổng vô hạn trong các trường hợp như vậy |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Học các kết quả chuẩn:
$$\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^2 = \tfrac16 n(n+1)(2n+1), \qquad \sum_{r=1}^{n} r^3 = \tfrac14 n^2(n+1)^2.$$
Phương pháp sai số tính tổng chuỗi bằng cách triệt tiêu các số hạng ở giữa: nếu phân tích thành phân thức đơn giản, viết mỗi số hạng dưới dạng $f(r) - f(r+1)$, hầu hết mọi thứ sẽ triệt tiêu. Từ tổng đến $n$ số hạng, bạn có thể xác định xem chuỗi có hội tụ hay không và, nếu có, tìm tổng vô hạn của nó.
Ví dụ minh họa. Tìm $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} (2r + 1)$.
$$\sum_{r=1}^{n}(2r + 1) = 2\sum_{r=1}^{n} r + \sum_{r=1}^{n} 1 = 2\cdot\tfrac12 n(n+1) + n = n(n+1) + n = n(n+2).$$
Khám phá
Dãy số và tổng của chúng
Bước qua các số hạng và tổng lũy tiến — ý tưởng nền tảng về một dãy cộng và tổng của nó đến n số hạng.
1.4
Ma trận
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| Thực hiện các phép toán cộng ma trận, trừ ma trận và nhân ma trận, và nhận biết các thuật ngữ ma trận không và ma trận đơn vị (hoặc ma trận đồng nhất) | Bao gồm cả ma trận không vuông. Ma trận sẽ có tối đa 3 hàng và cột. |
| nhớ lại ý nghĩa của các thuật ngữ đặc biệt và không đặc biệt áp dụng cho các ma trận vuông và, đối với các ma trận $2 \times 2$ và $3 \times 3$, tính định thức và tìm ma trận nghịch đảo của các ma trận không đặc biệt | Các ký hiệu $\det \mathbf{M}$ cho định thức của ma trận $\mathbf{M}$, và $\mathbf{I}$ cho ma trận đơn vị, sẽ được sử dụng. |
| hiểu và sử dụng kết quả, đối với các ma trận không đặc biệt, $(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf{B}^{-1}\mathbf{A}^{-1}$ | Sự mở rộng cho tích của nhiều hơn hai ma trận có thể yêu cầu. |
| hiểu cách sử dụng các ma trận $2 \times 2$ để biểu diễn các biến đổi hình học nhất định trong mặt phẳng $x$-$y$, cụ thể: – hiểu mối quan hệ giữa các biến đổi được biểu diễn bởi $\mathbf{A}$ và $\mathbf{A}^{-1}$ – nhận biết rằng tích ma trận $\mathbf{AB}$ biểu diễn biến đổi kết quả từ biến đổi được biểu diễn bởi $\mathbf{B}$ theo sau là biến đổi được biểu diễn bởi $\mathbf{A}$ – nhớ lại hệ số tỷ lệ diện tích của một biến đổi liên quan đến định thức của ma trận tương ứng như thế nào – tìm ma trận biểu diễn một biến đổi hoặc chuỗi biến đổi đã cho | Hiểu biết về các thuật ngữ quay, phản xạ, phóng to, kéo giãn và trượt đối với các biến đổi 2D sẽ được yêu cầu. Các biến đổi 2D khác có thể được bao gồm, nhưng không yêu cầu kiến thức đặc biệt nào về chúng. |
| hiểu ý nghĩa của bất biến áp dụng cho các điểm và đường thẳng trong ngữ cảnh các biến đổi được biểu diễn bằng ma trận, và giải các bài toán đơn giản liên quan đến điểm bất biến và đường thẳng bất biến. | Vd. để xác định các điểm bất biến của biến đổi được biểu diễn bởi $\begin{pmatrix} 6 & 5 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$, hoặc để tìm các đường thẳng bất biến đi qua gốc tọa độ cho $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 2 & 1 \end{pmatrix}$, hoặc để chứng minh rằng mọi đường thẳng có hệ số góc 1 đều bất biến cho $\begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}$. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Một ma trận là một khối số hình chữ nhật. Phép cộng ma trận cộng các phần tử ở vị trí tương ứng; bạn cũng có thể trừ và nhân các ma trận (phép nhân là hàng ⟨$\times$⟩ × cột). Ma trận không có mọi phần tử đều $0$, và ma trận đơn vị (hoặc ma trận đơn vị) $I$ giữ nguyên bất kỳ ma trận nào khi thực hiện phép nhân.
Đối với ma trận $2\times 2$ kích thước $A = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$, định thức là $\det A = ad - bc$. Nếu $\det A \neq 0$ thì ma trận là không suy biến (ngược lại nó là ma trận suy biến), và ma trận nghịch đảo là
$$A^{-1} = \frac{1}{ad - bc}\begin{pmatrix} d & -b \\ -c & a \end{pmatrix}.$$
Đối với một tích, $(AB)^{-1} = B^{-1}A^{-1}$. Một ma trận $2\times 2$ có thể biểu diễn một biến đổi hình học của mặt phẳng — một phép quay, phép phản xạ, phép phóng to, co dãn hoặc phép trượt: định thức cho biết hệ số tỷ lệ diện tích, và một tích $AB$ có nghĩa là "thực hiện $B$, sau đó thực hiện $A$". Các điểm hoặc đường thẳng không di chuyển được gọi là điểm bất biến và đường thẳng bất biến.
Ví dụ minh họa. Tìm nghịch đảo của $A = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$.
$\det A = 3\times 4 - 1\times 2 = 10$, do đó
$$A^{-1} = \frac{1}{10}\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ -2 & 3 \end{pmatrix}.$$
Khám phá
Ma trận như các phép biến đổi
Thay đổi bốn thành phần và xem hình vuông đơn vị được ánh xạ sang hình dạng mới. Định thức là hệ số tỷ lệ diện tích.
Từ vựng
Luyện tập
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| matrix/ˈmeɪtrɪks/ | ma trận |
| zero matrix/ˈzɪərəʊ ˈmeɪtrɪks/ | ma trận không |
| identity matrix/aɪˈdentɪti ˈmeɪtrɪks/ | ma trận đơn vị |
| determinant/dɪˈtɜːmɪnənt/ | định thức |
| singular matrix/ˈsɪŋɡjʊlə ˈmeɪtrɪks/ | ma trận suy biến |
| inverse matrix/ɪnˈvɜːs ˈmeɪtrɪks/ | ma trận nghịch đảo |
| geometric transformation/ˌdʒiːəʊˈmetrɪk trænsfɔːˈmeɪʃn/ | biến đổi hình học |
| invariant points/ɪnˈveərɪənt pɔɪnts/ | điểm bất biến |
| invariant lines/ɪnˈveərɪənt laɪnz/ | đường thẳng bất biến |
| plane/pleɪn/ | mặt phẳng |
1.5
Tọa độ cực
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| hiểu các mối quan hệ giữa tọa độ Descartes và tọa độ cực, và chuyển đổi phương trình các đường cong từ dạng Descartes sang dạng cực và ngược lại | Quy ước $r \geqslant 0$ sẽ được sử dụng. |
| vẽ sơ đồ các đường cong cực đơn giản, cho $0 \leqslant \theta < 2\pi$ hoặc $-\pi < \theta \leqslant \pi$ hoặc một tập con của một trong hai khoảng này | Vẽ chi tiết các đường cong sẽ không yêu cầu, nhưng các bản vẽ sơ đồ nói chung sẽ yêu cầu hiển thị các đặc điểm đáng chú ý, chẳng hạn như đối xứng, tọa độ giao điểm với trục ban đầu, hình dạng của đường cong tại cực và giá trị nhỏ nhất/lớn nhất của $r$. |
| nhớ lại công thức $\frac{1}{2} \int r^2 \mathrm{d}\theta$ cho diện tích của một hình quạt, và sử dụng công thức này trong các trường hợp đơn giản. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Tọa độ cực xác định một điểm bằng khoảng cách $r$ từ gốc tọa độ và góc $\theta$. Chúng liên kết với tọa độ Descartes thông qua
$$x = r\cos\theta, \qquad y = r\sin\theta, \qquad r^2 = x^2 + y^2.$$
Bạn nên vẽ phác thảo các đường cong cực đơn giản và tìm diện tích của một hình quạt với
$$\text{area} = \tfrac12\int r^2\,d\theta.$$
Ví dụ minh họa. Chuyển phương trình cực $r = 4\cos\theta$ về dạng tọa Descartes.
Nhân cả hai vế với $r$: $r^2 = 4r\cos\theta$, do đó $x^2 + y^2 = 4x$. Hoàn thành bình phương cho ta $(x - 2)^2 + y^2 = 4$, là một đường tròn bán kính $2$ có tâm tại $(2, 0)$.
Khám phá
Đường cong cực
Chọn một đường cong và thay đổi a. Ở dạng cực, một điểm được xác định bởi khoảng cách r và góc θ — điều này tạo ra hình hoa hồng, đường tim và đường xoắn ốc.
Từ vựng
Luyện tập
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| polar coordinates/ˈpəʊlə kəʊˈɔːdɪnəts/ | tọa độ cực |
| Cartesian coordinates/kɑːˈtiːzɪən kəʊˈɔːdɪnəts/ | tọa độ Descartes |
| polar curves/ˈpəʊlə kɜːvz/ | đường cực |
1.6
Véc-tơ
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| sử dụng phương trình của mặt phẳng ở bất kỳ dạng nào $ax + by + cz = d$ hoặc $\mathbf{r.n} = p$ hoặc $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$ và chuyển đổi phương trình các mặt phẳng từ dạng này sang dạng khác khi cần thiết trong việc giải bài toán | |
| nhớ lại rằng tích vector $\mathbf{a} \times \mathbf{b}$ của hai vector có thể được biểu diễn dưới dạng $|\mathbf{a}||\mathbf{b}|\sin\theta\hat{\mathbf{n}}$, trong đó $\hat{\mathbf{n}}$ là vector đơn vị, hoặc dưới dạng thành phần là $(a_2b_3 - a_3b_2)\mathbf{i} + (a_3b_1 - a_1b_3)\mathbf{j} + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{k}$ | |
| sử dụng phương trình đường thẳng và mặt phẳng, cùng với tích vô hướng và tích vector khi phù hợp, để giải các bài toán về khoảng cách, góc và giao điểm, bao gồm: – xác định xem một đường thẳng nằm trong mặt phẳng, song song với mặt phẳng hay cắt mặt phẳng, và tìm điểm giao điểm của đường thẳng và mặt phẳng khi nó tồn tại – tìm chân đường vuông góc từ một điểm đến một mặt phẳng – tìm góc giữa một đường thẳng và một mặt phẳng, và góc giữa hai mặt phẳng – tìm phương trình cho đường giao tuyến của hai mặt phẳng – tính khoảng cách ngắn nhất giữa hai đường chéo nhau – tìm phương trình cho đường vuông góc chung của hai đường chéo nhau. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Trong ba chiều, một mặt phẳng có thể được viết dưới dạng $ax + by + cz = d$, hoặc $\mathbf{r}\cdot\mathbf{n} = p$, hoặc $\mathbf{r} = \mathbf{a} + \lambda\mathbf{b} + \mu\mathbf{c}$. Ngoài tích vô hướng, còn có tích có hướng của hai véc-tơ:
$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = |\mathbf{a}|\,|\mathbf{b}|\sin\theta\;\hat{\mathbf{n}},$$
điều này tạo ra một véc-tơ vuông góc với cả hai. Với tích vô hướng và tích có hướng, bạn có thể tìm khoảng cách, góc và nơi các đường thẳng và mặt phẳng giao nhau — bao gồm khoảng cách ngắn nhất giữa các đường chéo nhau.
Ví dụ minh họa. Tìm $\mathbf{a}\times\mathbf{b}$ cho $\mathbf{a} = \mathbf{i} + \mathbf{j}$ và $\mathbf{b} = \mathbf{j} + \mathbf{k}$.
$$\mathbf{a}\times\mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(1) - \mathbf{j}(1) + \mathbf{k}(1) = \mathbf{i} - \mathbf{j} + \mathbf{k}.$$
Khám phá
Vectơ
a · b = |a||b|cos θ
Tích vô hướng bằng không chính xác khi hai vectơ vuông góc.
Từ vựng
Luyện tập
| English | Tiếng Việt |
|---|---|
| vector product/ˈvektə ˈprɒdʌkt/ | tích có hướng (vector product) |
| vectors/ˈvektəz/ | vectors |
| skew lines/skjuː laɪnz/ | đường chéo |
| mathematical induction/ˌmæθɪˈmætɪkl ɪnˈdʌkʃn/ | quy nạp toán học |
| conjecture/kənˈdʒektʃə/ | giả thuyết |
| inductive proof/ɪnˈdʌktɪv pruːf/ | chứng minh quy nạp |
| symmetric functions/sɪˈmetrɪk ˈfʌŋkʃnz/ | hàm đối xứng |
| discriminant/dɪˈskrɪmɪnənt/ | delta (discriminant) |
| turning points/ˈtɜːnɪŋ pɔɪnts/ | các điểm dừng |
| partial fractions/ˈpɑːʃl ˈfrækʃnz/ | phân tích phân thức riêng biệt |
| rotation/rəʊˈteɪʃn/ | phép quay |
| reflection/rɪˈflekʃn/ | phản xạ |
| enlargement/enˈlɑːdʒmənt/ | phóng to |
| stretch/stretʃ/ | kéo dãn |
| shear/ʃɪə/ | biến dạng trượt |
1.7
Chứng minh bằng quy nạp
Chương trình
| thí sinh có khả năng: | Ghi chú và ví dụ |
|---|---|
| sử dụng phương pháp quy nạp toán học để thiết lập một kết quả đã cho | Vd. $\sum_{r=1}^{n} r^4 = \frac{1}{4}n^2(n+1)^2$, $u_n = \frac{1}{2}(1 + 3^{n-1})$ cho dãy số cho bởi $u_{n+1} = 3u_n - 1$ và $u_1 = 1$, $\begin{pmatrix} 4 & -1 \\ 6 & -1 \end{pmatrix}^n = \begin{pmatrix} 3 \times 2^n - 2 & 1 - 2^n \\ 3 \times 2^{n+1} - 6 & 3 - 2^{n+1} \end{pmatrix}$, $3^{2n} + 2 \times 5^n - 3$ chia hết cho 8. |
| nhận biết các tình huống mà giả thuyết dựa trên thử nghiệm hạn chế theo sau là chứng minh quy nạp là một chiến lược hữu ích, và thực hiện điều này trong các trường hợp đơn giản. | Vd. tìm đạo hàm $n$ của $x e^x$, tìm $\sum_{r=1}^{n} r \times r!$. |
Nguồn: Chương trình Cambridge International
Quy nạp toán học chứng minh một kết quả cho mọi số nguyên dương $n$ trong hai bước:
- Trường hợp cơ sở: chứng minh kết quả đúng với $n = 1$.
- Bước quy nạp: giả sử nó đúng với $n = k$, sau đó chứng minh đúng với $n = k + 1$.
Nếu cả hai bước đều thành công, kết quả đúng với mọi $n$. Thường thì đầu tiên bạn đưa ra một giả thuyết (một dự đoán hợp lý) từ vài trường hợp, sau đó xác nhận nó bằng chứng minh quy nạp.
Quy nạp toán học giống như sôđô-mi-nô: trạng thái cơ sở khiến viên đầu tiên ngã, và bước quy nạp khiến mỗi viên làm ngã viên tiếp theo — do đó kết quả đúng với mọi n.
Ví dụ minh họa. Chứng minh rằng $\displaystyle\sum_{r=1}^{n} r = \tfrac12 n(n+1)$.
Trường hợp cơ sở $n = 1$: vế trái là $1$ và vế phải là $\tfrac12(1)(2) = 1$. Đúng. Bước quy nạp: giả sử $\displaystyle\sum_{r=1}^{k} r = \tfrac12 k(k+1)$. Khi đó
$$\sum_{r=1}^{k+1} r = \tfrac12 k(k+1) + (k+1) = (k+1)\left(\tfrac{k}{2} + 1\right) = \tfrac12 (k+1)(k+2).$$
Đây là công thức với $n = k + 1$, do đó theo quy nạp, nó đúng với mọi $n$.
Khám phá
Con đường chứng minh bằng quy nạp
Hãy xem quy nạp như một viên domino đầu tiên cộng với một quy tắc đẩy mọi trường hợp tiếp theo.
1.7
Mẹo làm bài thi
- Sử dụng mối quan hệ giữa nghiệm và hệ số (tổng, tổng các cặp, tích) thay vì giải đa thức.
- Đối với chứng minh bằng quy nạp, trình bày trường hợp cơ sở, giả sử kết quả đúng với $n = k$, chứng minh đúng với $n = k+1$, và viết một câu kết luận rõ ràng.
- Vẽ phác thảo đồ thị hàm phân thức với các tiệm cận và điểm cực trị; sử dụng phương pháp sai số cho phép tính tổng.
- Đối với ma trận, hãy nhớ định thức, nghịch đảo và các đường thẳng bất biến, và diễn giải từng biến đổi một cách hình học.
Bài học tương tác về chủ đề này
Làm theo từng bước, kèm theo bài tập kiểm tra ngay lập tức.