ระบบควบคุม

นี่คือหลักสูตรที่สิบในสาขาวิศวกรรมไฟฟ้าระดับมหาวิทยาลัย: ระบบควบคุม EE06 ได้ให้ฟังก์ชันระบบมาแล้ว หลักสูตรนี้จะปิดช่องว่างนี้ ทำให้เอาต์พุตติดตามอินพุตได้อย่างรวดเร็ว แม่นยำ และไร้การสั่นสะเทือนได้อย่างไร? ทำให้เอาต์พุตตามอินพุตได้รวดเร็ว แม่นยำ และไม่มีสัญญาณสั่นสะเทือน?

• หน่วย10.1 ถึง10.2 ทำนายและกำหนดรูปร่างของการตอบสนองทางเวลา: สเปกIFICATIONS, ความเสถียร, รูทโลคัส. ถูกควบคุม) และลดให้อยู่ใน ฟังก์ชันการส่งผ่าน เดียวกัน
• หน่วย 10.3 ถึง 10.5 ทำนายและจัดรูปการตอบสนองต่อเวลา: ข้อกำหนด, ความเสถียร, รากของลอคัส
• หน่วย 10.6 และ 10.7 ทำงานในโดเมนความถี่:Margins, Nyquist, PID และ ตัวชดเชย
• หน่วย 10.8 เปิดพื้นที่สถานะ: โมเดลสำหรับหลายสถานะ และวิธีการออกแบบ ที่สร้างบนพื้นฐานของพีชคณิตเชิงเส้น

One habit runs through the whole course. Every design is checked in both โดเมน ขอบเขตเฟสทำนายค่าการลดทอน ขั้วตำแหน่งทำนายค่าการเกินพิกัด ทุกการอ้างถึงเสถียรภาพทางพีชคณิตยืนยันด้วยวิธีที่สอง: Routh เปรียบเทียบกับ Root locus, Nyquist เปรียบเทียบกับ Routh เมื่อสองเส้นทางนำสู่ ตัวเลขเดียวกัน คุณสามารถเชื่อถือตัวเลขนั้นได้ ตัวเลขเดียวกัน คุณก็สามารถเชื่อถือตัวเลขนั้นได้

Why it matters. A cruise-control car holds 100 km/h on a hill. A 3D printer โมเดลอันดับแรกมีรูปแบบ 0.05 ลงว่าระบบทางกายภาพทำอย่างไร เป็นสมการที่คุณสามารถคำนวณได้

แนวคิดพื้นฐาน. เกือบทุกโดเมนทางกายภาพมีการจัดเก็บ การไหล และการสูญเสียพลังงานใน รูปแบบเดียวกัน ถังร้อนจัดเก็บความร้อน รับความร้อนจากเครื่องทำความร้อน และสูญเสีย ความร้อนสู่ห้อง แอ่งประจุจัดเก็บประจุ รับประจุจากแหล่งจ่าย และรั่วไหล ผ่านตัวต้านทาน เขียนเป็น ตัวแปรสถานะ เดียว $x$ สำหรับแต่ละอย่าง them says

โมเดลอันดับหนึ่ง มีรูปแบบ $\tau\, \dfrac{dx}{dt} + x = K\,u(t)$. ตัวอักษรกรีก $\tau$ (เทา) คือ ค่าคงที่เวลา, วัดเป็น วินาที: บอกระยะเวลาที่ระบบจัดเก็บใช้เวลาในการตอบสนอง สัญลักษณ์ $K$ คือ กำลังขยาย DC: ค่าสุดท้ายของ $x$ ต่อหน่วยอินพุตคงที่ $u$. เมื่อมีขั้น อินพุตขนาด $U$, คำตอบคือ $x(t) = KU\,(1 - e^{-t/\tau})$, ซึ่ง ถึง 63.2% ของค่าสุดท้ายที่เวลาหนึ่งคงตัว

การเชิงเส้น化 ระบบจริงไม่ใช่เส้นตรง เสาแคว้น ปฏิบัติตาม $\ddot\theta = -(g/l)\sin\theta$, ซึ่งมีค่าเกนเดียวไม่ได้ วิธีแก้ คือการเลือก จุดทำงาน (สถานะที่คุณทำงานใกล้เคียง) และแทน เส้นโค้งด้วยความชันที่จุดนั้นNear Rest, $\sin\theta \approx \theta$, ดังนั้น pendulum behaves like a spring with natural frequency $\omega_n = \sqrt{g/l}$. สำหรับความยาวส่าย $l = 0.9$ m, ให้ใช้ $g = 9.81$ m/s² และได้ $\omega_n = \sqrt{9.81/0.9} = 3.30$ rad/s, ประมาณ 0.53 Hz: ชักช้า playground swing. Same idea works for a tank draining at $q = 2\sqrt{h}$ (ใน m³/h โดยที่ $h$ มีหน่วยเป็น m): ความชัน $\dfrac{dq}{dh} = 1/\sqrt{h}$ เท่ากับ 0.5 ใกล้กับ $h = 4$ m, และ 1/3 ใกล้กับ $h = 9$ m. โมเดลเชิงเส้นจะแม่นยำก็ต่อเมื่ออยู่ใกล้กับ จุดทำงานเท่านั้น และความชันบอกให้คุณทราบว่าความแม่นยำนั้นเป็นอย่างไร

ตัวอย่างคำนวณ 1:วงจร RC. Take $R = 2$ kΩ และ $C = 100$ µF. The resistor carries the current $\dfrac{v_{in} - v}{R}$ and the capacitor integrates it, so

นี่คือโมเดลอันดับหนึ่งที่มี $\tau = RC = 2000 \times 100\times10^{-6} = 0.2$ s และ $K = 1$. เปลี่ยนค่าอินพุตจาก 0 เป็น 5 V และตัวเก็บประจุจะเข้าสู่สถานะ $5(1 - e^{-1}) = 3.16$ V, which is 63.2%, after 0.2 s. Sense check: a bigger $R$ or a bigger $C$ means a slower circuit, and the product $RC$ has units of วินาที ดังนั้นโมเดลจึงสอดคล้องกัน

ตัวอย่างวิธีทำ 2: มอเตอร์กระแสตรงควบคุมด้วยอาเมเจอร์. โมเดลนี้ถูก นำไปใช้ตลอดทั้งหลักสูตร มอเตอร์นี้มีโมเมนต์ความเฉื่อยของโรเตอร์ $J = 0.01$ kg·m², แรงเสียดทาน $B = 0.1$ N·m·s, ค่าคงที่มอเตอร์ $K = 0.5$ (ใน N·m/A, ที่มีค่าตัวเลข เท่ากับ V·s/rad), และความต้านทานอาเมเจอร์ $R = 1$ Ω. ความเหนี่ยวนำมีค่าน้อย, ดังนั้นเราจึงละเลยไว้ กฎฟิสิกส์สองข้อเชื่อมโยงด้านไฟฟ้าและด้านกลไกเข้าด้วยกัน: sides:

• Torque law: current makes torque, $T = K\,i$, with $T$ in N·m and $i$ in A.
• Newton's law for the rotor: $J\,\dot\omega = T - B\,\omega$, where แทนค่าสมการที่สองลงในสมการแรกและจัดกลุ่มพจน์ $\omega$:

The coupling runs both ways. The spinning armature also generates a back-EMF แรงดัน $K\omega$ ดังนั้นกฎแรงดันของKirchhoff (KVL) จะได้ $V = R\,i + K\omega$ ในโดเมน s เมื่อเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ กฎทั้งสองจะกลายเป็น

แทนสมการที่สองลงในสมการแรกและจัดกลุ่มพจน์ $\Omega$:

ใส่ค่าตัวเลข ตัวส่วนคือ $0.01s + (0.1)(1) + 0.5^{2} = 0.01s + 0.35$ ดังนั้น

พีชคณิตล้วนๆ และในความเป็นจริง $s = -35$ $1/35 = 28.6$ มิลลิวินาที: เร็ว การขยายสัญญาณ DC คือ $50/35 = 1.43$ rad/s ของความเร็วสุดท้าย ปรากฏในแผนภาพเป็นวงจรป้อนกลับที่มอเตอร์สร้างขึ้นโดยอัตโนมัติ ทั้งสอง พีชคณิตล้วนๆ และในความเป็นจริงคือ $\dfrac{K}{BR + K^{2}} = \dfrac{0.5}{0.35} = 1.43$ transient ทั้งหมดเกิดจากค่าคงทางฟิสิกส์สามค่า และ back-EMF ปรากฏในแผนภาพเป็นวงจรป้อนกลับที่มอเตอร์สร้างขึ้นมาโดยอัตโนมัติ ทั้งสอง ตัวแปรในที่นี้, $i$ และ $\omega$, เป็นตัวแปรสถานะที่แท้จริงของหน่วย 10.8 กำหนดนิยามไว้

ข้อผิดพลาดทั่วไป

• การละทิ้งพจน์แรงต้านไฟฟ้า $K\omega$ จากกฎ Kirchhoff (KVL) ผลลัพธ์ดูเรียบง่ายแต่ผิดอย่างร้ายแรง: มันทำนายว่าความเร็วจะเพิ่มขึ้นไม่จำกัด ผิดพลาดอย่างมาก: $\dfrac{K}{(Js+B)R} = \dfrac{50}{s+10}$ คาดการณ์ว่า 5 rad/s ต่อ แทนด้วย 1.43 และค่าคงที่เวลา 100 มิลลิวินาที แทนที่จะเป็น 28.6 มิลลิวินาที การป้อนกลับในตัวจากแรงดันไฟฟ้าย้อนกลับคือสิ่งที่ทำให้มอเตอร์จริงมีความเร็วสูง
• ใช้การประมาณเชิงเส้นไกลจากจุดทำงาน ความชันของถังคือ 0.5 ที่ระดับ $h = 4$ เมตร และ 0.33 ที่ระดับ $h = 9$ เมตร; ความชันหนึ่งไม่สามารถใช้ได้กับทั้งสอง
• หน่วยใช้ผิด: $J$ เป็น kg·m², $B$ เป็น N·m·s, $\omega$ เป็น rad/s ตรวจสอบให้แน่ใจว่า ค่าคงที่มอเตอร์มีค่าเดียวกันในทั้งสองกฎ

สรุป การเก็บพลังงาน การไหล และการสูญเสียให้ $\tau\dot x + x = Ku$ เลือก จุดทำงาน แล้วคำนวณความชัน โลกจะกลายเป็นเชิงเส้นโดยประมาณใกล้จุดนั้น โมเดลมอเตอร์ $50/(s+35)$ เป็นตัวอย่างที่เราใช้ต่อเนื่องมาตั้งแต่ตอนนี้

ทำไมถึงสำคัญ แผนภาพบล็อก เป็นภาษาที่วิศวกรใช้สื่อสารเกี่ยวกับระบบ: โปสเตอร์ของระบบควบคุมความเร็วคงที่ในรถยนต์คือแผนภาพบล็อก ไม่ใช่หน้ากระดาษที่มีสมการ โปสเตอร์ระบบควบคุมความเร็วรถคงที่ของรถยนต์คือแผนผังบล็อก ไม่ใช่หน้าสมการ

แนวคิด ฟังก์ชันถ่ายโอน $G(s)$ เป็นอัตราส่วนระหว่างเอาต์พุตต่ออินพุตในโดเมน s โดยเริ่มจากเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ เมื่อบล็อคเชื่อมต่อกัน การคำนวณทางคณิตศาสตร์จะแทนที่พีชคณิต: เข้าสู่อินพุตในโดเมน s เมื่อเงื่อนไขเริ่มต้นเป็นศูนย์ เมื่อบล็อกถูก เชื่อมต่อเข้าด้วยกัน การคำนวณทางคณิตศาสตร์จะแทนที่พีชคณิต:

• แบบอนุกรม (บล็อคเรียงกัน): คูณกัน, $G = G_1 G_2$
• แบบขนาน (บล็อคทั้งสองส่งสัญญาณเข้าบวกกันเดียวกัน): บวกกัน, $G = G_1 + G_2$
• ฟีดแบ็ก: หารด้วยลูป, $T = \dfrac{G}{1 + GH}$

สมการฟีดแบ็กสมควรได้มาจากการหาอนุพันธ์แบบบรรทัดเดียว ความคลาดเคลื่อนคือ $e = r - H\,y$ และเอาต์พุตคือ $y = G\,e$ รวมกัน: $y = G(r - Hy)$, ย้าย พจน์ $GH\,y$ ไปอีกฝั่ง, แล้วได้ $y(1 + GH) = Gr$ สมการ

นี้คือ สมการลักษณะเฉพาะ รากของสมการคือขั้วของระบบปิด ดังนั้นจึงบอกเรื่องราวความเสถียรทั้งหมด ลดลูปภายในออกก่อน และ คงตัวส่วนให้เห็นชัดเจนในทุกขั้นตอน

ตัวอย่างวิธีทำ 1: ลูปเดียว อ่านเหมือนระบบอันดับสอง วาง $G_1 = \dfrac{1}{s+1}$ และ $G_2 = \dfrac{1}{s+2}$ ในแบบเรียงต่อกัน พร้อมเกน $K = 6$, ภายใต้ฟีดแบ็กหนึ่ง ($H = 1$):

ตอนนี้อ่านพารามิเตอร์ระบบอันดับสองโดยการจับคู่กับ $s^{2} + 2\zeta\omega_n s + \omega_n^{2}$ ที่นี่ $\omega_n = \sqrt{8} = 2.83$ rad/s และ อัตราส่วนการหน่วง $\zeta = \dfrac{3}{2 \times 2.83} = 0.530$ That อยู่ในพื้นที่ออกแบบมาตรฐาน $0.4 \le \zeta \le 0.7$ และมีหน่วย 10.3 ทำให้เกิดค่าเกินสูงสุดประมาณ 14%

ตัวอย่างวิธีทำ 2: ลูปซ้อนกัน ลูปใน $\dfrac{2}{s}$ ที่มี เกนฟีดแบ็ก 0.5 วางในแบบเรียงต่อกันกับ $\dfrac{1}{s+1}$ ทั้งหมดอยู่ภายใน ลูปภายนอกที่มีฟีดแบ็กหนึ่ง ขั้นตอน 1, รวบรวมลูปภายใน:

ขั้นตอน 2, คูณบล็อกที่เรียงต่อกัน:

ขั้นตอน 3, ปิดลูปหนึ่งภายนอก:

อ่านค่าได้: $\omega_n = \sqrt{3} = 1.73$ rad/s และ $\zeta = \dfrac{2}{2\times 1.73} = 0.577$. แผนภาพที่ซับซ้อนกลายเป็นเพียงสองตัวเลข สำหรับแผนภาพที่ซับซ้อนจริงๆ แผนภาพ กฎของเมสันจะดำเนินการทั้งหมดนี้ในสูตรเดียว: รวมผลคูณของ เส้นทางด้านหน้า ลบผลคูณของวงจรปิดที่ไม่สัมผัสกัน ให้ใช้เมื่อ พีชคณิตบล็อกซับซ้อนจริง ๆ ไม่ใช่ก่อน; ในแผนภาพที่ง่าย กฎสามข้อข้างต้นจะเร็วกว่า

ข้อผิดพลาดทั่วไป

• การปิดวงจรเป็น $\dfrac{G}{1+G}$ เมื่อ $H \ne 1$ เส้นทางกลับมี $GH$ ไม่ใช่ $G$
• การสูญเสียเครื่องหมายลบที่ซัมมิ่งจุดป้อนกลับ ความผิดพลาดคือ $r - Hy$ หากเพิ่ม แทนที่ สมการลักษณะเฉพาะจะกลายเป็น $1 - GH = 0$ และทุก การอ้างถึงเสถียรภาพจะพลิกกลับ
• ลดวงจรภายนอกก่อน มันยังใช้ได้ แต่พีชคณิตจะพุ่งพล่าน; ลดวงในก่อนคือวินัย

สรุป. การต่อแบบอนุกรมคูณ, แบบขนานบวก, ป้อนกลับหารด้วย $1 + GH$, และตัวส่วนของผลลัพธ์คือสมการลักษณะเฉพาะ วงจร ภายในลดก่อน

เหตุผลที่สำคัญ. เมื่อผู้ผลิตโดรนสัญญาว่า " settling Within half a second, overshoots less than 10%", นั้นคือตัวเลขโดเมนเวลา หน่วยนี้ คือพจนานุกรมที่เปลี่ยนตำแหน่งขั้วเป็นตัวเลขเหล่านั้น

แนวคิด. ตัวอย่างอันดับสองมีคำศัพท์:

ขั้วของมันอยู่ที่ $s = -\zeta\omega_n \pm j\,\omega_n\sqrt{1-\zeta^{2}}$ อ่าน ภาพ: ระยะห่างจากจุดกำเนิดคือ $\omega_n$ (ความถี่), ค่า ส่วนจินตภาพสั่น, และส่วนจริง $-\zeta\omega_n$ ลดทอนลง การลดทอน อัตราส่วนคือโคไซน์ของมุมขั้ว ดังนั้นรังสีที่ออกจากจุดกำเนิดด้วยมุม $\arccos\zeta$ is a line of constant damping: one picture, one number.

การตอบสนองแบบขั้นบันได คือเอาต์พุตเมื่ออินพุตเปลี่ยนจาก 0 ไปยัง 1 ด้วยอินพุตขั้นบันไดหน่วย ผลลัพธ์มาตรฐานคือ

ที่นี่ $M_p$ คือ การเกิน (ยอดสูงสุดเหนือค่าสุดท้าย, ในรูปของ เศษส่วน), $t_p$ คือ เวลาที่ยอด, และ $t_s$ คือ เวลาในการปรับสภาพ . สูตรการเกินไม่ใช่เวทมนตร์: การตอบสนองแบบขั้นบันไดคือ

และยอดแรกอยู่ที่ที่อนุพันธ์เป็นศูนย์ ซึ่งตกอยู่ที่ $\omega_d t_p = \pi$; เมื่อแทนค่ากลับเข้าไปใน!: $M_p$

ความผิดพลาดแบบสถานะคงตัว ต้องการแนวคิดเพิ่มเติม นับตัวอินทิเกรเตอร์ใน วงเปิด: จำนวนนับนั้นคือ ประเภทของระบบ ระบบประเภท-1 (มี ตัวอินทิเกรเตอร์หนึ่งตัว) มีความผิดพลาดแบบสถานะคงตัวเป็นศูนย์ต่อขั้นบันได, และ ค่าคงที่ความผิดพลาดเรื่องความเร็ว $K_v = \lim_{s\to0}\, sG(s)$ ให้ค่าความผิดพลาดแบบเร็ว $\dfrac{1}{K_v}$. อ่านค่าคงที่ออกจาก loop ก่อนที่จะคำนวณค่าใด ๆ transient.

**ตัวอย่างวิธีทำ 1: ตัวเลขคู่หนึ่ง, สี่สเปกIFICATIONS.**Take $\omega_n = 4$ rad/s และ $\zeta = 0.5$. แล้ว $\omega_d = 3.46$ rad/s และ ขั้วคือ $-2 \pm j3.46$. การตรวจสอบความสอดคล้อง: ระยะห่างจากจุดกำเนิดคือ $\sqrt{2^{2} + 3.46^{2}} = 4 = \omega_n$ ตามที่ควรจะเป็น ข้อกำหนด:

การเปลี่ยนผ่าน 10 ถึง 90% เวลาขึ้น คำนวณเชิงตัวเลขจากการตอบสนองแบบขั้นบันได การตอบสนองเป็น 0.41 วินาที ตรวจสอบความถูกต้องข้ามโดเมน: $\zeta = 0.5$ ควรมา ด้วย phase margin ใกล้เคียง 50 องศา, และกฎการทำงานของหน่วย 10.6's $\zeta \approx PM/100$ จะปิดวงจรนั้น

2 ในระบบป้อนกลับหนึ่งหน่วย ระบบวงปิดคือ $G = \dfrac{K}{s(s+2)}$ ในระบบป้อนกลับunity วงจร.transform feedback คือ $\dfrac{K}{s^{2} + 2s + K}$ ดังนั้นการจับคู่กับโปรโตไทป์จะได้ $2\zeta\omega_n = 2$ และ $\omega_n = \sqrt{K}$ ดังนั้น $\zeta = 1/\sqrt{K}$ $\zeta = 0.45$:

เวลา $M_p = e^{-\pi(0.45)/0.893} = 0.205$ วินาที; เวลาคงที่ 20.5 วินาที ตอนนี้ค่าคงที่ความผิดพลาด อ่านได้จาก เวลา $t_p = \dfrac{\pi}{2.22 \times 0.893} = 1.58$ วินาที; เวลาที่ระบบคงที่ $t_s \approx \dfrac{4}{0.45\times2.22} = 4.0$ วินาที ปัจจุบันค่าคงที่ความคลาดเคลื่อน อ่านได้จาก $K_v = \dfrac{4.94}{2} = 2.47$, ในขณะที่ความผิดพลาดแบบขั้นบันไดเป็นศูนย์พอดีเพราะ ระบบมีประเภท $\dfrac{1}{K_v} = 0.405$ การตรวจสอบด้วยเครื่อง: การตอบสนองแบบขั้นบันไดของวงปิดที่จำลองได้ กระบวนการนี้คือประเภท 1 ตรวจสอบด้วยเครื่อง: ขั้นตอนแบบวงจรปิดจำลองที่จำลองได้คงที่ที่ ที่ 1.000 และยอดสูงสุดครั้งแรกอยู่ที่ 1.205

ข้อผิดพลาดทั่วไป

• การผสม $\omega_n$ เข้ากับ $\omega_d$ เวลาที่ยอดสูงสุดใช้ความถี่ที่ลดทอนลง; ระยะจากจุดกำเนิดใช้ $\omega_n$
• การอ้างถึง $t_s$ โดยไม่มีแถบ ความประมาณที่ 2% และ 5% แตกต่างกันเป็นปัจจัย ของ $\tfrac{4}{3}$
• การใช้สูตรลำดับที่สองกับระบบที่มีศูนย์หรือขั้วเพิ่มเติม โดยไม่ตรวจสอบว่าคู่ขั้วหนึ่งมีอิทธิพลเหนือกว่าจริง ๆ หรือไม่

สรุป. ขั้วเข้าไป สเปกออกมา: $M_p$, $t_p$, $t_s$ และค่าความคลาดเคลื่อน คงที่. รังสีการลดทอนบนระนาบขั้วคือเส้นที่มีค่าเกินพิกัดคงที่.

เหตุผลที่สำคัญ. ความเสถียรเป็นคุณสมบัติเดียวที่คุณต้องมีก่อนเรื่องออกแบบอื่นๆ ทั้งหมด ระบบที่สั่นจนเข้าสู่ภาวะอิ่มตัวไม่ได้เรียกว่าปรับจูนไม่ดี; มันเสียแล้ว ถูกปรับแล้ว; มันล้มเหลว

แนวคิด. ระบบปิดจะเสถียรก็ต่อเมื่อรากทุกตัวของสมการคุณลักษณะมีค่าจริงเป็นลบ ตาราง ราอุส characteristic polynomial มีส่วนจริงเป็นลบ. Routh array แถว แล้วเติมลงล่าง Entry ใหม่แต่ละตัวเกิดจากการคูณไขว้และหารด้วยสองแถวที่อยู่ด้านบน และจำนวนครั้ง ที่สัญญาณในคอลัมน์แรกเปลี่ยนจากบวกเป็นลบหรือลบเป็นบวกเท่ากับจำนวนรากในครึ่งขวาของระนาบ (RHP) คอลัมน์แรกที่ไม่มีการ เปลี่ยนสัญญาณแสดงว่าไม่มีราก RHP: เสถียร เท่ากับจำนวนรากในครึ่งระนาบขวา (RHP) คอลัมน์แรกที่ไม่มีการ เปลี่ยนเครื่องหมายหมายความว่าไม่มีราก RHP: เสถียร

ตัวอย่างวิธีทำ 1: นับราก RHP ทดสอบ $s^{4} + 2s^{3} + 3s^{2} + 4s + 5$

คอลัมน์แรกอ่านได้ $1,\, 2,\, 1,\, -6,\, 5$: เปลี่ยนเครื่องหมายสองครั้ง ($+1$ ไปยัง $-6$, จากนั้น $-6$ ไปยัง $+5$), ดังนั้นมีราก RHP สองตัว ตรวจสอบโดยรากที่แท้จริง ซึ่ง คือ $-1.29 \pm j0.86$ และ $+0.29 \pm j1.42$: จริงๆ แล้วมีสองจุดในครึ่งขวาของระนาบ และตารางบอกเช่นนั้นโดยไม่ต้องแก้สมการกำลังสี่

ตัวอย่างวิธีทำ 2: หาช่วงค่าเกน สำหรับค่า $K$ ใดที่ $s^{3} + 5s^{2} + 6s + K$ จะเสถียร? สร้างตาราง:

ความเสถียรต้องการ $\dfrac{30-K}{5} > 0$ และ $K > 0$ ดังนั้น $0 < K < 30$ ที่ ค่า $K = 30$ พอดี เส้น $s^{1}$ จะหายไป สิ่งนี้ไม่ใช่ข้อผิดพลาด: เส้นศูนย์ทั้งหมด หมายถึงรากที่มีสมมาตร ซึ่งหาได้จาก สมการเสริม สร้างจากแถวเหนือ $5s^{2} + 30 = 0$ ดังนั้น $s = \pm j2.45$ ระบบ อยู่บนขอบเขต: เสถียรภาพแบบกึ่งกลาง คือการสั่นสะเทือนที่คงตัว at 2.45 rad/s that neither grows nor dies. The next two units reach this same ขอบเขตนี้โดยเส้นทางอื่นสองทาง

ภาพการออกแบบ สำหรับครอบครัว $s^{3} + as^{2} + 8s + K$ จุดเดียวกันนี้ อยู่ที่ $s^{1}$ พอดี: เป็นเส้นขอบเขตตรงในระนาบ $\dfrac{8a - K}{a}$ การดำเนินการของ อย่างแม่นยำที่ $0 < K < 8a$: ขอบเขตเส้นตรงในระนาบ $(a, K)$ การเคลื่อนที่ของ โพลต์ของรายวิชานี้, $s(s+2)(s+4)$, มี $a = 6$ และลิมิต $K = 48$: ทุก หน่วยที่ตามมาจะลงสู่จุดเดียวกันนั้น

ข้อผิดพลาดทั่วไป

• การป้อนพหุนามที่ไม่สมบูรณ์ให้แก่อารเรย์ สัมประสิทธิ์ต้องครอบคลุม Every power from $s^n$ down; a missing power gets coefficient 0.
• การหารแถวด้วยจำนวนลบเพื่อลดทอน การปรับสเกลด้วยจำนวนบวก number is free; a negative rescaling flips the very signs you are counting.
• การมองว่าศูนย์เดียวในคอลัมน์แรกคือการล้มเหลว ให้แทนที่ด้วย ค่าบวกเล็ก $\varepsilon$ และดำเนินต่อไป; แถวที่เป็นศูนย์ทั้งหมดต้องการ as you turn it, before you build anything.
• การเรียกกรณี $K = 30$ ว่า “เสถียร” พोलบนแกนหมายถึงไม่เสถียรแต่เป็นเสถียรแบบขอบเขต ไม่ใช่ เสถียร: การสั่นจะไม่มีวันหยุดลง

สรุป สร้างอาร์เรย์นับการเปลี่ยนสัญญาณในคอลัมน์แรก และจำนวนรากด้านขวา (RHP) จำนวนรากจะปรากฏออกมาโดยไม่ต้องหาค่าราก ช่วงพารามิเตอร์อ่านได้จากแถวเดียว

ความสำคัญ การเพิ่มกำลังเป็นปุ่มปรับที่ทุกเครื่องขยาย ทุกตัวควบคุม และทุก การปรับแต่งใช้ การเส้นรากบอกตำแหน่งของโพลวงจรปิดเมื่อคุณหมุนปุ่มนี้ ก่อนสร้างอะไรเลย as you turn it, before you build anything.

แต่ละกิ่งเริ่มจากโพลวงจรเปิด (อยู่ที่ $s$) และสิ้นสุดที่ศูนย์หรือที่ angle condition holds for the loop $L(s) = K\,\dfrac{\prod(s-z_i)}{\prod (s-p_i)}$:

Each branch starts at an open-loop pole (at $K = 0$) and ends at a zero or at infinity. The standard sketch rules all follow from that one condition:

• Real-axis segments: a segment carries the locus when an odd number of poles-plus-zeros lies to its right.
• Asymptote angles $\dfrac{180°(2k+1)}{n-m}$, centred on the รากบนเส้นรากเท่านั้นที่มีนัยสำคัญ
• The breakaway point, where branches leave the real axis, solves $\dfrac{d}{ds}\Bigl[\dfrac{\prod(s-p_i)}{\prod(s-z_i)}\Bigr] = 0$ และเพียง รากบนเส้น locus มีจำนวน
• จุดตัดแกน $j\omega$: แทนค่า $s = j\omega$ ลงใน $1 + KL_0 = 0$ และ แก้สมการส่วนจริงและส่วนจินตภาพ

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ 1: วาดแผนภาพรากของระบบควบคุม ให้ $L = \dfrac{K}{s(s+2)(s+4)}$. Three poles at $0, -2, -4$ and no zeros, so $n - m = 3$ and the asymptotes leave the centroid $\dfrac{(0) + (-2) + (-4)}{3} = -2$ at $\pm 60°$ and $180°$. The real-axis locus is the segment $[-2, 0]$ กับครึ่งเส้น $(-\infty, -4]$. จุดแยกออก (breakaway) แก้สมการ

ซึ่งให้ $s = -0.845$ (อยู่บน locus: เก็บไว้) และ $s = -3.155$ (ระหว่าง $-4$ และ $-2$, ไม่อยู่บน locus: ทิ้งไป). ที่จุดแยกตัว ค่าความGain คือ $K = |s(s+2)(s+4)| = 0.845 \times 1.155 \times 3.155 = 3.08$. การตัดผ่าน $j\omega$: ด้วย $s = j\omega$ ส่วนจริงให้ค่า $K = 6\omega^{2}$ และส่วน จินตภาพให้ค่า $\omega^{2} = 8$, ดังนั้น $\omega = 2.83$ rad/s และ $K = 48$. ค่า 48 เดียวกันที่ขอบเขต Routh ได้กำหนดไว้

ตัวอย่างที่แสดงวิธีทำ 2: ออกแบบตามข้อกำหนดค่าการหน่วงบน locus ต้องการ $\zeta = 0.5$. ขั้วต้องอยู่บนรังสีที่ $\arccos 0.5 = 60°$ จาก แกนจริงลบ, นั่นคืออยู่บน $s = -\sigma + j\,\sqrt{3}\,\sigma$ สำหรับบาง $\sigma > 0$. ค้นหาตามรัศมีเพื่อหาจุดที่สอดคล้องกับเงื่อนไขมุม ที่ $\sigma = 0.667$ มุมของขั้วทั้งสามคือ $120° + 40.9° + 19.1° = 180°$ พอดี ดังนั้นจุดออกแบบจึงอยู่ที่

ค่าความGain มาจากเงื่อนไขขนาด:

ตรวจสอบเรขาคณิต: $|s^{*}| = \sqrt{0.667^{2} + 1.155^{2}} = 1.334$ และ $\dfrac{0.667}{1.334} = 0.500$, ซึ่งตรงกับค่าการหน่วงที่ต้องการพอดี. ตรวจสอบ พื้นที่ความเสถียร: $K = 8.30$ อยู่ต่ำกว่าขีดจำกัด 48 มาก ดังนั้นการหน่วง ไม่ใช่ ความเสถียร คือสิ่งที่รังสี $\zeta$ – รังสีนั้นให้ได้. ขั้วที่สามที่ค่าความGain นี้อยู่ที่ $-4.67$, อยู่ทางซ้ายของคู่ค่านี้ ซึ่งเป็นเหตุผลที่ทำให้คู่ค่านี้ควบคุมและ การคาดการณ์ลำดับที่สองยังคงอยู่

ข้อผิดพลาดทั่วไป

• การรักษารากที่หลุดออกจากตำแหน่ง (off-locus breakaway root) สมการกำลังสองให้คำตอบสองค่า; มีเพียง จุดบนเส้น locus แบบจริงเท่านั้นที่เป็นไปได้ในความเป็นจริง
• การอ่านค่าการลดทอน (damping) จากระยะห่างจากจุดกำเนิด. $\zeta$ คือโคไซน์ของมุมขั้ว: ขั้ว: วงกลมแทนค่า $\omega_n$ คงที่, รังสีแทนค่า $\zeta$ คงที่.
• สมมติว่าการตัดผ่าน asymptote คือการตัดผ่าน $j\omega$. คำนวณการ ตัดผ่านจาก $1 + KL_0 = 0$; asymptote เป็นเพียงเครื่องมือช่วยวาดภาพเท่านั้น.

อ่านค่าเกนออกมา breakaway, การตัดผ่าน. การออกแบบหมายถึงการเดินไปตาม locus ไปยังรังสีการลดทอนและ ทำไมถึงสำคัญ. ในอุตสาหกรรมคุณมักไม่ทราบตำแหน่งขั้วที่แน่นอน; คุณ

ภาษาเดียวกันนั้น: ลูปนี้ใกล้กับความไม่เสถียรแค่ไหน ในหน่วยเดซิเบลและ องศา? ภาษาดังกล่าว: ลูปนี้ใกล้ความไม่เสถียรแค่ไหน ในหน่วยเดซิเบลและ องศา?

แนวคิด. กราฟ Bode วาดกำลังขยายลูป $L(j\omega)$ เป็นขนาด (ในหน่วย สิ่งที่ตรงกันข้าม สองตัวเลขที่อ่านจากกราฟพกพาข้อมูลความเสถียร: $-20$ dB/decade และความชันและสูงสุดถึง $-90°$ ของเฟส; แต่ละศูนย์ (zero) จะให้ผล ตรงกันข้าม. ตัวเลขสองตัวที่อ่านได้จากกราฟจะบอกข้อมูลความเสถียร:

• ส่วนต่างเฟส (Phase margin) PM: ที่ความถี่ ตัดกำลังขยาย (gain crossover) (ซึ่ง $|L| = 1$), มีค่าเฟสเกิน $-180°$ อยู่กี่องศา
• ส่วนต่างกำลังขยาย (Gain margin) GM: ที่ความถี่ ตัดเฟส (phase crossover) (เมื่อ $\angle L = -180°$), ค่าที่ $|L|$ ต่ำกว่า 1 เป็นเท่าใด

กฎการทำงานที่เชื่อมโยงโดเมนทั้งสองเข้าด้วยกันคือ $\zeta \approx PM/100$: ส่วนต่าง 50° มีพฤติกรรมเหมือน $\zeta \approx 0.5$, การตอบสนองเกินพิกัด (overshoot) ใกล้กับ 16% ความ เกณฑ์ไนควิสต์ (Nyquist criterion) ทำให้การนับเสถียรภาพแม่นยำ กราฟ $L(j\omega)$ สำหรับ $\omega$ จาก $-\infty$ ถึง $+\infty$ นับรอบทวนทิศทาง การล้อมรอบ (encirclements) $N$ ของจุด $-1$, และระบบวงจรปิดจะมี $Z = N + P$ ขั้วในครึ่งขวาของระนาบเชิงซ้อน, โดยที่ $P$ นับจำนวนขั้ว RHP ของวงจรเปิด. (ขั้วอยู่ที่ จุดกำเนิด เช่น ในโรงงานตัวอย่างของเรา, จะมีการเบี่ยงเบนไปทางขวาบนเส้นโค้งไนควิสต์; ส่วนโค้งอนันต์อยู่ห่างจาก $-1$ มากและไม่เปลี่ยนแปลงอะไรในที่นี้)

ตัวอย่างวิธีทำ 1: ส่วนต่างด้วยการคำนวณ. ใช้ $L = \dfrac{100}{s(s+10)}$. ความถี่ตัดกำลังขยายแก้ $|L| = 1$, นั่นคือ $\omega\sqrt{\omega^{2}+100} = 100$.ยกกำลังสองจะได้ $\omega^{4} + 100\omega^{2} - 10^{4} = 0$, ดังนั้น

เฟสที่จุดนั้นคือ $-90° - \arctan(7.86/10) = -90° - 38.2° = -128.2°$, ดังนั้น ส่วนต่างเฟสคือ $PM = 180° - 128.2° = 51.8°$. ส่วนต่างกำลังขยายเป็นอนันย์: เฟสเข้าใกล้ $-180°$ แบบ asymptotic เท่านั้น. ตรวจสอบย้อนกลับในโดเมนเวลา: โดเมน.transformed: ระบบลูปปิดคือ $\dfrac{100}{s^{2} + 10s + 100}$, พอดีกับ โปรโตไทป์ที่มี $\omega_n = 10$ และ $\zeta = 0.5$, การเกินค่าสูงสุดที่ 16.3%. กฎ $\zeta \approx PM/100$ ทำนาย 0.52 เทียบกับค่าที่แท้จริง 0.5: การประมาณการ ที่ใช้ได้ ไม่ใช่ทฤษฎีบท.

ตัวอย่างวิธีทำ 2: ต้นไม้ที่เคลื่อนที่, สามวิธี. นำ $L = \dfrac{20}{s(s+2)(s+4)}$, การออกแบบ $\zeta = 0.5$ ที่มีการเพิ่มกำลังมากกว่า สองเท่าขึ้นไป. เฟสจะถึง $-180°$ เมื่อส่วนจินตภาพของ $s(s+2)(s+4)$ หายไป, ที่ $\omega = \sqrt{8} = 2.83$ rad/s, และที่นั่น

จุดตัดของกำลังแก้ $\omega\sqrt{\omega^{2}+4}\sqrt{\omega^{2}+16} = 20$, ได้ $\omega_{c} = 1.73$ rad/s. เฟสที่นั่นคือ $-154.3°$, ดังนั้น $PM = 25.7°$. กฎทำนาย $\zeta \approx 0.26$ และการตอบสนองแบบสั่นสะเทือน; การจำลองวงจรปิดที่แท้จริงให้ 48% การเกินค่าสูงสุด, พฤติกรรมที่ margins ได้สัญญาไว้. ตอนนี้ตรวจสอบด้วย Nyquist. ขนาดที่ความถี่ $-180°$ คือ $K/48$, ดังนั้นที่ $K = 20$ กราฟจะผ่าน 0.42 ไปทาง ขวาของ $-1$: ไม่มีการโอบกอด, เสถียร. ที่ $K = 48$ มันจะผ่านตรงผ่าน $-1$: กึ่งเสถียร. ที่ $K = 96$ มันจะวนรอบ $-1$ สองครั้งตามเข็มนาฬิกา, ดังนั้น $Z = N + P = 2 + 0 = 2$ ขั้ว RHP ของวงจรปิด. Routh บน $s^{3} + 6s^{2} + 8s + K$ บอกว่าไม่เสถียรสำหรับ $K > 48$, มีราก RHP สองตัวที่ $K = 96$. สามวิธี, คำตอบเดียว.

ข้อผิดพลาดทั่วไป

• อ่านค่า margins จากคำตอบของวงจรปิด. Margins อยู่บนวง กำลัง $L$, ก่อนที่วงจะปิด.
• สับสนระหว่างจุดตัดทั้งสอง. PM เป็นของจุดตัดกำลัง; GM เป็นของ จุดตัดเฟส.
• การนับรอบการห่อหุ้มจุดกำเนิด. เกณฑ์นี้จะนับการตัดผ่านของ จุด $-1$ และด้วยกฎเครื่องหมายนี้ ทิศทางตามเข็มนาฬิกาเป็นทิศทางบวก ทิศทาง
• การลืม $P$. หากตัวกระบวนการมีขั้ว RHP, $Z = N + P$ จำเป็นต้องมี การนับนั้น; $N$ เพียงอย่างเดียวไม่ใช่คำตอบ

สรุป. Bode ให้ค่า PM และ GM ในหน่วยวินาที; $\zeta \approx PM/100$ นำสิ่งเหล่านี้เข้าสู่โดเมนเวลา; Nyquist นับจำนวนขั้ว RHP ได้แม่นยำ และทั้งสามวิธีต้องสอดคล้องกับ Routh them into the time domain; Nyquist counts RHP poles exactly, and all three ต้องสอดคล้องกับ Routh

เหตุผลที่สำคัญ. ส่วนใหญ่ของ industrial loops ใช้ PID. มันคือ controller ตัวแรกที่คุณต้องปรับแต่ง, และตัวที่คุณต้องปรับแต่งบ่อยที่สุด

แนวคิด. ตัวควบคุม PID ทำการกระทำต่อสัญญาณความผิดพลาด $e = r - y$ ด้วยวิธีสามอย่างพร้อมกัน: สามอย่างพร้อมกัน:

พจน์ อัตราส่วน ตอบสนองในทันที พจน์ อินทิกรัล จำไว้: มันลบค่าความผิดพลาดคงที่โดยเพิ่มลำดับของระบบ พจน์ เพิ่มลำดับของระบบ พจน์ อนุพันธ์ anticipating, เพิ่ม damping สัดส่วนกับความเร็วที่ the error moves. In the series (ideal) form, $u = K_{p}\bigl(e + \frac{1}{T_i}\int e\,dt + T_d\dot e\bigr)$, the tuning constants are the เวลาอินทิกรัล $T_i$ และเวลาอนุพันธ์ $T_d$ ทั้งสองมีหน่วยเป็นวินาที

การปรับเทียบแบบแรกแบบคลาสสิกคือ Ziegler-Nichols ultimate-gain tuning: เพิ่มค่า Gain แบบอัตราส่วนจนกว่าวงควบคุมจะเกิดการสั่นไหวเพียงเล็กน้อย บันทึกค่า ultimate gain บันทึกค่า ultimate gain $K_u$ และช่วงเวลาของสั่น $T_u$ แล้วดูแถวในตาราง ผล รายการราคาสำคัญเท่ากับผลที่ได้ การควบคุมด้วย P เพียงอย่างเดียวไม่ขจัดความผิดพลาดแบบคงตัวได้ error. I เพิ่ม phase lag. D ขยาย measurement noise, และมันต้องกระทำบน เอาต์พุตที่วัดได้แทนที่จะเป็นค่าอ้างอิง มิฉะนั้นทุกครั้งที่มีการเปลี่ยนค่าเป้าหมายจะ กระตุ้นอุปกรณ์ขับเคลื่อนทันที

ตัวอย่างฝึกหัด 1: Ziegler-Nichols กับโรงงานที่กำลังทำงานอยู่ วง $\dfrac{K}{s(s+2)(s+4)}$ สั่นที่ $K_u = 48$ ด้วย $\omega_u = \sqrt{8} = 2.83$ rad/s (ขอบเขต Routh และ Nyquist) ดังนั้นช่วงเวลาคือ $T_u = \dfrac{2\pi}{2.83} = 2.22$ วินาที ตาราง PID ให้

คุณจะได้อะไรจริงๆ? เมื่อใช้ P เพียงอย่างเดียวที่ $K_p = 28.8$ วงปิดมี $s^{3}+6s^{2}+8s+28.8$ มีขั้ว $-5.50$ และ $-0.25 \pm j2.27$: 65% เกินค่าเป้าหมาย การ settling ประมาณ 15 วินาที และความผิดพลาดแบบ ramp ที่คงอยู่ $\dfrac{1}{K_v} = \dfrac{8}{K_p} = 0.278$ การควบคุม PID แบบ Ziegler-Nichols ขจัดความผิดพลาดนั้นออก อย่างสมบูรณ์ เพราะตัวอินทิเกรเตอร์เพิ่มประเภทระบบ และการเกินค่าเป้าหมายรอบแรก is 60%, decaying to about a sixth each cycle: the recipe aims at a เข้าใกล้จุดที่ต้องการในการทดลองครั้งเดียว แต่ไม่ได้แก้ปัญหาให้เสร็จสิ้น คุณในบริเวณใกล้เคียงในการทดลองหนึ่งครั้ง และมันไม่ได้ทำงานให้เสร็จสิ้น

ตัวอย่างที่คำนวณแล้ว 2: ทิ้งท้ายด้วยอนุพันธ์ และกำหนดขนาดของตัวนำ. รักษา $K_p = 28.8$ และเพิ่มอนุพันธ์. พหุนามลักษณะเฉพาะของวงลูป PD คือ $s^{3} + 6s^{2} + (8 + K_{p}T_d)s + K_{p}$: พจน์ D เพิ่มเข้าไปใน สัมประสิทธิ์การหน่วง. เพิ่ม $T_d$ จากค่า Ziegler-Nichols จนกว่า เสียงดังจะหยุดลง. ที่ $T_d = 0.5$ วินาที พหุนามคือ $s^{3}+6s^{2}+22.4s+28.8$ พร้อมขั้ว $-2$ และ $-2 \pm j3.22$ เมื่อการกระทำของอนุพันธ์มีความสำคัญ: ที่ การวัด (วิธีการที่ถูกต้องตามด้านล่าง) ขั้นตอนอ้างอิงไม่พบ ศูนย์ และขั้นตอนจำลองไม่มีการเกินค่าสูงสุดเลย ยึดอยู่ใน 2.1 วินาที บน ความคลาดเคลื่อน ศูนย์ PD ที่ $-2$ ทำลายขั้วจริงและคู่ที่เหลืออยู่ $\zeta = 2/3.79 = 0.53$ ยังคงมีการสั่นที่ประมาณ 14%: การลดทอนในทั้งสองทิศทาง, แต่มีเพียงรูปแบบการวัดเท่านั้นที่ปราศจากการกระตุก ความคลาดเคลื่อนแบบเรียวคงอยู่ที่ $0.278$: อนุพันธ์ซื้อการลดทอน ไม่ใช่ความแม่นยำ สำหรับความแม่นยำและความเร็วไปพร้อมกัน คุณ รวมพจน์และปรับใหม่ ซึ่งเป็นการฝึกฝนที่ตรงกับใบงาน 10.7

เมื่อกระบวนการผลิตไม่มีกำลังขยายสูงสุดที่ชัดเจน การชดเชยแบบนำในโดเมนความถี่ ทำงานเดียวกัน ตัวชดเชยแบบนำ $\dfrac{1+\tau s}{1+\alpha\tau s}$ ด้วย $0 < \alpha < 1$ วางศูนย์ไว้ต่ำกว่าขั้ว และซื้อเฟสที่ความถี่หนึ่ง ค่ายกสูงสุดคือ

สำหรับการยก +45° คือ $\alpha = \dfrac{1-\sin 45°}{1+\sin 45°} = 0.172$ ค่าเดียวกันนี้ เครือข่ายยังเพิ่มกำลังขยายความถี่สูงด้วย $\dfrac{1}{\alpha} = 5.8$, Anti-windup ควรอยู่ในทุกการนำไปใช้จริง เมื่อมีการ เครือข่ายเดียวกันเป็นคู่เดียวกันกับ $\alpha > 1$: มันซื้อกำไรความถี่ต่ำสำหรับ Anti-windup ควรอยู่ในทุกการนำไปใช้จริง เมื่อ

Anti-windup belongs in every real implementation. When the และเมื่อคืนสภาพ จะปล่อยการกระทำที่เก็บไว้ทั้งหมดเป็นครั้งเดียวด้วยการเกินค่าสูงสุด การสอง และเมื่อฟื้นตัว มันจะปล่อยการกระทำที่เก็บไว้เป็นการเกินค่าสูงสุดหนึ่งครั้งใหญ่. ทั้งสอง การแก้ไขมาตรฐาน: บังคับให้ตัวอินทิเกรตทำงานขณะที่เอาต์พุตอิ่มตัว, หรือ คำนวณย้อนกลับ โดยป้อนค่ากำไรคูณกับส่วนเกินของอิ่มตัวกลับเข้าไปเพื่อลด พจน์อินทิกรัล หากไม่มีอย่างใดอย่างหนึ่งนี้ การอิ่มตัวจริงครั้งแรกจะกินทุก ขอบเขตที่คุณออกแบบไว้ทั้งหมด.

ข้อผิดพลาดทั่วไป

• การใช้งานวิธี Ultimate Gain กับระบบที่ไม่มีการสั่นสะเทือนเลย A ระบบลำดับแรกหรือระบบที่หน่วงแรงมากไม่มี $K_u$; ให้ใช้ รูปแบบขั้นตอนของตารางแทน.
• การหาอนุพันธ์ของความผิดพลาดแทนที่จะเป็นการวัดค่า การเปลี่ยนขั้นของค่าเป้าหมายมี ความชันเป็นอนันต์ และพจน์ D จะส่งสัญญาณไปกระตุ้นอุปกรณ์ควบคุมทันที.
• การสับสนระหว่างรูปแบบการปรับจูน ค่าคงที่แบบอนุกรม $K_p, T_i, T_d$ ไม่ใช่ กำไรแบบขนาน: $K_i = K_p/T_i$ และ $K_d = K_p T_d$.
• การออกแบบวงจรนำหน้าและลืมเรื่อง $\dfrac{1}{\alpha}$ ของมัน การยกกำลังความถี่สูง ซึ่งจะทำให้ขอบเขตที่คุณได้มาลดลง.

สรุป. P ตอบรับ, I จำได้, D คาดการณ์; แต่ละตัวซื้อพฤติกรรมหนึ่ง และเสียค่าใช้จ่ายKnown ราคา ใช้ตารางสำหรับการตัดครั้งแรก, ขอบเขตสำหรับการ การปรับปรุง, และ Anti-windup สำหรับความเป็นจริง. ห้องปฏิบัติการแบบโต้ตอบในหน้า หลักสูตรช่วยให้คุณสามารถหมุนลูกบิดทั้งสองนี้ได้อย่างแม่นยำ คือ กำไรและการหน่วง, และดู การเกินค่า, การ/settling และความเสถียรเคลื่อนที่.

ทำไมถึงสำคัญ. ฟังก์ชันถ่ายโอนอธิบายอินพุตหนึ่งและเอาต์พุตหนึ่ง ตัวควบคุมสมัยใหม่ เช่น หุ่นยนต์ทรงตัวหรือโดรนที่ทำงานด้วยลูปสี่ลูปพร้อมกัน ครั้งเดียว, Live on state space, ซึ่งมีการจำลอง internal variables หลายตัวและ นำกลับมาใช้ร่วมกันเป็นสัญญาณป้อนกลับ

แนวคิด. พื้นที่สถานะ เขียนระบบในรูป $n$ สมการอันดับแรกแทนที่จะเป็น พหุนามอันดับ $n$-หนึ่ง:

โดยที่ $x$ คือเวกเตอร์สถานะ, $u$ คืออินพุต, $y$ คือเอาต์พุตที่วัดได้, และ $A$, $B$, $C$, $D$ คือเมทริกซ์ของค่าคงที่ แนวคิด: สถานะคือ $n$ ลิ้นชักความจำ เมทริกซ์ $A$ บอกว่าแต่ละลิ้นชักส่งผลต่อกันอย่างไร, $B$ บอกว่าอินพุตเข้าสู่ระบบตรงจุดไหน, และ $C$ บอกว่าเราวัดอะไรได้ การ ค่า eigenvalue ของ $A$ คือขั้ว (poles) ของระบบ เพราะ $\det(sI - A) = 0$ เป็นสมการลักษณะเฉพาะที่แน่นอน เมื่อไม่มีอินพุต คำตอบจะเป็น เอกซ์โพเนนเชียลคือขั้ว, ถูกทำให้เป็นจริง เริ่มจาก $x(t) = \Phi(t)\,x(0)$, ที่ $\Phi(t) = e^{At}$ คือเอ็กซ์โพเนนเชียลของเมทริกซ์, คำนวณได้จากการรวมอนุกรมอนันต์ $I + At + \dfrac{(At)^{2}}{2!} + \cdots$, ซึ่งลู่เข้าสู่ค่าคงที่สำหรับทุก เมทริกซ์สี่เหลี่ยม.

ตัวอย่างวิธีทำ 1: อ่านโมเดล ตรวจสอบการลดลง ให้ $G(s) = \dfrac{8}{(s+2)(s+4)} = \dfrac{8}{s^{2}+6s+8}$. ในรูปแบบคู่ (companion form),

การตรวจสอบ DC gain สร้างความถูกต้อง: $-CA^{-1}B = \tfrac{8}{8} = 1$, ตรงกับค่า Gain ของระบบจริงที่ $s = 0$ ค่า eigenvalue ของ $A$ คือ $-2$ และ $-4$, พोलที่แน่นอน ตอนนี้เมทริกซ์การเปลี่ยนผ่านที่ $t = 0.5$ s, เมื่อประเมิน ด้วยอนุกรม:

Its eigenvalues are $e^{-1} = 0.368$ and $e^{-2} = 0.135$: each pole becomes ปัจจัยการสลายตัวของมันเองต่อครึ่งวินาที นั่นคือเอกลักษณ์เชิงลึก: เมทริกซ์ เอกซ์โพเนนเชียลคือ pole, ทำให้เป็นจำนวนจริง. เริ่มจาก $x(0) = [1,\;0]^{T}$, สถานะหลังจาก 0.5 วินาทีคือคอลัมน์แรก, $[0.600,\; -0.930]^{T}$. ใน phase plane every trajectory straightens onto the slow eigenvector $[1, -2]^{T}$, which is why the $\lambda = -2$ pole owns the tail of the การตอบสนอง.

Worked example 2: pole placement by linear algebra. With full-state feedback $u = -K_{fb}\,x$ (here $K_{fb}$ is a row vector of gains, not the loop gain), closed-loop matrix คือ $A - BK_{fb}$ และคุณเลือกค่าของ whose characteristic polynomial is $-10$. Match เฉพาะของ $s^{2} + 20s + 100$ คำนวณได้ $B = [0,\;1]^{T}$ และ $K_{fb} = [k_1,\; k_2]$ อย่างแม่นยำ สิ่งที่

whose characteristic polynomial is $s^{2} + (6+k_2)s + (8+k_1)$. Match coefficients: $k_1 = 92$ and $k_2 = 14$. The check is one line: the eigenvalues of $A - BK_{fb}$ compute to $-10$ and $-10$ exactly. What the นี้คือ ความสามารถในการควบคุม, ตรวจสอบโดยอันดับของเมทริกซ์ linear equations, and it can place poles that no cascade of compensators เรื่องราวที่ต่อเนื่องคือการเชื่อมต่อวิทยุหนึ่งช่อง: ไมโครโฟน, เครื่องส่ง, ช่องสัญญาณที่มีสัญญาณรบกวน, เครื่องรับ, และโมเด็มข้อมูลที่ใช้สายเดียวกัน. ทุกหน่วย คุณสมบัติคือ การควบคุมได้ ซึ่งตรวจสอบโดยค่าของดีเทอร์มิแนนต์ของเมทริกซ์ $[\,B\;\;AB\;\;\cdots\,]$, ซึ่งในที่นี้คือ 2 ดังนั้นขั้วทั้งสองจึงสามารถวางตำแหน่งได้ เมื่อสถานะไม่ถูกวัด ผู้สังเกตจะประมาณค่าสถานะ นั่นคือ ประตูสู่หลักสูตรถัดไป

ข้อผิดพลาดทั่วไป

• การลืม $C$ สถานะไม่ใช่เอาต์พุต ฟังก์ชันถ่ายโอนคือ $C(sI-A)^{-1}B + D$ และการลดทอน $C$ จะทำให้การขยาย DC เปลี่ยนแปลงไปอย่างเงียบๆ
• การนำ $e^{At}$ มาใช้ทีละองค์ เมทริกซ์เอกซ์โพเนนเชียลถูกกำหนดโดย อนุกรม และสมาชิกนอกแนวทแยงมุมไม่ใช่เอกซ์โพเนนเชียลของ สมาชิก
• การสันนิษฐานว่าการวางตำแหน่งขั้วทำงานเสมอ หาก $[\,B\;\;AB\;\;\cdots\,]$ หาย Rank บางทิศทางไม่สามารถเข้าถึงได้และไม่มี $K_{fb}$ ที่เหมาะสม; ตรวจสอบ ความควบคุมก่อน
• การผสมผสานระเบียบแบบแผน หลักสูตรนี้ใช้สถานะแบบคอลัมน์และ $K_{fb}$ แบบแถว; น หนังสือเรียนที่ใช้สถานะแบบแถวจะพลิกทุกผลคูณ

สรุป. $A$ เก็บไดนามิก ค่า eigen ของมันคือขั้ว $e^{At}$ คือการตอบสนองอิสระ และ $u = -K_{fb}x$ แปลการออกแบบให้เป็นพีชคณิตเชิงเส้น, ซึ่งรับประกันได้ด้วยความควบคุม