International Baccalaureate · IB Diploma · Mathematics: Applications and Interpretation · HL · หัวข้อ 5
เอกสารนี้ครอบคลุมหัวข้อ HL ที่เลือกสำหรับหลักสูตรที่เริ่มประเมินใน 2021; ไม่ใช่หลักสูตรทั้งหมด
เงื่อนไขก่อนหน้า: อ่านปริมาณและหน่วยที่กำหนด, และใช้ arithmetic และเงื่อนไขโมเดลด้านล่าง
The examples are original and fictional: they are not real measurements or real student investigations.
ตัวอย่าง:
สำหรับ y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ที่ x=1, ความชันคือ 0 และ y=-2. ลอนุพันธ์อันดับสองคือ 6x, เป็นบวกที่ x=1, ดังนั้นนี่คือจุดต่ำสุดเฉพาะที่. ที่ x=-1, y=2 และลอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ, ทำให้เกิดจุดสูงสุดเฉพาะที่
ไม่ถูกต้อง: ทุกจุดที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุดท้องถิ่นเสมอ อนุพันธ์เป็นศูนย์ยังสามารถเป็นจุดเปลี่ยนเว้าได้: y=x³ ที่ x=0 neither เป็นจุดสูงสุดหรือต่ำสุด
จุดสำคัญ:
สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
ตัวอย่าง:
สำหรับ f(x)=x²-2 และ x₀=1.5 นิวตันให้ x₁=1.5-(2.25-2)/3=1.4166667 ด้วย y=x² บน [0,2] และช่องแบ่งเท่ากันสองช่อง h=1 และพื้นที่สี่เหลี่ยมคางหมู=(1/2)(0+2×1+4)=3; พื้นที่ที่แท้จริงคือ 8/3
Not true: Every sign change proves a root, including one across a discontinuity. A sign change shows a root only if the function is continuous there: 1/x changes sign across x=0 but has no root.
จุดสำคัญ:
ฟังก์ชันต่อเนื่องที่มีค่าตรงกันข้ามที่ปลายทั้งสองด้านจะมีรากอยู่ระหว่างสองจุดนั้น
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
ตัวอย่าง:
สำหรับ y=(3x+1)^4, y prime=4(3x+1)^3×3=12(3x+1)^3. ที่ x=0, ความชันคือ 12. สำหรับ x²+y²=25, แยกตัวแปรโดยปริยาย: 2x+2y y prime=0, ดังนั้น y prime=-x/y เมื่อ y≠0.
ไม่ถูกต้อง: ความอนุพันธ์ของ u(x)v(x) ไม่ได้เท่ากับผลคูณของความอนุพันธ์เสมอไป กฎการคูณคือ (uv)′=u′v+uv′: สำหรับ x·x ความอนุพันธ์คือ 2x ไม่ใช่ 1×1=1.
จุดสำคัญ:
สำหรับ y=f(g(x)), y prime=f prime(g(x))g prime(x)
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
ตัวอย่าง:
สำหรับ integral xe^x dx, ตั้ง u=x และ v prime=e^x จะได้ integral คือ xe^x-e^x+C. สำหรับ integral 2x/(x²+1) dx, แทน w=x²+1, dw=2x dx; คำตอบคือ ln(x²+1)+C
ไม่ถูกต้อง: อินทิกรัลของผลคูณเท่ากับผลคูณของอินทิกรัลแยกกัน ผลคูณต้องใช้วิธีเช่น การอินทิเกรตด้วยการแบ่งส่วนหรือการแทนค่า: ∫x·x dx=x³/3 ไม่ใช่ (x²/2)(x²/2)
จุดสำคัญ:
V/π = อินทิกรัลจาก 0 ถึง 3 ของ x² dx = 9
วิดเจทแสดงฟังก์ชันที่สร้างปริมาตร y²=x² สำหรับ y=x; เปรียบเทียบค่าที่แท้จริง 9 กับการตรวจสอบปริมาตร
ตัวอย่าง:
ด้วย dy/dx=0.5y และ y(0)=2, ได้ y=2e^(0.5x). วิธีของเออร์ลาร์ด้วย h=0.2 ให้ y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 และ y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. ค่าที่แม่นยำของค่าที่สองอยู่ที่ประมาณ 2.4428
ไม่ถูกต้อง: ขนาดขั้นทุกขนาดให้ค่าประมาณด้วยวิธีของออยเลอร์เท่ากันเป๊ะ วิธีของออยเลอร์ขึ้นอยู่กับขนาดขั้น; ขั้นที่เล็กว่ามักให้ค่าที่แม่นยำกว่า
จุดสำคัญ:
สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx จะได้ y=Ae^(kx)
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
| English | ไทย |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | อนุพันธ์ |
| iteration/ˌɪtəˈreɪʃn/ | การซ้ำซ้อน |
| chain rule/tʃeɪn ruːl/ | กฎโซ่ |
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | การอินทิเกรตโดยวิธีแยกส่วน |
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | เงื่อนไขเริ่มต้น |
ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที
กำลังโหลดวิชา…