สมการเชิงอนุพันธ์และการหาคำตอบแบบตัวเลข
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| initial condition/ɪˈnɪʃl kənˈdɪʃn/ | เงื่อนไขเริ่มต้น |
ค่าเริ่มต้นกำหนดอะไร?
- อัตราการเติบโตของประชากรแปรผันตรงกับขนาดปัจจุบัน อัตราสมการอธิบายครอบครัวทั้งหมดจนกว่าจะมีจำนวนประชากรเริ่มต้นที่กำหนดมา
- บทเรียนนี้ศึกษา เงื่อนไขเริ่มต้น: ค่าที่กำหนด来选择 Solution เฉพาะจากครอบครัว
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx, จะได้ y=Ae^(kx). ใช้เงื่อนไขเริ่มต้นเพื่อหาค่า A. วิธีของเออร์ลาร์ใช้ y_next=y+h f(x,y), โดยเลือกขนาดขั้น h
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
สำหรับ dy/dx=0.5y โดยที่ y(0)=2, เงื่อนไขเริ่มต้นกำหนดอะไร?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การแยกตัวแปรให้ครอบครัว y=Ae^(0.5x) ที่มีค่าคงที่อิสระ แทนค่า x=0, y=2 จะทำให้ A=2, เลือกคำตอบเฉพาะหนึ่งจากครอบครัวนั้น
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
ด้วย dy/dx=0.5y และ y(0)=2, ได้ y=2e^(0.5x). วิธีของเออร์ลาร์ด้วย h=0.2 ให้ y(0.2)≈2+0.2×1=2.2 และ y(0.4)≈2.2+0.2×1.1=2.42. ค่าที่แม่นยำของค่าที่สองอยู่ที่ประมาณ 2.4428
สมการเชิงอนุพันธ์และการหาคำตอบแบบตัวเลข
สำหรับ dy/dx=ky แยกตัวแปร: dy/y=k dx จะได้ y=Ae^(kx)
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
ใช้วิธี Euler ด้วย h=0.2 สำหรับ y prime=0.5y,y₀=2, หา y₁
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Euler ใช้ y₁=y₀+h f(y₀)=2+0.2×0.5×2=2.2
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- เงื่อนไขเริ่มต้นกำหนดค่าคงที่ของการอินทิเกรต ไม่ใช่การแทนที่การอินทิเกรต การหารด้วย y อาจตัดคำตอบสมดุล y=0 ออก ความแม่นยำของออยเลอร์ขึ้นอยู่กับขนาดขั้นและสมการ
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
ขนาดขั้นทุกขนาดให้ค่าประมาณของเออร์ลาร์เท่ากันเป๊ะ ข้ออ้างนี้เป็นเท็จ อธิบายว่าข้ออ้างนี้ละเมิดนิยามหรือสมมติฐานใด
สำหรับการประมาณค่านั้น, หา y₂
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ทำซ้ำจาก y₁: y₂=2.2+0.2×0.5×2.2=2.42
ทุกขนาดขั้นบันไดให้ค่าประมาณแบบออยเลอร์เท่ากันเป๊ะๆ
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เงื่อนไขเริ่มต้นกำหนดค่าคงตัวการอินทิเกรต; ไม่ใช่การแทนที่กระบวนการอินทิเกรต การหารด้วย y อาจทำให้หายไปโซลูชันสมดุล y=0. ความแม่นยำของ Euler ขึ้นอยู่กับขนาดขั้นตอนและสมการ
ตีความสถานการณ์ใหม่
- สำหรับสมการเชิงเส้นอันดับสอง ผสมฟังก์ชันogo complement กับ particular integral ที่เหมาะสม แล้วใช้เงื่อนไขเริ่มต้นที่ต้องการ นี่คือขอบเขต Further Pure; ตรวจสอบชื่อหน่วย
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
สำหรับ y=2e^(0.5x) จงหาค่า y ที่ x=0
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ที่ x=0 ค่าเอกซ์โพเนนเชียลคือ 1 ดังนั้น y=2
จับคู่แต่ละขั้นกับวัตถุประสงค์ในการแก้ dy/dx=ky
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
การแยกตัวแปรรวมตัวแปรแต่ละด้านไว้ทางเดียว; การอินทิเกรตให้ครอบครัว; เงื่อนไขเริ่มต้นเลือกคำตอบเฉพาะ
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- การประยุกต์ใช้และการตีความสำหรับการประเมินครั้งแรก-2021 ระดับ HL. นี่คือส่วนสนับสนุนแนวคิดที่จัดทำขึ้นเอง; ต้องใช้คู่มือฉบับเต็มเพื่อยืนยันวัตถุประสงค์ทุกข้อ
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
ค่าที่กำหนด来选择 Solution เฉพาะจากครอบครัว เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีทำ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์