อนุพันธ์และจุดคงที่
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| derivative/dɪˈrɪvətɪv/ | อนุพันธ์ |
ความชันที่จุดหนึ่งคืออะไร?
- ถนนโค้งมีความชันต่างกันในแต่ละตำแหน่ง ความชันเฉลี่ยไม่สามารถอธิบายทุกจุดได้
- บทเรียนนี้ศึกษา อนุพันธ์: อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที หรือความชันของเส้นสัมผัส
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1). จุดหยุดนิ่งจะสอดคล้องกับ dy/dx=0. ตรวจสอบการเปลี่ยนเครื่องหมายของอนุพันธ์ หรืออนุพันธ์อันดับสองเมื่อมันไม่เป็นศูนย์ เพื่อจำแนกประเภท
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ที่ x=0 ฟังก์ชัน y=x³ มี dy/dx=0 ทำไมจึงไม่ใช่จุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดในท้องถิ่น?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์ 3x² มีค่าเป็นบวกทั้งด้านซ้ายและขวาของ x=0 ดังนั้นจุดนั้นจึงเป็นจุดนิ่ง แต่ฟังก์ชันยังคงเพิ่มขึ้นต่อ - นี่คือจุดเปลี่ยนเว้า การจำแนกประเภทต้องอาศัยการเปลี่ยนเครื่องหมายหรืออนุพันธ์อันดับสอง ไม่ใช่เพียงแต่ dy/dx=0
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ y=x³-3x, dy/dx=3x²-3. ที่ x=1, ความชันคือ 0 และ y=-2. ลอนุพันธ์อันดับสองคือ 6x, เป็นบวกที่ x=1, ดังนั้นนี่คือจุดต่ำสุดเฉพาะที่. ที่ x=-1, y=2 และลอนุพันธ์อันดับสองเป็นลบ, ทำให้เกิดจุดสูงสุดเฉพาะที่
อนุพันธ์และจุดคงที่
สำหรับ y=ax^n, dy/dx=anx^(n-1)
เปรียบเทียบแบบจำลองกับกรณีที่มีตัวอย่างวิธีทำ และอธิบายการเปลี่ยนแปลงหนึ่งอย่าง
สำหรับ y=x³-3x, จงหา dy/dx ที่ x=2
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
dy/dx=3x²-3. ที่ x=2 ค่าคือ 12-3=9
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- ลอนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องหมายถึงจุดสูงสุดหรือจุดต่ำเสมอไป: y=x³ มีจุดคงที่ที่ 0 แต่ยังเพิ่มขึ้นต่อไป ขอบเขตของโดเมนก็สามารถสร้างค่าสูงสุดหรือต่ำสุดในโดเมนจำกัดได้เช่นกัน
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
ทุกจุดที่มีลอนุพันธ์เป็นศูนย์คือจุดสูงสุดหรือจุดต่ำเฉพาะที่. ข้อความนี้ผิด อธิบายว่าข้อใดขัดแย้งกับนิยามหรือสมมติฐาน
จงหาพิกัด y ของจุดคงที่ที่ x=1
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
แทนค่าลงในสมการเดิม: y(1)=1-3=-2
ทุกจุดที่มีอนุพันธ์เป็นศูนย์จะเป็นจุดสูงสุดหรือจุดต่ำสุดของพื้นที่นั้น
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์เป็นศูนย์ไม่จำเป็นต้องเป็นจุดสูงสุดหรือต่ำเสมอไป: y=x³ มีจุดคงที่ที่ 0 แต่ยังคงเพิ่มขึ้นต่อไป ขอบเขตของฟังก์ชันก็สามารถสร้างค่าสูงสุดหรือต่ำสุดในพื้นที่จำกัดได้เช่นกัน
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ในระดับ GCSE/IGCSE ใช้เพียงขอบเขตพหุนามที่ชั้นเรียนอนุญาต; อย่าเพิ่มกฎลูกโซ่ กฎคูณ หรือกฎหารในระดับนั้น ในระดับสูง ให้เชื่อมโยงอนุพันธ์กับอัตราการเปลี่ยนแปลงและการหาค่าสูงสุด/ต่ำสุดโดยมีโดเมนที่เหมาะสม
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
สำหรับ y=4x³, จงหา dy/dx ที่ x=2
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
อนุพันธ์คือ 12x²; ที่ 2 ค่าคือ 12×4=48
จับคู่ข้อเท็จจริงเกี่ยวกับอนุพันธ์กับข้อความให้ถูกต้อง
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
กฎเลขชี้กำลังลดค่าดัชนีลงหนึ่งขั้น; อนุพันธ์อันดับหนึ่งเท่ากับศูนย์บ่งบอกถึงผู้เข้าชิง และอนุพันธ์อันดับสองหรือการตรวจสอบเครื่องหมายช่วยในการจำแนกประเภท
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- การประยุกต์ใช้และการตีความสำหรับการประเมินครั้งแรก-2021 ระดับ HL. นี่คือส่วนสนับสนุนแนวคิดที่จัดทำขึ้นเอง; ต้องใช้คู่มือฉบับเต็มเพื่อยืนยันวัตถุประสงค์ทุกข้อ
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
อัตราการเปลี่ยนแปลงทันที ซึ่งก็คือความชันของเส้นสัมผัส เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีทำ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์