การแทนตัวแปร การหาอนุพันธ์แบบแยกส่วน และเศษส่วนย่อย
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| integration by parts/ˌɪntɪˈɡreɪʃn baɪ pɑːts/ | การอินทิเกรตโดยวิธีแยกส่วน |
เราสามารถอินทิเกรตตัวคูณทั้งสองแยกกันได้หรือไม่?
- ผลคูณที่ดูง่ายอย่าง xe^x ไม่สามารถอินทิเกรตโดยการแยกอินทิเกรตแต่ละตัวคูณได้
- บทเรียนนี้ศึกษา การอินทิเกรตด้วยส่วนประกอบ (integration by parts): เป็นวิธีการอินทิเกรตที่基於 derivative of a product.
เลือกโครงสร้างทางคณิตศาสตร์
- ใช้การแทนตัวแปรเมื่อมีอนุพันธ์ภายในปรากฏเป็นปัจจัย ใช้การอินทิเกรตโดยส่วนประกอบ ∫u v' = uv - ∫u' v สำหรับฟังก์ชันเศษส่วน ให้หารก่อนหากจำเป็น แล้วแยกเศษส่วนย่อย
- ระบุอินพุตที่อนุญาตและหน่วยก่อนทำการคำนวณ สมการควรแสดงความสัมพันธ์ ไม่ใช่แค่บันทึกการกดเครื่องคิดเลข
ทำไมการแทนที่ w=x²+1 จึงเหมาะสำหรับการอินทิเกรต 2x/(x²+1)?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
เมื่อ w=x²+1, dw=2x dx และอินทิกรัลจะกลายเป็น ∫dw/w=ln|w|+C การแทนที่นี้มีความทรงพลังโดยเฉพาะเมื่ออนุพันธ์ภายในปรากฏเป็นปัจจัย
ทำตัวอย่างที่ผ่านการตรวจสอบ
- ตรวจสอบผลลัพธ์เทียบกับปริมาณเริ่มต้น แทนค่าลงในความสัมพันธ์เดิม หรือเปรียบเทียบกราฟกับคำตอบเชิงตัวเลขเมื่อเหมาะสม
สำหรับ integral xe^x dx, ตั้ง u=x และ v prime=e^x จะได้ integral คือ xe^x-e^x+C. สำหรับ integral 2x/(x²+1) dx, แทน w=x²+1, dw=2x dx; คำตอบคือ ln(x²+1)+C
การแทนตัวแปร การหาอนุพันธ์แบบแยกส่วน และเศษส่วนย่อย
V/π = อินทิกรัลจาก 0 ถึง 3 ของ x² dx = 9
วิดเจทแสดงฟังก์ชันที่สร้างปริมาตร y²=x² สำหรับ y=x; เปรียบเทียบค่าที่แท้จริง 9 กับการตรวจสอบปริมาตร
คำนวณค่าอินทิกรัลของ xe^x จาก 0 ถึง 1.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
พจน์ต้นทางกลับได้คือ (x-1)e^x. ที่ 1 และ 0 ให้ค่า 0 และ -1, ดังนั้นอินทิกรัลคือ 1.
ทดสอบทางลัดที่ดูน่าเชื่อถือ
- การเลือก u และ v prime ให้ดีสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรง่ายขึ้น ในการแทนแปรแบบมีเครื่องหมาย ควรเปลี่ยนขอบเขตหรือกลับไปที่ x ก่อนใช้ขอบเขตเดิม
- เมื่อทางลัดล้มเหลว ให้ระบุสมมติฐานที่มันทำลายรักษาค่าที่แม่นยำจนถึงการทศนิยมตามโจทย์กำหนดเท่านั้น
อินทิกรัลของผลคูณเท่ากับผลคูณของอินทิกรัลแยกกัน claim นี้เป็นเท็จ อธิบายว่าขัดต่อกำหนดนิยามหรือข้อสมมติฐานใด
หาสัมประสิทธิ์ของ ln(x²+1) ในอินทิกรัลของ 2x/(x²+1).
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
ใช้การแทนตัวแปร w=x²+1 จะได้ dw=2x dx ดังนั้นสัมประสิทธิ์ของ ln(x²+1) คือ 1
อินทิกรัลของผลคูณเท่ากับผลคูณของอินทิกรัลแยกส่วน
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
การเลือก u และ v prime อย่างเหมาะสมมีความสำคัญ: อินทิกรัลที่เหลือควรจะง่ายขึ้น ในกรณีของการแทนค่าแบบกำหนดขอบเขต ให้เปลี่ยนขอบเขตหรือกลับไปที่ x ก่อนที่จะใช้ขอบเขตเดิม
ตีความสถานการณ์ใหม่
- ตรวจสอบด้วยการหาอนุพันธ์ สำหรับปริมาตรที่หมุนรอบแกน x ใช้ V=π ∫ y² dx; อย่าสับสนระหว่างกำลังสองของฟังก์ชันกับอินทิกรัลของฟังก์ชัน
- คำตอบที่สมบูรณ์ต้องให้ผลลัพธ์ทางคณิตศาสตร์และอธิบายความหมายของมัน ตรวจสอบว่ามันเป็นไปได้ในบริบทที่กำหนดหรือไม่
หาปริมาตรหารด้วย π เมื่อ y=x หมุนรอบแกน x จาก 0 ถึง 3.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
V/π=integral x² dx จาก 0 ถึง 3=[x³/3]=9.
จับคู่แต่ละอินทิกรัลกับวิธีที่เหมาะสม
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
เลือกวิธีตามโครงสร้าง: อนุพันธ์ภายในบ่งบอกถึงการแทนที่, ผลคูณของประเภทที่ไม่เหมือนกันบ่งบอกถึงวิธีการแยกส่วน, และฟังก์ชันตรรกยะที่ไม่ Proper ต้องแบ่งก่อน
ใช้สิ่งนี้ในหลักสูตรของคุณ
- การประยุกต์ใช้และการตีความสำหรับการประเมินครั้งแรก-2021 ระดับ HL. นี่คือส่วนสนับสนุนแนวคิดที่จัดทำขึ้นเอง; ต้องใช้คู่มือฉบับเต็มเพื่อยืนยันวัตถุประสงค์ทุกข้อ
- ให้วิธีการก่อนคำตอบสุดท้าย และใช้กฎเครื่องคิดเลขและสูตรของใบคำถาม ทบทวนคำตอบที่ผิดโดยการหาขั้นตอนที่ไม่ถูกต้องเป็นครั้งแรก
วิธีการอินทิเกรตที่อาศัยอนุพันธ์ของผลคูณ เลือกความสัมพันธ์ แสดงวิธีทำ ตรวจสอบสมมติฐาน และตีความผลลัพธ์