RA.2 · Simultaneity, length measurement and velocity transformation

ผู้สังเกตสองคนอาจไม่เห็นพ้องว่าเหตุการณ์ใดเกิดขึ้นก่อน และทั้งสองก็อาจถูก

ความรู้พื้นฐาน: 22.

• แปลงการแยกตัวของเหตุการณ์และระบุความยาวจริงเทียบกับอ่านตำแหน่งปลายพร้อมกัน
• ใช้การบวกความเร็วสัมพัทธภาพและตรวจสอบอินเวเรียนต์เวกเตอร์สี่มิติ
• จำแนกเครื่องหมายของช่วงเพื่อจัดลำดับเหตุการณ์และตัดความเป็นไปได้ของการติดต่อเชิงสาเหตุ

ใช้การแปลง Lorentz กับการเคลื่อนที่ของเฟรมที่กำหนด: หากเฟรม S′ เคลื่อนที่ด้วยความเร็ว +v ตามแกน x เทียบกับ S แล้ว x′=γ(x−vt) และ t′=γ(t−vx/c²) โดย γ=1/sqrt(1−v²/c²). ใช้กับช่องว่างของเหตุการณ์ Δx และ Δt ไม่ใช่แค่พิกัดเดี่ยว เหตุการณ์สองเหตุการณ์ที่เกิดขึ้นพร้อมกันใน S (Δt=0) ที่ตำแหน่งต่างกันจะมี Δt′=−γvΔx/c²: เหตุการณ์ที่อยู่ไกลไปในทิศทาง +x มากกว่าจะเกิดขึ้นก่อนใน S′ ความสัมพันธ์ของการเกิดพร้อมกันขึ้นอยู่กับเฟรม ไม่ใช่ข้อผิดพลาดในการจดบันทึก

ความยาวของแท่งที่เคลื่อนที่ต้องอ่านจากตำแหน่งปลายแท่งในเวลาเดียวกันของห้องปฏิบัติการ (Δt=0). จากนั้น Δx′=γΔx จะได้ L=L0/γ โดย L0 คือความยาวในเฟรมพัก (proper length) การอ่านตำแหน่งปลายแท่งพร้อมกันในเฟรมของแท่งเองจะไม่ให้ความยาวในห้องปฏิบัติการ; เงื่อนไขการอ่านทั้งสองตอบคำถามที่แตกต่างกัน ระบุเฟรมและเงื่อนไขการอ่านก่อนจะอ้างถึงความยาวใดๆ

ช่วงเวลา s²=c²Δt²−Δx² (กฎเครื่องหมายลบส่วนใหญ่, กำหนดไว้ครั้งเดียว) เป็นค่าคงที่ s²>0 คือแบบมีเวลา: มีกรอบอ้างอิงหนึ่งที่มีเหตุการณ์ทั้งสองเกิดขึ้นที่ตำแหน่งเดียวกัน, และ Δτ=s/c คือเวลาแท้ระหว่างเหตุการณ์ s²<0 is spacelike: a frame exists with the events simultaneous, and sqrt(−s²) is the proper distance. s²=0 is lightlike. Timelike order is the same in every frame; spacelike order can swap, and no signal can join the events because |Δx/Δt|>c.

ความเร็วในแนวตรงบวกกันตามสูตร u=(u′+v)/(1+u′v/c²); ตัวส่วนทำให้ u<c สำหรับทุก u′,v<c, และเมื่อ u′=c จะได้ u=c พอดี. พลังงานและโมเมนตัมรวมเป็นสี่เวกเตอร์ที่มีค่าคงที่ E²−p²c²=m²c⁴: คำนวณในกรอบอ้างอิงใดที่สะดวกที่สุด ตรวจสอบผลลัพธ์แต่ละอย่างในลิมิตที่ไม่ใช่สัมพัทธภาพ ซึ่งสูตรการบวกจะลดรูปเหลือ u=u′+v และค่าคงที่จะลดรูปเหลือพลังงานนิ่ง

เหตุการณ์สองเหตุการณ์ในห้องปฏิบัติการมี Δx = 900 เมตร และ Δt = 2 ไมโครวินาที ช่วงเวลาเชิงกาล-อวกาศ theirs เป็นแบบมีพื้นที่ เพราะ c Δt = 600 น้อยกว่า Δx กรอบอ้างอิงที่ทำให้เหตุการณ์ทั้งสองเกิดพร้อมกันสอดคล้องกับ

ระยะห่าง theirs ในกรอบนั้นคือ $\sqrt{\Delta x^2-c^2\Delta t^2}=670.8$ เมตร ไม่มีกรอบอ้างอิงใดสามารถวางเหตุการณ์เชิงกาล-อวกาศแบบมีพื้นที่เหล่านี้ไว้ที่ตำแหน่งเดียวกันได้

Quoting L=L0/γ without the simultaneous-endpoint condition, or adding velocities as u=u′+v at relativistic speeds. A simultaneity difference is physical, not a mistake.

ช่วงเวลาเชิงกาล-อวกาศ: ผลรวมที่คงที่ c²Δt²−Δx² ภายใต้กฎเครื่องหมายที่กำหนดไว้ ซึ่งมีเครื่องหมายจำแนกการแยกตัวของเหตุการณ์

ความยาวแท้: ระยะห่างของปลายวัตถุที่วัดได้ในกรอบอ้างอิงนิ่งของวัตถุ; กรอบอ้างอิงอื่นใดต้องอ่านค่าปลายทั้งสองพร้อมกันในเวลาของตนเอง