AT.3 · Thermal spectra and one-electron scaling

ยอดสเปกตรัม ฟลักส์รังสีรวม และพลังงานการเปลี่ยนสถานะอะตอมเป็น 3 อนุกรมตัวสังเกตที่แตกต่างกัน

เงื่อนไขเบื้องต้น: 7, 9, 34.

• แยกแยะยอดสเปกตรัมความยาวคลื่น รังสีอินทิเกรต และพลังงานโฟตอน
• สรุปการปรับขนาดรัศมี Bohr และพลังงานภายใต้ข้อสมมติหนึ่งอิเล็กตรอน
• คำนวณการเปลี่ยนสถานะคูลอมบ์-ไอออน ขอบเขตอนุกรม และเกณฑ์ไอออไนเซชัน

For ideal thermal equilibrium radiation, Planck’s wavelength spectral radiance is B_λ=2hc²/{λ⁵[exp(hc/(λk_B T))−1]}. B_λ is per wavelength interval and per solid angle, not a total power. A blackbody’s hemispheric surface flux spectrum is M_λ=πB_λ; integrating over all wavelengths gives σ_SB T⁴. All temperatures are absolute Kelvin. The wavelength peak obeys λ_max T≈2.898×10⁻³ m·K. A spectrum per frequency has a different peak because B_ν dν and B_λ dλ include a Jacobian; c/λ_max is not the peak frequency of B_ν. Increasing T moves the wavelength peak shorter and increases the integrated flux by T⁴, not by the peak-position ratio alone.

For an original uniform grey surface of area A and wavelength-independent emissivity ε, net radiative power to a large uniform environment is εσ_SB A(T⁴−T_env⁴) under the stated view-factor assumptions. Use σ_SB≈5.670×10⁻⁸ W·m⁻²·K⁻⁴. Spectrally varying emissivity or incomplete surroundings requires a more detailed model. A photon at a specified wavelength has E=hc/λ, conveniently about 1240 eV·nm/λ_nm. A thermal spectrum contains many photon energies; a photon at the wavelength peak is not the mean energy of every photon. For T=3000 K, λ_max≈966 nm; its photon energy is about 1.284 eV. A surface with A=2×10⁻⁴ m² and ε=0.5 emits 459.27 W to a negligibly cold environment.

In the historical Bohr one-electron model with a heavy nucleus of charge Ze, Coulomb force m_e v²/r=Ze²/(4πε₀r²) and angular momentum m_e vr=n$\hbar$ lead to r_n=a₀n²/Z, v_n=Zαc/n and E_n≈−13.6Z²/n² eV. The radius scales with n²/Z while binding energy scales with Z²/n²; do not use the same charge power in both. These circular-orbit assumptions are a historical scaling model. Wave-mechanical angular momentum is √[l(l+1)]$\hbar$ with l=0,…,n−1, so a 1s orbital has zero orbital angular momentum rather than the Bohr n$\hbar$ value. Reduced-mass corrections replace m_e with μ: Coulomb radius scales as 1/μ and energy as μ. Multielectron screening, large-Z relativistic corrections and fine structure are outside the simple model.

สำหรับการแผ่รังสี ni→nf เมื่อ ni>nf, E_γ≈13.6Z²(1/nf²−1/ni²) eV. แปลงผลต่างเชิงบวกนี้เป็น λ≈1240/E_γ nm การไอออไนเซชันจาก n ต้องใช้พลังงาน 13.6Z²/n² eV เพื่อให้ถึงศูนย์ของต่อเนื่อง การดูดกลืนจะกลับลำดับระดับและต้องใช้พลังงานโฟตอนเข้าที่สอดคล้องกันเป็นค่าบวก สำหรับอนุกรมที่สิ้นสุดที่ nf ที่คงที่ พลังงานโฟตอนสูงสุดแบบlients-bound เกิดขึ้นเมื่อ ni→∞ ซึ่งให้ E_limit=13.6Z²/nf² และความยาวคลื่นสั้นสุดของอนุกรม สำหรับฮีเลียมหนึ่งอิเล็กตรอน Z=2, n=3→2 ให้ 7.5556 eV และ λ≈164.12 nm รัศมี Bohr ของมันที่ n=3 คือ 4.5a₀; รัศมียังอธิบายวงโคจรทางประวัติศาสตร์ ไม่ใช่โหมดรัศมีสากลสำหรับทุก l ที่ n=3.

กฎของไวน์หมายถึงจุดสูงสุดของความหนาแน่นความยาวคลื่นในสเปกตรัมของวัตถุดำ

โฟตอนที่ความยาวคลื่นนี้มีพลังงาน แหล่งกำเนิดปล่อยการกระจายของพลังงานโฟตอน ฟลักซ์พื้นผิวรวมของมันคือ $\sigma T^4$, และจุดสูงสุดของความหนาแน่นความถี่ไม่สามารถหาได้จากการนำ c มาหารด้วยความยาวคลื่นนี้โดยตรง

ประกาศความหนาแน่นของความยาวคลื่นหรือความถี่, ใช้สเกลเคลวินสำหรับกำลังสี่, และแยกการเปลี่ยนสถานะออกจากไอออไนเซชัน. รัศมีวงกลมของโบร์และโมเมนตัมเชิงมุมไม่ใช่รัศมีและ L ของออร์บิทัลคลื่นทั้งหมด

ความเข้มสเปกตรัม (spectral radiance): ความเข้มของการแผ่รังสีต่อหน่วยพื้นที่ projected มุมแข็ง และช่วงสเปกตรัมที่กำหนด

ขีดจำกัดอนุกรม (series limit): พลังงานหรือความยาวคลื่นของโฟตอนแบบ bounds-bound ขีดจำกัดเมื่อระดับเริ่มต้นเข้าใกล้ความต่อเนื่องสำหรับระดับสุดท้ายที่คงที่