GRE Subject Test · GRE Physics · หัวข้อ 39
ฟังก์ชันคลื่นที่ผูกติดสามารถแผ่ขยายออกไปภายนอกบ่อศักย์ได้ แม้ว่าพลังงานของอนุภาคจะต่ำกว่าศักย์ภายนอกก็ตาม
ความรู้พื้นฐานที่ต้องมี: 5, 24, 37
Declare a symmetric well V=−V₀ for |x|<a and V=0 outside, with V₀>0 and the same mass throughout. A bound energy lies between −V₀ and zero. Inside, k=√[2m(E+V₀)]/$\hbar$ gives oscillatory solutions; outside, κ=√(−2mE)/$\hbar$ gives decaying tails. Reject growing exponentials to obtain a normalisable state. Reflection symmetry permits even interior cos(kx) or odd sin(kx) states. At finite boundaries without delta interactions, both ψ and ψ′ are continuous. Even matching gives k tan(ka)=κ; odd matching gives −k cot(ka)=κ. A finite well does not require ψ to vanish at its edges as an infinite wall does.
| English | ไทย |
|---|---|
| finite well/ˈfaɪnaɪt wel/ | บ่อศักย์ความลึกจำกัด |
Introduce z=ka and ρ=a√(2mV₀)/$\hbar$. Then κa=√(ρ²−z²) and 0<z<ρ. Solve z tan z=√(ρ²−z²) for an even state, or −z cot z=√(ρ²−z²) for an odd one, on intervals with the appropriate sign and away from tangent poles. Energy follows as E/V₀=z²/ρ²−1. For ρ=1, the ground root lies in 0<z<1 and the even equation is equivalent there to z=cos z. Bisection or a converged root finder gives z≈0.739085 and E/V₀≈−0.453753. Since ρ<π/2, no odd bound-state branch fits. In one dimension an attractive square well has an even bound ground state however shallow it is; an E=0 threshold tail is not square integrable.
| English | ไทย |
|---|---|
| bound state/baʊnd steɪt/ | สภาวะถูกกักขัง |
| radial probability density/ˈreɪdɪəl ˌprɒbəˈbɪlɪti ˈdensɪti/ | ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นในรัศมี |
For an even bound state write ψ=A cos(kx) inside and ψ=A cos(ka)exp[−κ(|x|−a)] outside. Continuity sets the relative tail amplitude; integrate |ψ|² over both the interior and tails to determine A. Probability outside the well is nonzero and depends on its depth, width and the selected state. Bound states have discrete energies and normalisable decaying asymptotes. A scattering state with E>0 has propagating external waves and is normalised or interpreted using a continuum/flux convention. A decaying tail is not evidence that the state violates energy conservation, and raw tail amplitude is not the outside probability until it has been integrated and normalised.
For a one-electron Coulomb ion with nuclear charge Ze, use the nonrelativistic central-potential model and a heavy nucleus approximation unless reduced mass is specified. E_n≈−13.6 Z²/n² eV; allowed orbital numbers are n≥1, l=0,…,n−1 and m_l=−l,…,l. L² has eigenvalue l(l+1)$\hbar$² and L_z=m_l$\hbar$; the ground 1s orbital has l=0, despite the historical Bohr circular-orbit rule. Spatial degeneracy at fixed n is Σ_l(2l+1)=n² before spin and fine-structure corrections. If ψ=R_nl(r)Y_lm with angular part normalised, radial probability in dr is r²|R|²dr, not just |R|²dr. For hydrogen 1s, the radial density is 4r²e^(−2r/a₀)/a₀³: it peaks at r=a₀ and has mean 3a₀/2, while the three-dimensional point density is largest at the origin. Distinguish these measures before locating a most probable radius.
บ่อจำกัดมี V = -V0 สำหรับ $|x|<a$ และเป็นศูนย์ภายนอก พลังงานติดooks อยู่ระหว่าง -V0 และศูนย์อย่างเคร่งครัด กำหนด
ใช้ค่าศักย์ที่กำหนดให้เป็นศูนย์, จับคู่ ψ′.enable ψ, และรวมมาตรวัดเปลือกรัศมี ส่วนหางที่ผูกและคลื่นเดินทางของ continuum มีช่วงพลังงานที่แตกต่างกัน
สถานะถูกจำกัด (bound state): สถานะนิ่งที่ทำให้เป็นนอร์มาไลซ์ได้ มีความน่าจะเป็นถูกจำกัด และมีพลังงานแบบไม่ต่อเนื่องในโมเดลที่กำหนด.
ความหนาแน่นของความน่าจะเป็นตามรัศมี: ความน่าจะเป็นต่อระยะรัศมี ซึ่งรวมการวัดทรงกลมหลังทำการอินทิเกรตมุมแล้ว.
ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที
กำลังโหลดวิชา…