QM.2 · Weak perturbations and degenerate subspaces

การเลื่อนพลังงานอันดับหนึ่งเป็นศูนย์สามารถอยู่คู่กับการเปลี่ยนสถานะและการเลื่อนอันดับสูงกว่าที่ไม่ใช่ศูนย์

เงื่อนไข préalable: 5, 24

• คำนวณการเปลี่ยนแปลงพลังงานอันดับแรกที่ไม่เกิดจากการสั่นพ้อง (nondegenerate) ด้วยค่าความคาดหวังที่ทำให้อะนิต์ (normalised expectation values)
• ใช้สมมาตรและเมทริกซ์เอลีเมนต์เพื่อประเมินขีดจำกัดของการจับคู่แบบอ่อน (weak-coupling limits)
• ทำการดีแกลโกนาไลซ์ (diagonalise) การรบกวนภายในสเปซย่อยที่สั่นพ้องอย่างสมบูรณ์ (exactly degenerate subspace)

ให้ H=H₀+λW, โดยที่ λ เป็นพารามิเตอร์ไร้มิติเล็กและ Eigenstates ของ H₀Known และ Normalised สำหรับระดับที่ไม่ลดทอน n, การแก้ไขพลังงานอันดับแรกคือ λ⟨n|W|n⟩ ใน Position space นี่คือ λ∫ψ_n*(x)W(x)ψ_n(x)dx สำหรับ Potential แบบคูณ, ด้วยการอินทิเกรตเหนือโดเมนที่ยอมรับได้ ค่า Potential ที่จุดหนึ่งไม่ใช่ Expectation value; Probability density ของสถานะถ่วงน้ำหนักทั้งโดเมน สำหรับ Infinite well 0<x<L, ψ_n=√(2/L)sin(nπx/L) การสะท้อนเกี่ยวกับศูนย์กลางทำให้ ⟨x⟩=L/2, ดังนั้น Potential เพิ่มเล็กน้อย γx มีการเลื่อน γL/2 สำหรับทุก ระดับของ wells ไม่ลดทอนที่อันดับแรก γ มีหน่วยเป็นพลังงานต่อความยาว

สำหรับการรบกวนที่เป็นฟังก์ชันคี่ (odd) เทียบกับจุดกึ่งกลาง เช่น γ(x−L/2) ความหนาแน่นความน่าจะเป็นของสถานะไอเก้นของบ่อที่ไม่ถูกรบกวนจะเป็นฟังก์ชันคู่ ดังนั้นค่าความคาดหวังบนเส้นทแยงมุมจึงเป็นศูนย์ การรบกวนแบบกำลังสองที่มีจุดศูนย์กลาง η(x−L/2)² แทนที่จะให้ค่าเลื่อนพลังงานเป็น ηL²[1/12−1/(2π²n²)] ซึ่งมีค่าเป็นบวกเมื่อ η>0 และขึ้นอยู่กับ n สมparity ทำให้อินทิกรัลอันดับแรกเป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อมีสมมาตรเฉพาะสำหรับสถานะและตัวดำเนินการเท่านั้น เมทริกซ์เอลีเมนต์นอกเส้นทแยงมุมยังคงสามารถเปลี่ยนฟังก์ชันคลื่นได้ อย่าตีความการยกเลิกจากสมมาตรว่าเป็นข้ออ้างว่าทุกการแก้ไขพลังงานเป็นศูนย์หรือว่าสถานะเดิมยังคงถูกต้องตามความเป็นจริง

สำหรับสถานะที่ไม่เกิดภาวะสั่นซ้อน ส่วนผสมหลักของสถานะไม่ถูกรบกวน m อื่นๆ เป็นสัดส่วนกับ λW_mn/(E_n⁰−E_m⁰) ดังนั้นเงื่อนไขความเล็กที่ใช้ได้จึงเป็นการเปรียบเทียบเมทริกซ์องค์ประกอบของการจับคู่กับความห่างระหว่างระดับที่เกี่ยวข้อง ไม่ใช่เพียงศูนย์พลังงานสัมบูรณ์ตามใจเลือก ในอันดับที่สอง การแก้ไขพลังงานมีรูปแบบ Σ_(m≠n)|λW_mn|²/(E_n⁰−E_m⁰) สำหรับสถานะที่ไม่เกิดภาวะสั่นซ้อนต่ำสุด ตัวส่วนทั้งหมดเหล่านี้เป็นลบ ดังนั้นการแก้ไขอันดับที่สองจึงมีค่าไม่เกินศูนย์ในโมเดลนี้ใกล้กับภาวะสั่นซ้อน ตัวส่วนที่มีค่าน้อยจะทำลายการขยายแบบไม่เกิดภาวะสั่นซ้อน ให้ใช้สเปซย่อยที่จับคู่กันแทนการหารด้วยศูนย์

หากระดับของ H₀ สั่นพ้องกันอย่างสมบูรณ์ ให้เลือกฐานออร์โทนอร์มอลภายในสเปซย่อยนั้นและสร้างเมทริกซ์ Hermite ของการรบกวนที่นั่น ค่าไอเก้นของเมทริกซ์นี้คือการเลื่อนพลังงานอันดับแรก และเวกเตอร์ไอเก้นกำหนดการรวมที่ทำการดีแกลโกนาไลซ์การแยกชั้นนำหน้า สำหรับสเปซย่อยสองสถานะกับการรบกวน ε[[2,1],[1,2]] การรวมแบบสมมาตรและไม่สมมาตรที่ทำให้อะนิต์แล้วจะมีการเลื่อนพลังงานเป็น 3ε และ ε การอ่านเพียง Entries บนเส้นทแยงมุมทั้งสองจะทำนายการเลื่อนพลังงานเป็น 2ε ทั้งสองค่าผิดพลาด ความคูณด้วยสเกลาร์เดียวกันของเมทริกซ์เอกลักษณ์จะเลื่อนสถานะทั้งสองเท่ากันโดยไม่ทำให้การสั่นพ้องแยกชั้น การจับคู่ภายนอกสเปซย่อยอาจมีความสำคัญในระดับสูง

สเปซย่อยที่สั่นพ้องต้องการการดีแกลโกนาไลซ์เมทริกซ์ก่อนจะหาการเลื่อนพลังงานอันดับแรก สมมติว่าการรบกวนที่จำกัดอยู่ในสองสถานะคือ $\epsilon\begin{pmatrix}2&1\\1&2\end{pmatrix}$

การเลื่อนพลังงานคือ epsilon และ 3 epsilon สถานะที่-normalized คือ $(1,-1)/\sqrt2$ และ $(1,1)/\sqrt2$ การอ่านเพียง entries บนเส้นทแยงมุมจะทำให้พลาดการแยกชั้น การจับคู่กับระดับอื่น ต้องยังคงเป็นแบบอ่อนเมื่อเทียบกับช่องว่างพลังงานของตนเอง

ใช้น้ำหนักสถานะที่ปกติแล้ว (Normalized state weights), รักษายูนิตของการรบกวน, และทำให้อันดับบนเส้นทแยงมุมสเปกตรัมที่หดตัว การยกเลิกอันดับแรกและการไม่แปรเปลี่ยนอย่างสมบูรณ์เป็นข้ออ้างคนละชนิดกัน

first-order energy shift: การแก้ไขพลังงานอันดับแรกจากการรบกวนแบบอ่อน Leading weak-perturbation correction given by the unperturbed state’s expectation value.

ทฤษฎีการรบกวนแบบลดทอน: วิธีที่เริ่มจากการทำให้อิทธิพลการรบกวนเป็นเมทริกซ์ทแยงมุมภายในสเปซย่อยแบบลดทอนที่ไม่มีการรบกวนก่อน