EM.5 · RC and RL transients, impedance and resonance

แรงดันบนตัวเก็บประจุและกระแสในขดลวดไม่สามารถเปลี่ยนแปลงได้ทันทีภายใต้การขับเคลื่อนวงจรปกติที่มีค่าจำกัด แต่พฤติกรรมในสถานะคงที่ (steady-state) ของทั้งสองอย่างแตกต่างกัน

ความรู้พื้นฐานที่ต้องมี: 14

• แก้ปัญหาการชาร์จและคายประจุของ RC ด้วยเงื่อนไขเริ่มต้นที่กำหนด
• แก้ปัญหาการตอบสนองกระแสของ RL และพิจารณาพลังงานที่สะสม
• ใช้อิมพิแดนซ์เชิงซ้อน มุมเฟส และการสั่นพ้องในวงจรสัญญาณไซน์

สำหรับตัวต้านทาน R ต่ออนุกรมกับตัวเก็บประจุ C และแหล่งจ่าย DC V_s กฎวอลต์ของKirchhoff คือ R dq/dt+q/C=V_s กำหนดให้ V_C=q/C และ τ=RC หลังเปิดสวิตช์เพื่อต่อแหล่งจ่ายคงที่ V_C(t)=V_s+(V_C(0)−V_s)exp(−t/τ) ดังนั้นตัวเก็บประจุที่ไม่มีการชาร์จเริ่มต้นจะมี V_C=V_s(1−exp(−t/τ)) และกระแสการชาร์จ I=(V_s/R)exp(−t/τ) เมื่อถอดแหล่งจ่ายออกและต่อตัวต้านทานข้ามขั้ว V_C=V_C(0)exp(−t/τ) แรงดันบนตัวเก็บประจุจะต่อเนื่องผ่านสวิตช์หากไม่มีกระแสแบบ impulse กระแสในตัวต้านทานอาจเปลี่ยนแปลงได้ทันที

ในวงจร RL ต่ออนุกรม กฎ Kirchhoff ให้ L dI/dt+RI=V_s และ τ=L/R กระแสหลังจากได้รับแรงขับเคลื่อนคงที่คือ I(t)=V_s/R+(I(0)−V_s/R)exp(−t/τ) กระแสในขดลวดจะต่อเนื่องสำหรับแรงดันที่มีค่าจำกัด แต่แรงดันอาจเปลี่ยนแปลงได้อย่างฉับพลันเมื่อการสวิตชิ่งทำให้ dI/dt เปลี่ยนแปลง ในช่วงเวลาที่ยาวนาน ขดลวดในอุดมคติในวงจร DC จะทำหน้าที่เป็นการเชื่อมต่อบaloreนแรงดัน (zero-voltage connection) ในขณะที่ตัวเก็บประจุในอุดมคติจะมีกระแส DC เป็นศูนย์ พลังงานที่สะสมคือ LI²/2 และ CV_C²/2 ระหว่างการลดทอนลงในตัวต้านทาน พลังงานที่สะสมเริ่มต้นจะกลายเป็นความร้อนของตัวต้านทาน แทนที่จะหายไปเมื่อแหล่งจ่ายถูกตัดออก

Use the declared phasor convention exp(iωt). A resistor has impedance R, an inductor iωL and a capacitor 1/(iωC)=−i/(ωC). A series RLC circuit therefore has Z=R+iX with X=ωL−1/(ωC). Divide the source voltage phasor by Z to obtain current. Its magnitude is V_rms/sqrt(R²+X²) when rms quantities are used. The impedance phase φ satisfies tanφ=X/R; current lags voltage for X>0 and leads it for X<0. Adding the scalar magnitudes R, ωL and 1/(ωC) loses the vector phase information.

Series resonance occurs at ω₀=1/sqrt(LC) when X=0. Current is maximal for a fixed voltage in this ideal series model, and the voltage/current phase difference is zero. Mean real power is V_rms I_rms cosφ=I_rms²R; ideal L and C exchange energy but dissipate no average power. This differs from transient natural frequency: a damped series circuit can oscillate at sqrt(1/(LC)−(R/(2L))²) when underdamped. Large resistance removes such free oscillation but does not change the condition X=0 of the ideal driven series impedance. State whether a question asks for a step response, free decay or sinusoidal steady state.

วงจร RC สลับไปยังแหล่งแรงดันคงที่ Vs การอนุรักษ์ประจุและกฎของเคอร์ชอฟฟ์ให้

สำหรับ R = 2 กิโลโอห์ม, C = 1 มิลลิฟาราด, Vs = 12 โวลต์ และแรงดันเริ่มต้นเป็นศูนย์, ค่าคงที่เวลาควบคุมส่วนต่างที่เหลือจากสถานะสุดท้าย

RC มี τ=RC, ส่วน RL มี τ=L/R อย่าสับสนระหว่างแอมพลิจูดของกระแสกับกระแส rms, หรือการสั่นพ้องของอิมพิแดนซ์ที่ถูกขับเคลื่อนกับความถี่ของการสั่นอิสระที่ลดทอน

time constant: สเกลการตอบสนองแบบเอ็กซ์โพเนนเชียล, RC สำหรับวงจร RC และ L/R สำหรับวงจร RL

impedance: อัตราส่วนเวกเตอร์ของแรงดันต่อกระแสเชิงซ้อนในสภาวะเสถียรแบบไซน์