CM.5 · Accelerating and rotating reference frames

GRE Subject Test · GRE Physics · หัวข้อ 27

ดูสไลด์ ฝึกฝน

27.1

กรอบอ้างอิงเร่งและกรอบอ้างอิงหมุน

บุคคลที่ยืนนิ่งบนแท่นหมุนจำเป็นต้องมีแรงจริงเข้าหาศูนย์กลาง แม้ว่าจะมีความเร่งสัมเทียบกับแท่นเป็นศูนย์ก็ตาม

ความรู้พื้นฐานที่จำเป็น: 26.

แปลงความเร่งด้วยพจน์ของกรอบเคลื่อนที่และกรอบหมุน
หาทิศทางของแรงเหวี่ยง, แครคอรีลิส และเออร์เลอร์จากผลคูณไขว้
แยกแยะแรงลวงออกจากปฏิสัมพันธ์จริงและทดสอบขอบเขตกรอบเฉื่อย

27.2

การเลื่อนกรอบอ้างอิง

ในกรอบอ้างอิงที่เคลื่อนที่ด้วยความเร่ง A ของจุดกำเนิด สมการนิวตันจะกลายเป็น m a′=F_real−mA. ดังนั้นลิฟต์ที่เร่งขึ้นจะได้ว่า N−mg=ma ในกรอบพื้นดิน หรือ N−mg−ma=0 สำหรับผู้โดยสารที่นิ่งอยู่ในกรอบลิฟต์ ทั้งสองสมการให้ผลลัพธ์เดียวกัน พจน์เพิ่มเติมนี้เป็นแรงลวงที่เกิดจากพิกัดที่เร่ง; ไม่ใช่การสัมผัสใหม่กับวัตถุอื่น การเคลื่อนที่แบบสม่ำเสมอโดย A=0 จะเปลี่ยนความเร็วแต่ไม่ต้องการแรงลวง

27.3

การดิฟเฟอเรนเชียลแกนหมุน

สำหรับฐานหมุน การดิฟเฟอเรนเชียลเวกเตอร์จะเพิ่ม Ω×เวกเตอร์นั้น การทำซ้ำสองครั้งจะได้ a=a_origin+a′+2Ω×v′+Ω×(Ω×r)+Ωdot×r ที่นี่ r และ v′ วัดสัมเทียบกับจุดกำเนิดเคลื่อนที่ในแกนหมุนทั้งหมด; เวกเตอร์ทุกตัวในการคำนวณต้องแสดงในฐานเดียวกัน ณ เวลาเดียวกัน ย้ายสามพจน์สุดท้าย concerning การหมุนไปด้านแรงเพื่อจะได้ แรงแครคอรีลิส −2mΩ×v′, แรงเหวี่ยง −mΩ×(Ω×r), และแรงเออร์เลอร์ −mΩdot×r. การหมุนคงที่จะขจัดพจน์เออร์เลอร์ออก แต่ไม่ขจัดพจน์แครคอรีลิส

27.4

ตรวจสอบทิศทางผลคูณไขว้

กำหนด Ω ไปทาง +z, แท่นหมุนทวนเข็มนาฬิกาเมื่อมองจากด้านบน และอนุภาคอยู่ที่ r ตาม +x. แรงเหวี่ยงจะอยู่ตาม +x ด้วยขนาด mΩ²r. หากอนุภาคเคลื่อนที่ออกไปด้านนอกด้วย v′ ตาม +x, แล้ว Ω×v′ จะเป็น +y, ดังนั้นแรงแครคอรีลิสจะชี้ไปทาง −y. การกลับทิศทางความเร็วสัมพัทธ์จะทำให้แรงแครคอรีลิสกลับทิศ; การรักษาว v′=0 จะทำให้มันหายไป. แรงแครคอรีลิสตั้งฉากกับ v′ และไม่ทำงานทันทีต่อmotionสัมผัสนั้น. แรงเหวี่ยงจะชี้ออกจากแกนหมุน ไม่ใช่ necesariamente ออกจากจุดกำเนิดที่เลือกในตำแหน่งสามมิติ tùyเลือก

27.5

สมดุลแรงจริงและแรงลวง

English

A body at rest on the platform has a′=v′=0. With constant rotation and a fixed origin, its real force must be mΩ×(Ω×r), inward, cancelling the outward apparent term in the rotating equation. If rotation changes, a tangential real force must also balance the Euler term. Always check Ω→0 and A→0: ordinary inertial Newtonian motion must return. Do not mix the real inward centripetal requirement with an added outward real reaction on the same body; interaction partners belong in separate free-body diagrams.

27.6

วิธีทำตัวอย่าง

ในกรอบหมุน, แรงแครคอรีลิสใช้ความเร็วสัมพัทธ์

$$\mathbf F_C=-2m\boldsymbol\Omega\times\mathbf v',\qquad \mathbf F_{cf}=-m\boldsymbol\Omega\times(\boldsymbol\Omega\times\mathbf r).$$

สำหรับ m = 2 kg, Omega = 2 rad/s ตาม z, r = 1 m ตาม x และ v' = 3 m/s ตาม x,

$$F_{cf}=m\Omega^2r=(2\,\mathrm{kg})(2\,\mathrm{rad/s})^2(1\,\mathrm m)=8\,\mathrm N\quad(+x).$$

$$F_C=2m\Omega v'=2(2\,\mathrm{kg})(2\,\mathrm{rad/s})(3\,\mathrm{m/s})=24\,\mathrm N\quad(-y).$$

แรงออยเลอร์เป็นศูนย์ก็ต่อเมื่อ ω เป็นค่าคงที่เท่านั้น สิ่งเหล่านี้เป็นพจน์ทางพิกัด ไม่ใช่แรงสัมผัสทางฟิสิกส์เพิ่มเติม

Rotating frame with Ω = +2 rad/s about z: a 2 kg mass at r = +1 m on x moving at +3 m/s on x feels a centrifugal force +8 N on x and a Coriolis force −24 N on y *แรงเหวี่ยง mΩ²r = 8 N; แรงโคริโอลิส −2mΩ × v′ = −24 N บนแกน y

คำศัพท์ ฝึกฝน

English	ไทย
Coriolis force/ˌkɒrɪˈəʊliz fɔːs/	แรงโคริโอลิส
centrifugal force/ˌsentrɪˈfjuːɡl fɔːs/	แรงเหวี่ยง
rotating frame/rəʊˈteɪtɪŋ freɪm/	กรอบอ้างอิงหมุน