GRE Subject Test · GRE Physics · หัวข้อ 26
แรงตึงของลูกตุ้มนาฬิกาจะเปลี่ยนแปลงตลอดการแกว่ง แต่สามารถหาสมการมุมได้โดยไม่ต้องแก้หาแรงตึง
ข้อแนะนำเบื้องต้น: 1, 47.
ข้อจำกัดจะลดจำนวนพิกัดที่เป็นอิสระลงก่อนที่คุณจะสร้างพลังงานจลน์ สำหรับลูกตุ้มนาฬิกาที่มีความยาวคงที่ ให้เลือก θ จากแนวตั้งลง: x=l sinθ และ y=−l cosθ การดิฟทั้งสองพิกัดจะได้ v²=l²θdot² ไม่ใช่ l² sin²θ θdot² ดังนั้น T=ml²θdot²/2 และ V=mgl(1−cosθ) โดยกำหนดศักย์เป็นศูนย์ที่ด้านล่าง ความยาวคงที่ถือเป็นข้อจำกัดแบบโฮโลโนมิค: เป็นความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและอาจรวมถึงเวลา ข้อจำกัดความเร็วในการกลิ้งต้องการการวิเคราะห์เฉพาะตัว อย่า Treat ทุกข้อจำกัดเป็นการแทนที่พิกัดโดยอัตโนมัติ
สำหรับข้อจำกัดในอุดมคติและระบบอนุรักษ์ทั่วไป สมการ stationary-action คือ d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 โดยที่ L=T−V การแปรผันจะหายไปที่จุดขอบเขตเวลาทั้งสอง ลูกตุ้มนาฬิกาให้ ∂L/∂θdot=ml²θdot และ ∂L/∂θ=−mgl sinθ ดังนั้น ml²θddot+mgl sinθ=0 การดิฟโมเมนตัมกระทำต่อทุกปัจจัยที่ขึ้นกับเวลา: สำหรับรัศมีที่เปลี่ยนไป d(mr²θdot)/dt จะประกอบด้วย 2mr rdot θdot วิธีแปรผันไม่หมายความว่าพลังงานกลจะคงตัวในระบบที่ขึ้นกับเวลา
สำหรับการเคลื่อนที่แกนกลางแบบระนาบ, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r). มุม θ เป็น cyclic เพราะ L ไม่ขึ้นกับ θ โดยตรง, แม้ว่าจะขึ้นอยู่กับ θdot. โมเมนตัม canonical pθ=mr²θdot เป็นค่าคงที่. สมการรัศมีคือ m rddot=mrθdot²−dV/dr. พจน์แรกเป็นส่วนหนึ่งของการเร่งพิกัด, ไม่ใช่แรงจริงใหม่ที่พุ่งออกในกรอบอ้างอิงเฉื่อย. การอนุรักษ์ pθ ทำให้ความเร็วเชิงมุมเพิ่มขึ้นเมื่อ r ลดลง; ความเร็วเชิงมุมคงที่เป็นสถานการณ์ภายนอกที่ขับเคลื่อนต่างกัน
ใกล้จุดสมดุลที่เสถียร q0 ให้ขยาย V ไปจนถึงกำลังสองและใช้มวลเฉื่อยท้องถิ่นคงที่ M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2 จากนั้นความถี่การกระจัดเล็กคือ sqrt(V″/M) สำหรับลูกตุ้มนาฬิกา sinθ≈θ ในหน่วยเรเดียน ดังนั้น ω=sqrt(g/l); การประมาณนี้ต้องการมุมสั่นเล็ก ค่า V″ ที่เป็นลบให้ความไม่เสถียร ไม่ใช่การสั่นด้วยความถี่ที่วัดได้ในจินตภาพ ตรวจสอบสมการไม่เชิงเส้นเต็มรูปแบบก่อน แล้วจึงระบุการประมาณและเปรียบเทียบหน่วย: V″/M ต้องมีหน่วยเป็นเทอมกลับของกำลังสองของเวลา
สำหรับความยาวลูกตุ้มนาฬิกาคงที่ l ให้ใช้ theta จากแนวตั้งลง: x = l sin theta, y = -l cos theta ความเร็วทั้งสองแบบในพิกัดคาร์ทีเซียนให้ $T=ml^2\dot\theta^2/2$ และ $V=mgl(1-\cos\theta)$ สมการออยเลอร์-ลากรอง—คือ
พิกัดแบบวงจรรวมไม่ปรากฏใน L โดยตรง; ความเร็วของมันอาจไม่หายไป อย่าตัดอนุพันธ์ตามเวลาของปัจจัย r² ที่เปลี่ยนแปลง
ข้อจำกัด holonomic: ข้อจำกัดที่เขียนในรูปแบบความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและเวลา
cyclic coordinate: หายไปจาก L เอง,ดังนั้นโมเมนตัม canonical ของมันจะถูกอนุรักษ์
| English | ไทย |
|---|---|
| holonomic constraint/ˌhɒləˈnɒmɪk kənˈstreɪnt/ | ข้อจำกัดแบบสมบูรณ์ |
| cyclic coordinate/ˈsaɪklɪk kəʊˈɔːdɪnət/ | พิกัดหมุนเวียน |
| Euler-Lagrange equation/ˈɔɪlə ˈlæɡreɪndʒ ɪˈkweɪʒn/ | สมการออยเลอร์-ลากรังจ์ |
ทำทีละขั้นตอน พร้อมแบบฝึกหัดตรวจสอบผลทันที
กำลังโหลดวิชา…