ข้อจำกัด, สมการแปรผัน และพิกัดแบบหมุนวน
แนะนำใหม่| English | ความหมาย |
|---|---|
| holonomic constraint/ˌhɒləˈnɒmɪk kənˈstreɪnt/ | ข้อจำกัดแบบสมบูรณ์ |
| cyclic coordinate/ˈsaɪklɪk kəʊˈɔːdɪnət/ | พิกัดหมุนเวียน |
ตัดสินใจก่อนตอบคำถาม
- แรงตึงในลูกตุ้มนาฬิกาเปลี่ยนแปลงตลอดการแกว่ง แต่สมการมุมสามารถหาได้โดยไม่ต้องแก้หาค่าแรงตึง
- เป้าหมายของคุณ: หาการเคลื่อนที่ของ Euler–Lagrange หลังจากบังคับข้อจำกัดแบบ holonomic แล้ว
เลือกพิกัดอิสระ
- ข้อจำกัดกำจัดพิกัดอิสระหนึ่งตัวก่อนคุณสร้างพลังงานจลน์ สำหรับลูกตุ้มความยาวคงที่ เลือก θ จากแนวตั้งลงล่าง: x=l sinθ และ y=−l cosθ การหาอนุพันธ์ของทั้งสองพิกัดให้ v²=l²θdot², ไม่ใช่ l² sin²θ θdot²
- ดังนั้น T=ml²θdot²/2 และ V=mgl(1−cosθ) โดยกำหนดศักย์ศูนย์ไว้ที่จุดต่ำสุด ความยาวคงที่เป็นข้อจำกัดแบบ holonomic: มันคือความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและอาจรวมถึงเวลา ข้อจำกัดความเร็วในการกลิ้งต้องมีการวิเคราะห์เฉพาะ; อย่า treating ทุกข้อจำกัดเป็นการแทนที่พิกัดโดยอัตโนมัติ
For a pendulum angle θ measured from downward vertical, which kinetic energy uses both Cartesian velocity components?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
Adding xdot² and ydot² gives l²θdot².
หาสมการ
- สำหรับข้อจำกัดในอุดมคติและระบบอนุรักษ์ทั่วไป สมการ stationary-action คือ d/dt(∂L/∂qdot)−∂L/∂q=0 โดยที่ L=T−V การแปรผันจะหายไปที่ขอบเขตเวลาทั้งสอง ลูกตุ้มนาฬิกาให้ ∂L/∂θdot=ml²θdot และ ∂L/∂θ=−mgl sinθ ดังนั้น ml²θddot+mgl sinθ=0
- การอนุพันธ์ของโมเมนตัมกระทำต่อทุกปัจจัยที่ขึ้นกับเวลา: สำหรับรัศมีที่เปลี่ยนไป, d(mr²θdot)/dt จะ包含了 2mr rdot θdot วิธีแปรผันไม่หมายความว่าพลังงานกลถูกรักษาไว้ในระบบที่ขึ้นกับเวลา
In L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r), which statement follows from the cyclic angle?
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
∂L/∂θ=0 gives d(mr²θdot)/dt=0; radius and angular speed may change.
หาโมเมนตัมรอบ (cyclic momentum)
- สำหรับการเคลื่อนที่ศูนย์กลางในระนาบ, L=m(rdot²+r²θdot²)/2−V(r) มุม θ เป็น cyclic เพราะ L ไม่มีความขึ้นอยู่โดยตรงกับ θ แม้ว่าจะขึ้นอยู่กับ θdot ก็ตาม โมเมนตัม canonical pθ=mr²θdot มีค่าคงที่ สมการรัศมีคือ m rddot=mrθdot²−dV/dr
- พจน์แรกเป็นส่วนหนึ่งของการเร่งตำแหน่ง ไม่ใช่แรงจริงที่พุ่งออกใหม่ในกรอบอ้างอิงเฉื่อย การอนุรักษ์ pθ ทำให้ความเร็วเชิงมุมเพิ่มขึ้นเมื่อ r ลดลง; ความเร็วเชิงมุมคงที่เป็นสถานการณ์ที่ขับเคลื่อนภายนอกต่างหาก
เมื่อ l=2 m และ g=10 m/s², θddot=−5 sinθ ที่ θ=0.10 rad ความเร่งที่แท้จริงคือ −0.4992 rad/s² ซึ่งใกล้เคียงกับ −0.500 จากการประมาณเชิงเส้น ระยะเวลาของมุมเล็กคือ 2π/sqrt(5)=2.810 s สำหรับวงโคจรแรงศูนย์กลาง การลด r จาก 3 m ไปยัง 1.5 m ในขณะที่ pθ ถูกอนุรักษ์ จะทำให้ θdot คูณด้วย 4 ไม่ใช่ 2
For V=9q²/2 and local inertia M=1, small-oscillation angular frequency is ____ rad/s.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
V″=9 and sqrt(9/1)=3.
ทำเชิงเส้นพร้อมเงื่อนไข
- ใกล้จุดสมดุลที่เสถียร q0, ขยาย V เป็นอันดับที่สองและใช้มวลเฉื่อยเฉพาะพื้นที่ M: V≈V(q0)+V″(q0)(q−q0)²/2 จากนั้นความถี่ของการกระจัดเล็กน้อยคือ sqrt(V″/M) สำหรับลูกตุ้มนาฬิกา sinθ≈θ ในหน่วยเรเดียน ดังนั้น ω=sqrt(g/l); การประมาณนี้ต้องการแอมพลิจูดเล็ก
- ค่า V″ เป็นลบจะเกิดความไม่เสถียร ไม่ใช่การสั่นที่มีค่าความถี่วัดได้เป็นจำนวนจินตภาพ ตรวจสอบสมการไม่เชิงเส้นทั้งหมดก่อน แล้วระบุการประมาณและเปรียบเทียบหน่วย: V″/M ต้องมีหน่วยเป็นผกผันของกำลังสองของเวลา
พิกัดแบบวงจรรวมไม่ปรากฏใน L โดยตรง; ความเร็วของมันอาจไม่หายไป อย่าตัดอนุพันธ์ตามเวลาของปัจจัย r² ที่เปลี่ยนแปลง
คำตอบใดสอดคล้องกับกรณีนี้?
หาสมการการเคลื่อนที่Euler–Lagrange หลังกำหนดข้อจำกัด holonomic แล้ว
The small-angle pendulum approximation is unchanged if the angle is inserted numerically in degrees.
Difficulty 1/5 · 100 coins + a small bonus on first completion today
sinθ≈θ requires radians; a degree value needs conversion.
รักษาระยะห่าง
- ข้อจำกัดแบบ holonomic — ข้อจำกัดที่เขียนเป็นความสัมพันธ์ระหว่างพิกัดและอาจรวมถึงเวลา
- พิกัดแบบวงจรรวม (cyclic coordinate) — พิกัดที่ไม่ปรากฏอย่างชัดเจนใน Lagrangian และมีโมเมนตัม canonical ที่คงที่ภายใต้สมการ Euler–Lagrange
- สันนิษฐานการเคลื่อนที่ของ Euler–Lagrange หลังจากกำหนดข้อจำกัดแบบ holonomic แล้ว
- ใช้พิกัดแบบวงจรรวมเพื่อระบุโมเมนตัม canonical ที่คงที่
- ทำ linearise ที่จุดสมดุลที่เสถียรและตรวจสอบความถี่ที่ได้มา
Match each term with its precise meaning in this lesson.
Difficulty 2/5 · 140 coins + a small bonus on first completion today
Keep the distinctions stated in the teaching example.
Put this lesson’s reasoning or event sequence in order.
Difficulty 3/5 · 200 coins + a small bonus on first completion today
The order follows the stated process; check each stage before the next.